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21. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分∠CAB,交CE于点F,DF的延长线交AC于点G.求证:
(1)DF//BC;
(2)FG=FE.
(1)DF//BC;
(2)FG=FE.
答案
证明：
(1) ∵ AF平分∠CAB，
∴ ∠CAF = ∠DAF。
在△ACF和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\∠CAF = ∠DAF \\AF = AF\end{array} $
∴ △ACF ≌ △ADF（SAS）。
∴ ∠ACF = ∠ADF。
∵ ∠ACB = 90°，CE⊥AB，
∴ ∠ACE + ∠BCE = 90°，∠B + ∠BCE = 90°，
∴ ∠ACF = ∠B，
∴ ∠ADF = ∠B，
∴ DF//BC。
(2) ∵ DF//BC，∠ACB = 90°，
∴ ∠AGF = ∠ACB = 90°，即FG⊥AC。
又∵ CE⊥AB，AF平分∠CAB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ FG = FE。
(1) ∵ AF平分∠CAB，
∴ ∠CAF = ∠DAF。
在△ACF和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\∠CAF = ∠DAF \\AF = AF\end{array} $
∴ △ACF ≌ △ADF（SAS）。
∴ ∠ACF = ∠ADF。
∵ ∠ACB = 90°，CE⊥AB，
∴ ∠ACE + ∠BCE = 90°，∠B + ∠BCE = 90°，
∴ ∠ACF = ∠B，
∴ ∠ADF = ∠B，
∴ DF//BC。
(2) ∵ DF//BC，∠ACB = 90°，
∴ ∠AGF = ∠ACB = 90°，即FG⊥AC。
又∵ CE⊥AB，AF平分∠CAB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ FG = FE。
解析
【分析】
(1) 要证DF//BC，可通过证明同位角相等推导，即证∠ADF=∠B。首先由AF平分∠CAB得∠CAF=∠DAF，结合已知AC=AD、公共边AF，可先通过SAS证明△ACF≌△ADF，得到∠ACF=∠ADF；再结合∠ACB=90°、CE⊥AB，根据同角的余角相等可推出∠ACF=∠B，等量代换后得∠ADF=∠B，即可证明平行。
(2) 要证FG=FE，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先由DF//BC、∠ACB=90°可推出FG⊥AC，而已知CE⊥AB，点F在∠CAB的角平分线AF上，因此F到AC的距离FG和到AB的距离FE相等。
【解析】
(1)
∵ AF平分∠CAB，
∴ ∠CAF = ∠DAF。
在△ACF和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\∠CAF = ∠DAF \\AF = AF\end{array} $
∴ △ACF ≌ △ADF（SAS）。
∴ ∠ACF = ∠ADF。
∵ ∠ACB = 90°，CE⊥AB，
∴ ∠ACE + ∠BCE = 90°，∠B + ∠BCE = 90°，
∴ ∠ACF = ∠B，
∴ ∠ADF = ∠B，
∴ DF//BC。
(2)
∵ DF//BC，∠ACB = 90°，
∴ ∠AGF = ∠ACB = 90°，即FG⊥AC。
又
∵ CE⊥AB，AF平分∠CAB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ FG = FE。
【答案】
(1) DF//BC得证；(2) FG=FE得证，证明过程见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题突破口是先利用已知边角条件证明三角形全等，进而推导角的等量关系得到平行结论，最后结合角平分线的性质证明线段相等，能很好地锻炼几何逻辑推理能力，巩固三角形、平行线相关核心知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 要证DF//BC，可通过证明同位角相等推导，即证∠ADF=∠B。首先由AF平分∠CAB得∠CAF=∠DAF，结合已知AC=AD、公共边AF，可先通过SAS证明△ACF≌△ADF，得到∠ACF=∠ADF；再结合∠ACB=90°、CE⊥AB，根据同角的余角相等可推出∠ACF=∠B，等量代换后得∠ADF=∠B，即可证明平行。
