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8.小华步行去离家1 200 m的学校上学,出发10 min后,爸爸发现小华的数学作业落在家里,便骑车追赶小华。如图,$l_1$,$l_2$分别表示两人离家的路程$y$(单位:m)与小华出发时间$t$(单位:min)之间的关系。
(1)小华步行的速度为
(2)求$l_2$的函数表达式,并说明该表达式中一次项系数的实际意义。
(3)爸爸能否在小华到达学校前追上他?请通过计算说明。
(1)小华步行的速度为
$60\ \mathrm{m/min}$
,爸爸骑车的速度为$180\ \mathrm{m/min}$
。(2)求$l_2$的函数表达式,并说明该表达式中一次项系数的实际意义。
(3)爸爸能否在小华到达学校前追上他?请通过计算说明。
答案
解:(2)设 $ l_2 $ 的函数表达式为 $ y=kt+b $。
由图象可知,函数图象经过点(10,0)和(12,360),
代入,得$\begin{cases}0=10k+b, \\360=12k+b。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=180, \\b=-1\ 800。\end{cases}$
所以,$ l_2 $ 的函数表达式为 $ y=180t-1\ 800 $。
由(1)可得,爸爸骑车的速度为 180 m/min,所以该表达式中一次项系数的实际意义是爸爸骑车的速度为 180 m/min。
(3)设 $ l_1 $ 的函数表达式为 $ y=k_1t $。
当 $ t=10 $ 时,$ y=600 $,所以 $ 600=10k_1 $。
解得 $ k_1=60 $。
所以 $ l_1 $ 的函数表达式为 $ y=60t $。
令 $ 60t=180t-1\ 800 $,解得 $ t=15 $。
把 $ t=15 $ 代入 $ y=60t $,得 $ y=60×15=900 $。
因为 $ 900＜1\ 200 $,
所以,爸爸能在小华到达学校前追上他。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求解速度：速度=路程÷对应时间，从图象中提取小华、爸爸行驶的路程和对应时间，直接计算即可得到两人的速度。
2. 求$l_2$的函数表达式：$l_2$是一次函数，使用待定系数法，选取图象上两个已知坐标点代入一次函数一般式，解二元一次方程组求出系数即可；一次项系数对应爸爸的行驶速度。
3. 判断能否追上：先求出小华的路程函数$l_1$的表达式，联立两个函数解析式求交点，交点对应的路程若小于家到学校的总路程1200m，说明爸爸能在小华到学校前追上。
【解析】
(1) 小华步行速度：由图象可知小华10min走了600m，因此速度为$600÷10=60\ \mathrm{m/min}$；
爸爸在小华出发10min后出发，到12min时行驶了360m，用时$12-10=2\ \mathrm{min}$，因此骑车速度为$360÷2=180\ \mathrm{m/min}$。
(2) 设$l_2$的函数表达式为$y=kt+b$，由图象得$l_2$过点$(10,0)$和$(12,360)$，代入得：
$\begin{cases}0=10k+b\\360=12k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=180\\b=-1800\end{cases}$
因此$l_2$的函数表达式为$\boldsymbol{y=180t-1800\ (t≥10)}$；
一次项系数180的实际意义是：爸爸骑车的速度为180m/min。
(3) 设$l_1$的函数表达式为$y=k_1t$，将点$(10,600)$代入得$600=10k_1$，解得$k_1=60$，即$l_1:y=60t$。
联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=60t\\y=180t-1800\end{cases}$
解得$t=15$，此时$y=60×15=900\ \mathrm{m}$。
因为$900＜1200$，说明追上小华时小华还未到达学校，因此爸爸能在小华到达学校前追上他。
【答案】
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、行程追及问题
【点评】
本题结合生活中的追及场景考查一次函数的实际应用，要求学生能够从函数图象中提取关键信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，能结合函数交点的实际意义解决实际问题，是一次函数应用类的典型习题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 求解速度：速度=路程÷对应时间，从图象中提取小华、爸爸行驶的路程和对应时间，直接计算即可得到两人的速度。
2. 求$l_2$的函数表达式：$l_2$是一次函数，使用待定系数法，选取图象上两个已知坐标点代入一次函数一般式，解二元一次方程组求出系数即可；一次项系数对应爸爸的行驶速度。
3. 判断能否追上：先求出小华的路程函数$l_1$的表达式，联立两个函数解析式求交点，交点对应的路程若小于家到学校的总路程1200m，说明爸爸能在小华到学校前追上。
【解析】
(1) 小华步行速度：由图象可知小华10min走了600m，因此速度为$600÷10=60\ \mathrm{m/min}$；
