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1.若$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$和$\begin{cases}x=-1, \\ y=4\end{cases}$都是方程$y=kx+b(k,b是常数)$的解，则$k,b$的值分别是（ ）
A.$-1,3$
B.$1,4$
C.$3,2$
D.$5,-3$
A.$-1,3$
B.$1,4$
C.$3,2$
D.$5,-3$
答案
A
解析
【分析】
根据二元一次方程解的定义，方程的解代入方程后等式成立，因此我们可以将题目给出的两组解分别代入$y=kx+b$，得到两个关于k、b的等式，联立成二元一次方程组，再解方程组即可求出k、b的值。
【解析】
将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入$y=kx+b$，可得：
$k + b = 2$ ①
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=4\end{cases}$代入$y=kx+b$，可得：
$-k + b = 4$ ②
联立①②得到二元一次方程组$\begin{cases}k + b = 2 \\ -k + b = 4\end{cases}$，用加减消元法求解：
①+②得：$2b=6$，解得$b=3$
将$b=3$代入①得：$k + 3 = 2$，解得$k=-1$
因此k、b的值分别为-1、3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础类题型，将求参数的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题的关键，熟练掌握代入消元、加减消元两种解方程组的方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
根据二元一次方程解的定义，方程的解代入方程后等式成立，因此我们可以将题目给出的两组解分别代入$y=kx+b$，得到两个关于k、b的等式，联立成二元一次方程组，再解方程组即可求出k、b的值。
【解析】
将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入$y=kx+b$，可得：
$k + b = 2$ ①
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=4\end{cases}$代入$y=kx+b$，可得：
$-k + b = 4$ ②
联立①②得到二元一次方程组$\begin{cases}k + b = 2 \\ -k + b = 4\end{cases}$，用加减消元法求解：
①+②得：$2b=6$，解得$b=3$
将$b=3$代入①得：$k + 3 = 2$，解得$k=-1$
因此k、b的值分别为-1、3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础类题型，将求参数的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题的关键，熟练掌握代入消元、加减消元两种解方程组的方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2.若二元一次方程组$\begin{cases}3x+2y=10,\\kx+(k+2)y=6\end{cases}$的解$x,y$的值相等，则$k$的值为( )
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$\frac{5}{2}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$2$
D.$\frac{5}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题的突破口是题目给出的“x,y的值相等”这一条件，即$x=y$。我们可以先利用这个条件，将第一个不含参数k的方程中的y替换为x，先求出x和y的具体值，再将x、y的值代入第二个含参数k的方程，就能得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
已知方程组的解x、y的值相等，即$x=y$。
第一步：将$y=x$代入方程$3x+2y=10$，得：
$3x + 2x = 10$
合并同类项得$5x=10$，解得$x=2$，因此$y=x=2$。
第二步：将$x=2$，$y=2$代入方程$kx+(k+2)y=6$，得：
$2k + 2(k+2) = 6$
展开括号得$2k + 2k + 4 = 6$
移项、合并同类项得$4k = 2$
系数化为1得$k=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
1.二元一次方程组的解
2.代入消元法
3.一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二元一次方程组解的理解，解题时抓住x=y的特殊条件即可快速找到解题路径，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题的突破口是题目给出的“x,y的值相等”这一条件，即$x=y$。我们可以先利用这个条件，将第一个不含参数k的方程中的y替换为x，先求出x和y的具体值，再将x、y的值代入第二个含参数k的方程，就能得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
已知方程组的解x、y的值相等，即$x=y$。
第一步：将$y=x$代入方程$3x+2y=10$，得：
$3x + 2x = 10$
合并同类项得$5x=10$，解得$x=2$，因此$y=x=2$。
第二步：将$x=2$，$y=2$代入方程$kx+(k+2)y=6$，得：
$2k + 2(k+2) = 6$
展开括号得$2k + 2k + 4 = 6$
移项、合并同类项得$4k = 2$
系数化为1得$k=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
1.二元一次方程组的解
2.代入消元法