(2) 要证FG=FE，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先由DF//BC、∠ACB=90°可推出FG⊥AC，而已知CE⊥AB，点F在∠CAB的角平分线AF上，因此F到AC的距离FG和到AB的距离FE相等。
【解析】
(1)
∵ AF平分∠CAB，
∴ ∠CAF = ∠DAF。
在△ACF和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\∠CAF = ∠DAF \\AF = AF\end{array} $
∴ △ACF ≌ △ADF（SAS）。
∴ ∠ACF = ∠ADF。
∵ ∠ACB = 90°，CE⊥AB，
∴ ∠ACE + ∠BCE = 90°，∠B + ∠BCE = 90°，
∴ ∠ACF = ∠B，
∴ ∠ADF = ∠B，
∴ DF//BC。
(2)
∵ DF//BC，∠ACB = 90°，
∴ ∠AGF = ∠ACB = 90°，即FG⊥AC。
又
∵ CE⊥AB，AF平分∠CAB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ FG = FE。
【答案】
(1) DF//BC得证；(2) FG=FE得证，证明过程见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题突破口是先利用已知边角条件证明三角形全等，进而推导角的等量关系得到平行结论，最后结合角平分线的性质证明线段相等，能很好地锻炼几何逻辑推理能力，巩固三角形、平行线相关核心知识点。
【难度系数】
0.7
22. 提升题 对于任意四个有理数$a,b,c,d$,可以组成两个有理数对$(a,b)$与$(c,d)$,我们规定:$(a,b)\otimes(c,d)=a^2+d^2 - bc$.例如$(1,2)\otimes(3,4)=1^2+4^2 - 2×3=11$.
(1)若$(2x,kx)\otimes(y,-y)$是一个完全平方式,则常数$k$的值为.
(2)若$2x+y=12$,且$(3x+y,2x^2+3y^2)\otimes(3,x-3y)=84$,求$xy$的值.
(3)在(2)的条件下,将长方形$ABCD$及长方形$CEFG$按照图示位置放置,其中点$E,G$分别在边$CD,BC$上,连接$BD,BF,DF,EG$.若$AB=2x,BC=8x,CE=y,CG=4y$,求图中阴影部分的面积.
23. 提升题 利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题.
【初步感知】
如图①,在$△ ABC$中,$AP$为中线,过点$B$作$BM⊥ AP$于点$M$,过点$C$作$CN⊥ AP$交$AP$的延长线于点$N$.在$PA$的延长线上取一点$Q$,连接$BQ$,使$∠ Q=∠ CAN$.
(1)填空:$S_{△ BMP}$(填“＞”“＜”或“=”)$S_{△ CNP}$.
(2)求证:$△ QBM≌△ ACN$.
(3)试说明:$S_{△ QBM}=S_{△ BPM}+S_{△ ACP}$.
【拓展应用】
(4)如图②,在$△ ABC$中,$∠ BAC$是钝角,点$D$在边$BC$上,$AB=AD$.点$E$在边$AC$上,点$F$在边$CA$的延长线上,$∠ BAF＞∠ DAE,∠ BFA=∠ AED=∠ BAD$.若$BD=2DC,△ ABD$的面积是12,求$△ ABF$与$△ CDE$面积的和.
(1)若$(2x,kx)\otimes(y,-y)$是一个完全平方式,则常数$k$的值为.
(2)若$2x+y=12$,且$(3x+y,2x^2+3y^2)\otimes(3,x-3y)=84$,求$xy$的值.
(3)在(2)的条件下,将长方形$ABCD$及长方形$CEFG$按照图示位置放置,其中点$E,G$分别在边$CD,BC$上,连接$BD,BF,DF,EG$.若$AB=2x,BC=8x,CE=y,CG=4y$,求图中阴影部分的面积.
23. 提升题 利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题.
【初步感知】
如图①,在$△ ABC$中,$AP$为中线,过点$B$作$BM⊥ AP$于点$M$,过点$C$作$CN⊥ AP$交$AP$的延长线于点$N$.在$PA$的延长线上取一点$Q$,连接$BQ$,使$∠ Q=∠ CAN$.
(1)填空:$S_{△ BMP}$(填“＞”“＜”或“=”)$S_{△ CNP}$.
(2)求证:$△ QBM≌△ ACN$.
(3)试说明:$S_{△ QBM}=S_{△ BPM}+S_{△ ACP}$.