爸爸在小华出发10min后出发，到12min时行驶了360m，用时$12-10=2\ \mathrm{min}$，因此骑车速度为$360÷2=180\ \mathrm{m/min}$。
(2) 设$l_2$的函数表达式为$y=kt+b$，由图象得$l_2$过点$(10,0)$和$(12,360)$，代入得：
$\begin{cases}0=10k+b\\360=12k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=180\\b=-1800\end{cases}$
因此$l_2$的函数表达式为$\boldsymbol{y=180t-1800\ (t≥10)}$；
一次项系数180的实际意义是：爸爸骑车的速度为180m/min。
(3) 设$l_1$的函数表达式为$y=k_1t$，将点$(10,600)$代入得$600=10k_1$，解得$k_1=60$，即$l_1:y=60t$。
联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=60t\\y=180t-1800\end{cases}$
解得$t=15$，此时$y=60×15=900\ \mathrm{m}$。
因为$900＜1200$，说明追上小华时小华还未到达学校，因此爸爸能在小华到达学校前追上他。
【答案】
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、行程追及问题
【点评】
本题结合生活中的追及场景考查一次函数的实际应用，要求学生能够从函数图象中提取关键信息，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，能结合函数交点的实际意义解决实际问题，是一次函数应用类的典型习题。
【难度系数】
0.7
9. 提升题随着人工智能技术的不断发展，智能机器人已广泛进入我们的生活。某公司研发出A，B两种型号的扫地机器人，已知3台A型扫地机器人和2台B型扫地机器人每小时刚好可以清洁地面180 m²，1台A型扫地机器人和3台B型扫地机器人每小时刚好可以清洁地面130 m²。
(1)一台A型扫地机器人每小时可以清洁地面
(2)某家居店计划购进一批A，B两种型号的扫地机器人(两种型号均购买)，要求这批扫地机器人每小时刚好可以清洁地面480 m²。设购进A型扫地机器人a台，B型扫地机器人b台，请用含b的代数式表示a：
(3)在(2)的条件下，已知A型扫地机器人每台售价为1万元，B型扫地机器人每台售价为1.25万元，设购买总费用为W万元，如何购买才能使总费用W最少？最少费用是多少万元？
(1)一台A型扫地机器人每小时可以清洁地面
$40$
m²，一台B型扫地机器人每小时可以清洁地面$30$
m²。(2)某家居店计划购进一批A，B两种型号的扫地机器人(两种型号均购买)，要求这批扫地机器人每小时刚好可以清洁地面480 m²。设购进A型扫地机器人a台，B型扫地机器人b台，请用含b的代数式表示a：
$a=12-\dfrac{3}{4}b$
。(3)在(2)的条件下，已知A型扫地机器人每台售价为1万元，B型扫地机器人每台售价为1.25万元，设购买总费用为W万元，如何购买才能使总费用W最少？最少费用是多少万元？
答案
解:(3)根据题意,得 $ W=a+1.25b=(12-\dfrac{3}{4}b)+1.25b=0.5b+12 $。
因为 $ 0.5＞0 $,所以 $ W $ 随 $ b $ 的增大而增大。
因为 $ a=12-\dfrac{3}{4}b $,且 $ a,b $ 均为正整数,
所以$\begin{cases}a=9, \\b=4\end{cases}$ 或$\begin{cases}a=6, \\b=8\end{cases}$ 或$\begin{cases}a=3, \\b=12。\end{cases}$
所以当 $ b=4 $ 时,$ W_{\mathrm{最小}}=0.5×4+12=14 $。
答:购买 9 台 A 型扫地机器人和 4 台 B 型扫地机器人时,总费用 $ W $ 最少,最少费用是14 万元。
因为 $ 0.5＞0 $,所以 $ W $ 随 $ b $ 的增大而增大。
因为 $ a=12-\dfrac{3}{4}b $,且 $ a,b $ 均为正整数,
所以$\begin{cases}a=9, \\b=4\end{cases}$ 或$\begin{cases}a=6, \\b=8\end{cases}$ 或$\begin{cases}a=3, \\b=12。\end{cases}$
所以当 $ b=4 $ 时,$ W_{\mathrm{最小}}=0.5×4+12=14 $。
答:购买 9 台 A 型扫地机器人和 4 台 B 型扫地机器人时,总费用 $ W $ 最少,最少费用是14 万元。
解析
【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：
(1) 第一问求两种扫地机器人的清洁效率，属于二元一次方程组应用问题，分别设A型、B型扫地机器人每小时清洁面积为未知数，根据题干给出的两个等量关系列方程组求解即可。
(2) 第二问要求用含b的代数式表示a，利用第一问求出的清洁效率，结合总清洁面积为480m²的条件列等式，整理变形即可得到a的表达式。
(3) 第三问求最低总费用，首先根据总费用=A型费用+B型费用列出W关于a、b的表达式，再将第二问的a代入得到W关于b的一次函数，结合一次函数的增减性，同时注意a、b均为正整数的限制条件，找到使W最小的b值，进而求出最优购买方案和最低费用。
