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20. 在理解例题的基础上，解答下列问题.
例:若$m^2 + 2mn + 2n^2 - 4n + 4 = 0$，求$m$和$n$的值.
解:由题意,得$(m^2 + 2mn + n^2) + (n^2 - 4n + 4) = 0$.
$\therefore (m + n)^2 + (n - 2)^2 = 0$.
$\therefore \begin{cases} m + n = 0, \\ n - 2 = 0. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m = -2, \\ n = 2. \end{cases}$
(1)若$x^2 + 4xy + 5y^2 - 4y + 4 = 0$，求$x + y$的值；
(2)若$a,b,c$是$△ ABC$的边长，满足$a^2 + b^2 = 12a + 8b - 52$，$c$是$△ ABC$的最长边，且$c$为偶数，则$c$可能是哪几个数？
例:若$m^2 + 2mn + 2n^2 - 4n + 4 = 0$，求$m$和$n$的值.
解:由题意,得$(m^2 + 2mn + n^2) + (n^2 - 4n + 4) = 0$.
$\therefore (m + n)^2 + (n - 2)^2 = 0$.
$\therefore \begin{cases} m + n = 0, \\ n - 2 = 0. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m = -2, \\ n = 2. \end{cases}$
(1)若$x^2 + 4xy + 5y^2 - 4y + 4 = 0$，求$x + y$的值；
(2)若$a,b,c$是$△ ABC$的边长，满足$a^2 + b^2 = 12a + 8b - 52$，$c$是$△ ABC$的最长边，且$c$为偶数，则$c$可能是哪几个数？
答案
解：
(1) 由题意，得
$x^2 + 4xy + 4y^2 + y^2 - 4y + 4 = 0$
$\therefore (x + 2y)^2 + (y - 2)^2 = 0$
$\because (x+2y)^2 ≥ 0$，$(y-2)^2 ≥ 0$
$\therefore \begin{cases} x + 2y = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = -4 \\ y = 2 \end{cases}$
$\therefore x + y = -4 + 2 = -2$
(2) 由题意，得
$a^2 - 12a + 36 + b^2 - 8b + 16 = 0$
$\therefore (a - 6)^2 + (b - 4)^2 = 0$
$\because (a-6)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$
$\therefore \begin{cases} a - 6 = 0 \\ b - 4 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 6 \\ b = 4 \end{cases}$
由三角形三边关系可得：$6-4 ＜ c ＜ 6+4$，即$2 ＜ c ＜ 10$
又$\because c$是$△ ABC$的最长边，
$\therefore 6 ≤ c ＜ 10$
$\because c$为偶数，
$\therefore c$可取的值为6，8。
答：(1) $x+y$的值为$-2$；(2) $c$可能是6和8。
(1) 由题意，得
$x^2 + 4xy + 4y^2 + y^2 - 4y + 4 = 0$
$\therefore (x + 2y)^2 + (y - 2)^2 = 0$
$\because (x+2y)^2 ≥ 0$，$(y-2)^2 ≥ 0$
$\therefore \begin{cases} x + 2y = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = -4 \\ y = 2 \end{cases}$
$\therefore x + y = -4 + 2 = -2$
(2) 由题意，得
$a^2 - 12a + 36 + b^2 - 8b + 16 = 0$
$\therefore (a - 6)^2 + (b - 4)^2 = 0$
$\because (a-6)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$
$\therefore \begin{cases} a - 6 = 0 \\ b - 4 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 6 \\ b = 4 \end{cases}$
由三角形三边关系可得：$6-4 ＜ c ＜ 6+4$，即$2 ＜ c ＜ 10$
又$\because c$是$△ ABC$的最长边，
$\therefore 6 ≤ c ＜ 10$
$\because c$为偶数，
$\therefore c$可取的值为6，8。
答：(1) $x+y$的值为$-2$；(2) $c$可能是6和8。
解析
【分析】
本题属于材料阅读类题目，解题核心是仿照例题使用配方法，将多项式拆分成若干个完全平方式的和，再利用“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质求解未知量。(1)问中将5y²拆分为4y²+y²，分别与x²+4xy、-4y+4凑成完全平方，求出x、y后代入计算x+y即可；(2)问先将等式右边的项移到左边，拆分常数项凑成a、b的完全平方，求出a、b的值后，结合三角形三边关系、“c是最长边”“c为偶数”的限制条件，即可确定c的可能取值。
【解析】
(1) 由题意，得
$x^2 + 4xy + 4y^2 + y^2 - 4y + 4 = 0$
$\therefore (x + 2y)^2 + (y - 2)^2 = 0$
$\because (x+2y)^2 ≥ 0$，$(y-2)^2 ≥ 0$
$\therefore \begin{cases} x + 2y = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = -4 \\ y = 2 \end{cases}$
$\therefore x + y = -4 + 2 = -2$
(2) 由题意，得
$a^2 - 12a + 36 + b^2 - 8b + 16 = 0$
$\therefore (a - 6)^2 + (b - 4)^2 = 0$
$\because (a-6)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$
$\therefore \begin{cases} a - 6 = 0 \\ b - 4 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 6 \\ b = 4 \end{cases}$
由三角形三边关系可得：$6-4 ＜ c ＜ 6+4$，即$2 ＜ c ＜ 10$
又$\because c$是$△ ABC$的最长边，
$\therefore 6 ≤ c ＜ 10$
$\because c$为偶数，
$\therefore c$可取的值为6，8。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{6、8}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题考查配方法的迁移应用，需要掌握分组凑完全平方的技巧，结合非负数的性质求出未知量后，注意审题，不要遗漏题目给出的限制条件，避免出现多解、错解的情况。
【难度系数】
0.7
本题属于材料阅读类题目，解题核心是仿照例题使用配方法，将多项式拆分成若干个完全平方式的和，再利用“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质求解未知量。(1)问中将5y²拆分为4y²+y²，分别与x²+4xy、-4y+4凑成完全平方，求出x、y后代入计算x+y即可；(2)问先将等式右边的项移到左边，拆分常数项凑成a、b的完全平方，求出a、b的值后，结合三角形三边关系、“c是最长边”“c为偶数”的限制条件，即可确定c的可能取值。
【解析】
(1) 由题意，得
$x^2 + 4xy + 4y^2 + y^2 - 4y + 4 = 0$
$\therefore (x + 2y)^2 + (y - 2)^2 = 0$
$\because (x+2y)^2 ≥ 0$，$(y-2)^2 ≥ 0$
$\therefore \begin{cases} x + 2y = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = -4 \\ y = 2 \end{cases}$
$\therefore x + y = -4 + 2 = -2$
(2) 由题意，得
$a^2 - 12a + 36 + b^2 - 8b + 16 = 0$
$\therefore (a - 6)^2 + (b - 4)^2 = 0$
$\because (a-6)^2 ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$
$\therefore \begin{cases} a - 6 = 0 \\ b - 4 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 6 \\ b = 4 \end{cases}$
由三角形三边关系可得：$6-4 ＜ c ＜ 6+4$，即$2 ＜ c ＜ 10$
又$\because c$是$△ ABC$的最长边，
$\therefore 6 ≤ c ＜ 10$
$\because c$为偶数，
$\therefore c$可取的值为6，8。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{6、8}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题考查配方法的迁移应用，需要掌握分组凑完全平方的技巧，结合非负数的性质求出未知量后，注意审题，不要遗漏题目给出的限制条件，避免出现多解、错解的情况。
【难度系数】
0.7