【拓展应用】
(4)如图②,在$△ ABC$中,$∠ BAC$是钝角,点$D$在边$BC$上,$AB=AD$.点$E$在边$AC$上,点$F$在边$CA$的延长线上,$∠ BAF＞∠ DAE,∠ BFA=∠ AED=∠ BAD$.若$BD=2DC,△ ABD$的面积是12,求$△ ABF$与$△ CDE$面积的和.
答案
22. 解：
(1) 根据规定运算：
$(2x,kx)\otimes(y,-y)=(2x)^2 + (-y)^2 - kx· y=4x^2 -kxy + y^2$
因为该式是完全平方式，对比完全平方公式$(2x\pm y)^2=4x^2\pm4xy+y^2$，可得$-k=\pm4$，即$k=\pm4$。
故答案为$\boldsymbol{\pm4}$。
(2) 根据运算规定展开：
$\begin{aligned}(3x+y,2x^2+3y^2)\otimes(3,x-3y)&=(3x+y)^2 + (x-3y)^2 - 3(2x^2+3y^2)\\&=9x^2+6xy+y^2+x^2-6xy+9y^2-6x^2-9y^2\\&=4x^2+y^2\end{aligned}$
由题意得$4x^2+y^2=84$，已知$2x+y=12$，将等式两边平方：
$(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2=144$
代入$4x^2+y^2=84$，得$84+4xy=144$，解得$xy=15$。
(3) 设点$B$为坐标原点$(0,0)$，则各点坐标为：
$B(0,0)$，$C(8x,0)$，$D(8x,2x)$，$E(8x,y)$，$G(8x-4y,0)$，$F(8x-4y,y)$。
阴影部分面积为$S_{△ BDF}+S_{△ EFG}$：
由鞋带公式得$S_{△ BDF}=\frac{1}{2}\left|0·2x + 8x· y + (8x-4y)·0 - 0·8x - 2x·(8x-4y) - y·0\right|=8x^2-8xy$
$S_{△ EFG}=\frac{1}{2}·4y· y=2y^2$
因此：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=8x^2-8xy+2y^2\\&=2(4x^2+y^2)-8xy\end{aligned}$
代入$4x^2+y^2=84$，$xy=15$，得：
$S_{\mathrm{阴影}}=2×84 -8×15=168-120=48$
答：$xy$的值为15，阴影部分的面积为48。
---
23. 解：
(1) 因为$AP$是$△ ABC$的中线，所以$BP=CP$。
又$BM⊥ AP$，$CN⊥ AP$，所以$∠ BMP=∠ CNP=90°$，且$∠ BPM=∠ CPN$，故$△ BMP≌△ CNP(\mathrm{AAS})$，因此$S_{△ BMP}=S_{△ CNP}$。
故答案为$\boldsymbol{=}$。
(2) 证明：
因为$BM⊥ AP$，$CN⊥ AP$，所以$∠ BMQ=∠ CNA=90°$。
由(1)中$△ BMP≌△ CNP$，得$BM=CN$。
在$△ QBM$和$△ ACN$中：
$\begin{cases}∠ Q=∠ CAN\\∠ BMQ=∠ CNA\\BM=CN\end{cases}$
所以$△ QBM≌△ ACN(\mathrm{AAS})$。
(3) 说明：
由(2)知$△ QBM≌△ ACN$，所以$S_{△ QBM}=S_{△ ACN}$。
而$S_{△ ACN}=S_{△ ACP}+S_{△ CNP}$，结合(1)中$S_{△ CNP}=S_{△ BMP}$，可得：
$S_{△ QBM}=S_{△ BPM}+S_{△ ACP}$
(4) 因为$∠ BFA=∠ AED=∠ BAD$，且点$F$在$CA$延长线上，所以：
$∠ ABF=180°-∠ BFA-∠ BAF=180°-∠ BAD-∠ BAF$
$∠ DAE=180°-∠ BAD-∠ BAF$
因此$∠ ABF=∠ DAE$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases}∠ BFA=∠ AED\\∠ ABF=∠ DAE\\AB=AD\end{cases}$
所以$△ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$，即$S_{△ ABF}=S_{△ DAE}$。
因此$S_{△ ABF}+S_{△ CDE}=S_{△ DAE}+S_{△ CDE}=S_{△ ADC}$。