【解析】
(1) 设1台A型扫地机器人每小时清洁地面$x$ m²，1台B型扫地机器人每小时清洁地面$y$ m²，根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 180 \\ x + 3y = 130\end{cases}$
将第二个方程两边乘3得：$3x + 9y = 390$，用该式减去第一个方程得：$7y=210$，解得$y=30$。
把$y=30$代入$x + 3y = 130$，得$x=130 - 3×30=40$。
(2) 根据总清洁面积为480m²，列等式：
$40a + 30b = 480$
两边同时除以10化简得：$4a + 3b = 48$
移项整理得：$a=\frac{48 - 3b}{4}=12 - \frac{3}{4}b$
(3) 根据题意，总费用$W = 1×a + 1.25×b$，将$a=12 - \frac{3}{4}b$代入得：
$W=12 - \frac{3}{4}b + 1.25b = 0.5b + 12$
∵$0.5＞0$，
∴$W$随$b$的增大而增大。
又
∵$a、b$均为正整数，且$a=12 - \frac{3}{4}b＞0$，
∴$\frac{3}{4}b＜12$，即$b＜16$，且$b$是4的正整数倍，
因此$b$的可取正整数值为4、8、12，对应$a$的值为9、6、3。
要使$W$最小，需取最小的$b$值，即$b=4$，
此时$W_{\mathrm{最小}}=0.5×4 + 12=14$（万元），对应$a=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{30}$
(2) $\boldsymbol{a=12-\dfrac{3}{4}b}$
(3) 购买9台A型扫地机器人和4台B型扫地机器人时总费用最少，最少费用为$\boldsymbol{14}$万元。
【知识点】
二元一次方程组应用；一次函数性质；方案优化计算
【点评】
本题以智能扫地机器人的实际应用为背景，综合考查了方程与函数的相关知识，解题的核心是准确提炼题干中的等量关系，结合整数限制条件确定可行方案，再利用一次函数的增减性求解最值，能有效考查学生的数学应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
本题分为三小问，解题思路如下：
(1) 第一问求两种扫地机器人的清洁效率，属于二元一次方程组应用问题，分别设A型、B型扫地机器人每小时清洁面积为未知数，根据题干给出的两个等量关系列方程组求解即可。
(2) 第二问要求用含b的代数式表示a，利用第一问求出的清洁效率，结合总清洁面积为480m²的条件列等式，整理变形即可得到a的表达式。
(3) 第三问求最低总费用，首先根据总费用=A型费用+B型费用列出W关于a、b的表达式，再将第二问的a代入得到W关于b的一次函数，结合一次函数的增减性，同时注意a、b均为正整数的限制条件，找到使W最小的b值，进而求出最优购买方案和最低费用。
【解析】
(1) 设1台A型扫地机器人每小时清洁地面$x$ m²，1台B型扫地机器人每小时清洁地面$y$ m²，根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 180 \\ x + 3y = 130\end{cases}$
将第二个方程两边乘3得：$3x + 9y = 390$，用该式减去第一个方程得：$7y=210$，解得$y=30$。
把$y=30$代入$x + 3y = 130$，得$x=130 - 3×30=40$。
(2) 根据总清洁面积为480m²，列等式：
$40a + 30b = 480$
两边同时除以10化简得：$4a + 3b = 48$
移项整理得：$a=\frac{48 - 3b}{4}=12 - \frac{3}{4}b$
(3) 根据题意，总费用$W = 1×a + 1.25×b$，将$a=12 - \frac{3}{4}b$代入得：
$W=12 - \frac{3}{4}b + 1.25b = 0.5b + 12$
∵$0.5＞0$，
∴$W$随$b$的增大而增大。
又
∵$a、b$均为正整数，且$a=12 - \frac{3}{4}b＞0$，
∴$\frac{3}{4}b＜12$，即$b＜16$，且$b$是4的正整数倍，
因此$b$的可取正整数值为4、8、12，对应$a$的值为9、6、3。
要使$W$最小，需取最小的$b$值，即$b=4$，
此时$W_{\mathrm{最小}}=0.5×4 + 12=14$（万元），对应$a=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{30}$
(2) $\boldsymbol{a=12-\dfrac{3}{4}b}$
(3) 购买9台A型扫地机器人和4台B型扫地机器人时总费用最少，最少费用为$\boldsymbol{14}$万元。
【知识点】
二元一次方程组应用；一次函数性质；方案优化计算
【点评】
本题以智能扫地机器人的实际应用为背景，综合考查了方程与函数的相关知识，解题的核心是准确提炼题干中的等量关系，结合整数限制条件确定可行方案，再利用一次函数的增减性求解最值，能有效考查学生的数学应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