因为$BD=2DC$，$△ ABD$和$△ ADC$同高，所以$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=BD:DC=2:1$。
已知$S_{△ ABD}=12$，所以$S_{△ ADC}=6$，即$△ ABF$与$△ CDE$面积的和为6。
答：$△ ABF$与$△ CDE$面积的和为6。
(1) 根据规定运算：
$(2x,kx)\otimes(y,-y)=(2x)^2 + (-y)^2 - kx· y=4x^2 -kxy + y^2$
因为该式是完全平方式，对比完全平方公式$(2x\pm y)^2=4x^2\pm4xy+y^2$，可得$-k=\pm4$，即$k=\pm4$。
故答案为$\boldsymbol{\pm4}$。
(2) 根据运算规定展开：
$\begin{aligned}(3x+y,2x^2+3y^2)\otimes(3,x-3y)&=(3x+y)^2 + (x-3y)^2 - 3(2x^2+3y^2)\\&=9x^2+6xy+y^2+x^2-6xy+9y^2-6x^2-9y^2\\&=4x^2+y^2\end{aligned}$
由题意得$4x^2+y^2=84$，已知$2x+y=12$，将等式两边平方：
$(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2=144$
代入$4x^2+y^2=84$，得$84+4xy=144$，解得$xy=15$。
(3) 设点$B$为坐标原点$(0,0)$，则各点坐标为：
$B(0,0)$，$C(8x,0)$，$D(8x,2x)$，$E(8x,y)$，$G(8x-4y,0)$，$F(8x-4y,y)$。
阴影部分面积为$S_{△ BDF}+S_{△ EFG}$：
由鞋带公式得$S_{△ BDF}=\frac{1}{2}\left|0·2x + 8x· y + (8x-4y)·0 - 0·8x - 2x·(8x-4y) - y·0\right|=8x^2-8xy$
$S_{△ EFG}=\frac{1}{2}·4y· y=2y^2$
因此：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=8x^2-8xy+2y^2\\&=2(4x^2+y^2)-8xy\end{aligned}$
代入$4x^2+y^2=84$，$xy=15$，得：
$S_{\mathrm{阴影}}=2×84 -8×15=168-120=48$
答：$xy$的值为15，阴影部分的面积为48。
---
23. 解：
(1) 因为$AP$是$△ ABC$的中线，所以$BP=CP$。
又$BM⊥ AP$，$CN⊥ AP$，所以$∠ BMP=∠ CNP=90°$，且$∠ BPM=∠ CPN$，故$△ BMP≌△ CNP(\mathrm{AAS})$，因此$S_{△ BMP}=S_{△ CNP}$。
故答案为$\boldsymbol{=}$。
(2) 证明：
因为$BM⊥ AP$，$CN⊥ AP$，所以$∠ BMQ=∠ CNA=90°$。
由(1)中$△ BMP≌△ CNP$，得$BM=CN$。
在$△ QBM$和$△ ACN$中：
$\begin{cases}∠ Q=∠ CAN\\∠ BMQ=∠ CNA\\BM=CN\end{cases}$
所以$△ QBM≌△ ACN(\mathrm{AAS})$。
(3) 说明：
由(2)知$△ QBM≌△ ACN$，所以$S_{△ QBM}=S_{△ ACN}$。
而$S_{△ ACN}=S_{△ ACP}+S_{△ CNP}$，结合(1)中$S_{△ CNP}=S_{△ BMP}$，可得：
$S_{△ QBM}=S_{△ BPM}+S_{△ ACP}$
(4) 因为$∠ BFA=∠ AED=∠ BAD$，且点$F$在$CA$延长线上，所以：
$∠ ABF=180°-∠ BFA-∠ BAF=180°-∠ BAD-∠ BAF$
$∠ DAE=180°-∠ BAD-∠ BAF$
因此$∠ ABF=∠ DAE$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases}∠ BFA=∠ AED\\∠ ABF=∠ DAE\\AB=AD\end{cases}$
所以$△ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$，即$S_{△ ABF}=S_{△ DAE}$。
因此$S_{△ ABF}+S_{△ CDE}=S_{△ DAE}+S_{△ CDE}=S_{△ ADC}$。
因为$BD=2DC$，$△ ABD$和$△ ADC$同高，所以$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=BD:DC=2:1$。
已知$S_{△ ABD}=12$，所以$S_{△ ADC}=6$，即$△ ABF$与$△ CDE$面积的和为6。
答：$△ ABF$与$△ CDE$面积的和为6。
解析
第22题
【分析】
本题是新定义运算结合代数计算、几何面积的综合题：
(1) 先准确理解新运算⊗的规则，将给定数对代入展开得到二次三项式，再结合完全平方式的特征，中间项系数等于首尾两项平方根乘积的±2倍，即可求出k的值；
(2) 按新运算规则展开式子，合并同类项化简，再将已知的$2x+y=12$两边平方，代入化简结果即可求出$xy$的值；
(3) 把阴影部分拆分为两个三角形分别计算面积，整理为含有$4x^2+y^2$和$xy$的形式，代入前两问结论即可求出结果，无需单独求解x、y，可简化计算。
【解析】
(1) 根据新运算规则：
$(2x,kx)\otimes(y,-y)=(2x)^2 + (-y)^2 - kx· y=4x^2 -kxy + y^2$
∵该式是完全平方式，对照完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，这里$a=2x,b=y$，可得$-k=\pm 2×2×1=\pm4$，即$k=\pm4$。
(2) 按新运算规则展开：
$\begin{aligned}(3x+y,2x^2+3y^2)\otimes(3,x-3y)&=(3x+y)^2 + (x-3y)^2 - 3(2x^2+3y^2)\\&=9x^2+6xy+y^2+x^2-6xy+9y^2-6x^2-9y^2\\&=4x^2+y^2\end{aligned}$
由题意得$4x^2+y^2=84$，已知$2x+y=12$，将等式两边平方得：
$(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2=144$
把$4x^2+y^2=84$代入得$84+4xy=144$，解得$xy=15$。
(3) 阴影部分由$△ BDF$和$△ EGF$组成：
① $△ EGF$是直角三角形，直角边为$CG=4y、CE=y$，所以$S_{△ EGF}=\frac{1}{2}×4y× y=2y^2$；
② 矩形$ABCD$面积$S_{ABCD}=2x×8x=16x^2$，周围三个空白三角形面积分别为$S_{△ ABD}=8x^2$、$S_{△ BCF}=4xy$、$S_{△ DCF}=4xy$，因此$S_{△ BDF}=16x^2-8x^2-4xy-4xy=8x^2-8xy$。
阴影总面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=8x^2-8xy+2y^2\\&=2(4x^2+y^2)-8xy\end{aligned}$
代入$4x^2+y^2=84$、$xy=15$得：$S_{\mathrm{阴影}}=2×84-8×15=48$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\pm4}$；(2) $\boldsymbol{xy=15}$；(3) 阴影部分面积为$\boldsymbol{48}$
【知识点】
新定义运算，完全平方公式，面积计算
【点评】
本题考查对新运算规则的理解应用能力，结合完全平方公式的变形求值，以及几何阴影面积的割补计算，第三问用整体代入的思想可避免复杂解方程，降低计算量。
【难度系数】
0.6
---
第23题
【分析】
本题围绕全等三角形的判定与性质、三角形面积计算展开，逐层递进：
(1) 根据中线定义得$BP=CP$，结合直角和对顶角相等，用AAS证$△ BMP≌△ CNP$，全等三角形面积相等即可得结果；
(2) 证$△ QBM≌△ ACN$，已有$∠ Q=∠ CAN$和两个直角相等，由(1)的全等得$BM=CN$，用AAS即可证明；
(3) 由全等面积相等得$S_{△ QBM}=S_{△ ACN}$，将$S_{△ ACN}$拆分为$S_{△ ACP}+S_{△ CNP}$，结合(1)的结论等量代换即可得证；
(4) 先通过角的等量代换证$△ ABF≌△ DAE$，得两者面积相等，所求面积和转化为$△ ADC$的面积，再根据同高三角形面积比等于底的比，结合$BD$和$DC$的比例即可求出结果。
【解析】
(1)
∵AP是△ABC的中线，
∴$BP=CP$
∵$BM⊥AP,CN⊥AP$，
∴$∠BMP=∠CNP=90°$
在$△ BMP$和$△ CNP$中：
$\begin{cases}∠BMP=∠CNP\\∠BPM=∠CPN\\BP=CP\end{cases}$
∴$△ BMP≌△ CNP(\mathrm{AAS})$，因此$S_{△ BMP}=S_{△ CNP}$。
(2) 证明：
∵$BM⊥AP,CN⊥AP$，
∴$∠BMQ=∠CNA=90°$
由(1)的全等得$BM=CN$，在$△ QBM$和$△ ACN$中：
$\begin{cases}∠Q=∠CAN\\∠BMQ=∠CNA\\BM=CN\end{cases}$
∴$△ QBM≌△ ACN(\mathrm{AAS})$。
(3) 由(2)的全等得$S_{△ QBM}=S_{△ ACN}$，
∵$S_{△ ACN}=S_{△ ACP}+S_{△ CNP}$，结合(1)中$S_{△ CNP}=S_{△ BMP}$，代入得：
$S_{△ QBM}=S_{△ BPM}+S_{△ ACP}$，得证。
(4) 解：
∵$∠BFA=∠AED=∠BAD$，
∴$∠ABF=180°-∠BFA-∠BAF=180°-∠BAD-∠BAF$，
$∠DAE=180°-∠BAD-∠BAF$，因此$∠ABF=∠DAE$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases}∠BFA=∠AED\\∠ABF=∠DAE\\AB=AD\end{cases}$
∴$△ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$，即$S_{△ ABF}=S_{△ DAE}$。
因此$S_{△ ABF}+S_{△ CDE}=S_{△ DAE}+S_{△ CDE}=S_{△ ADC}$。
∵$BD=2DC$，$△ ABD$和$△ ADC$同高，面积比等于底的比，即$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=2:1$，
已知$S_{△ ABD}=12$，得$S_{△ ADC}=6$，即所求面积和为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{=}$；(2) 证明见解析；(3) 说明见解析；(4) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题从基础全等证明到拓展应用，考查全等三角形的判定、面积性质，以及同高三角形面积的比例关系，需要熟练掌握角的等量代换和面积转化的思想，综合性较强。
【难度系数】
0.55
【分析】
本题是新定义运算结合代数计算、几何面积的综合题：
(1) 先准确理解新运算⊗的规则，将给定数对代入展开得到二次三项式，再结合完全平方式的特征，中间项系数等于首尾两项平方根乘积的±2倍，即可求出k的值；
(2) 按新运算规则展开式子，合并同类项化简，再将已知的$2x+y=12$两边平方，代入化简结果即可求出$xy$的值；
(3) 把阴影部分拆分为两个三角形分别计算面积，整理为含有$4x^2+y^2$和$xy$的形式，代入前两问结论即可求出结果，无需单独求解x、y，可简化计算。
【解析】
(1) 根据新运算规则：
$(2x,kx)\otimes(y,-y)=(2x)^2 + (-y)^2 - kx· y=4x^2 -kxy + y^2$
∵该式是完全平方式，对照完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，这里$a=2x,b=y$，可得$-k=\pm 2×2×1=\pm4$，即$k=\pm4$。
(2) 按新运算规则展开：
$\begin{aligned}(3x+y,2x^2+3y^2)\otimes(3,x-3y)&=(3x+y)^2 + (x-3y)^2 - 3(2x^2+3y^2)\\&=9x^2+6xy+y^2+x^2-6xy+9y^2-6x^2-9y^2\\&=4x^2+y^2\end{aligned}$
由题意得$4x^2+y^2=84$，已知$2x+y=12$，将等式两边平方得：
$(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2=144$
把$4x^2+y^2=84$代入得$84+4xy=144$，解得$xy=15$。
(3) 阴影部分由$△ BDF$和$△ EGF$组成：
① $△ EGF$是直角三角形，直角边为$CG=4y、CE=y$，所以$S_{△ EGF}=\frac{1}{2}×4y× y=2y^2$；
② 矩形$ABCD$面积$S_{ABCD}=2x×8x=16x^2$，周围三个空白三角形面积分别为$S_{△ ABD}=8x^2$、$S_{△ BCF}=4xy$、$S_{△ DCF}=4xy$，因此$S_{△ BDF}=16x^2-8x^2-4xy-4xy=8x^2-8xy$。
阴影总面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=8x^2-8xy+2y^2\\&=2(4x^2+y^2)-8xy\end{aligned}$
代入$4x^2+y^2=84$、$xy=15$得：$S_{\mathrm{阴影}}=2×84-8×15=48$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\pm4}$；(2) $\boldsymbol{xy=15}$；(3) 阴影部分面积为$\boldsymbol{48}$
【知识点】
新定义运算，完全平方公式，面积计算
【点评】
本题考查对新运算规则的理解应用能力，结合完全平方公式的变形求值，以及几何阴影面积的割补计算，第三问用整体代入的思想可避免复杂解方程，降低计算量。
【难度系数】
0.6
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第23题
【分析】
本题围绕全等三角形的判定与性质、三角形面积计算展开，逐层递进：
(1) 根据中线定义得$BP=CP$，结合直角和对顶角相等，用AAS证$△ BMP≌△ CNP$，全等三角形面积相等即可得结果；
(2) 证$△ QBM≌△ ACN$，已有$∠ Q=∠ CAN$和两个直角相等，由(1)的全等得$BM=CN$，用AAS即可证明；
(3) 由全等面积相等得$S_{△ QBM}=S_{△ ACN}$，将$S_{△ ACN}$拆分为$S_{△ ACP}+S_{△ CNP}$，结合(1)的结论等量代换即可得证；
(4) 先通过角的等量代换证$△ ABF≌△ DAE$，得两者面积相等，所求面积和转化为$△ ADC$的面积，再根据同高三角形面积比等于底的比，结合$BD$和$DC$的比例即可求出结果。
【解析】
(1)
∵AP是△ABC的中线，
∴$BP=CP$
∵$BM⊥AP,CN⊥AP$，
∴$∠BMP=∠CNP=90°$
在$△ BMP$和$△ CNP$中：
$\begin{cases}∠BMP=∠CNP\\∠BPM=∠CPN\\BP=CP\end{cases}$
∴$△ BMP≌△ CNP(\mathrm{AAS})$，因此$S_{△ BMP}=S_{△ CNP}$。
(2) 证明：
∵$BM⊥AP,CN⊥AP$，
∴$∠BMQ=∠CNA=90°$
由(1)的全等得$BM=CN$，在$△ QBM$和$△ ACN$中：
$\begin{cases}∠Q=∠CAN\\∠BMQ=∠CNA\\BM=CN\end{cases}$
∴$△ QBM≌△ ACN(\mathrm{AAS})$。
(3) 由(2)的全等得$S_{△ QBM}=S_{△ ACN}$，
∵$S_{△ ACN}=S_{△ ACP}+S_{△ CNP}$，结合(1)中$S_{△ CNP}=S_{△ BMP}$，代入得：
$S_{△ QBM}=S_{△ BPM}+S_{△ ACP}$，得证。
(4) 解：
∵$∠BFA=∠AED=∠BAD$，
∴$∠ABF=180°-∠BFA-∠BAF=180°-∠BAD-∠BAF$，
$∠DAE=180°-∠BAD-∠BAF$，因此$∠ABF=∠DAE$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases}∠BFA=∠AED\\∠ABF=∠DAE\\AB=AD\end{cases}$
∴$△ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$，即$S_{△ ABF}=S_{△ DAE}$。
因此$S_{△ ABF}+S_{△ CDE}=S_{△ DAE}+S_{△ CDE}=S_{△ ADC}$。
∵$BD=2DC$，$△ ABD$和$△ ADC$同高，面积比等于底的比，即$S_{△ ABD}:S_{△ ADC}=2:1$，
已知$S_{△ ABD}=12$，得$S_{△ ADC}=6$，即所求面积和为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{=}$；(2) 证明见解析；(3) 说明见解析；(4) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题从基础全等证明到拓展应用，考查全等三角形的判定、面积性质，以及同高三角形面积的比例关系，需要熟练掌握角的等量代换和面积转化的思想，综合性较强。
【难度系数】
0.55