3.一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二元一次方程组解的理解，解题时抓住x=y的特殊条件即可快速找到解题路径，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
3. 提升题 已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ x - y + 3 + m(2x + y - 6) = 0 $，不论 $ m $ 取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为(
A.$ \begin{cases} x=1, \\ y=-4 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x=1, \\ y=4 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x=-1, \\ y=2 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x=-1, \\ y=-2 \end{cases} $
B
)A.$ \begin{cases} x=1, \\ y=-4 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x=1, \\ y=4 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x=-1, \\ y=2 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x=-1, \\ y=-2 \end{cases} $
答案
B
解析
【分析】
题目要求不论m取何值，方程都有固定不变的解，说明这个解和参数m的取值无关。我们可以先将原方程整理为含m的项和不含m的项两部分，要使等式对任意m都成立，必须让含m的项的系数为0，同时不含m的部分也等于0，由此列出二元一次方程组，求解即可得到固定解；也可以将各选项逐一代入方程验证，判断是否对任意m都成立。
【解析】
先将原方程整理，合并含m的项：
$(2x + y - 6)m + (x - y + 3) = 0$
因为不论m取何值，等式都成立，所以需满足：
$\begin{cases}2x + y - 6 = 0 \\ x - y + 3 = 0 \end{cases}$
将两个方程相加，得：
$3x - 3 = 0$，解得$x=1$
把$x=1$代入$x - y + 3 = 0$，得：
$1 - y + 3 = 0$，解得$y=4$
所以这个固定解为$\begin{cases}x=1 \\ y=4 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程的解 2.解二元一次方程组
【点评】
本题考查含参数的二元一次方程恒成立问题，解题关键是理解“固定解与参数无关”的含义，即参数的系数为0，也可通过代入法快速验证选项，是方程章节的常见提升题型。
【难度系数】
0.7
题目要求不论m取何值，方程都有固定不变的解，说明这个解和参数m的取值无关。我们可以先将原方程整理为含m的项和不含m的项两部分，要使等式对任意m都成立，必须让含m的项的系数为0，同时不含m的部分也等于0，由此列出二元一次方程组，求解即可得到固定解；也可以将各选项逐一代入方程验证，判断是否对任意m都成立。
【解析】
先将原方程整理，合并含m的项：
$(2x + y - 6)m + (x - y + 3) = 0$
因为不论m取何值，等式都成立，所以需满足：
$\begin{cases}2x + y - 6 = 0 \\ x - y + 3 = 0 \end{cases}$
将两个方程相加，得：
$3x - 3 = 0$，解得$x=1$
把$x=1$代入$x - y + 3 = 0$，得：
$1 - y + 3 = 0$，解得$y=4$
所以这个固定解为$\begin{cases}x=1 \\ y=4 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程的解 2.解二元一次方程组
【点评】
本题考查含参数的二元一次方程恒成立问题，解题关键是理解“固定解与参数无关”的含义，即参数的系数为0，也可通过代入法快速验证选项，是方程章节的常见提升题型。
【难度系数】
0.7
4. 提升题 若$m,n$是有理数，$(\sqrt{5}+2)m + (3-2\sqrt{5})n +7=0$，则$m=$
$-2$
，$n=$$-1$
。答案
$m=-2$，$n=-1$
解析
【分析】
已知m、n是有理数，$\sqrt{5}$是无理数，解题时先将原式整理为含$\sqrt{5}$的无理项和不含根号的有理项两部分。由于有理数与无理数无法合并，要使两部分的和为0，必须满足无理项的系数为0，同时有理项的和也为0，据此列出二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值。
【解析】
先将原式展开并整理：
$(\sqrt{5}+2)m + (3-2\sqrt{5})n +7=0$
$\sqrt{5}m + 2m + 3n - 2\sqrt{5}n +7=0$
把含$\sqrt{5}$的项合并，有理项合并，得：
$\sqrt{5}(m - 2n) + (2m + 3n + 7)=0$
因为m、n是有理数，所以$m-2n$、$2m+3n+7$均为有理数，又$\sqrt{5}$是无理数，要使等式成立，需满足：
$\begin{cases}m - 2n = 0 \quad ①\\2m + 3n + 7 = 0 \quad ②\end{cases}$
由①得：$m=2n$，将其代入②：
$2×2n + 3n +7=0$
$7n +7=0$
解得$n=-1$，代入$m=2n$得$m=2×(-1)=-2$。
【答案】
$m=-2$，$n=-1$
【知识点】
1. 无理数的性质
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是实数运算与方程知识结合的典型题型，解题核心是利用“有理数与无理数相加和为0时，无理数的系数必为0，有理数部分的和也为0”的性质，将原式转化为方程组求解，能很好地考察学生对实数性质的理解和方程的应用能力。
【难度系数】
0.6
已知m、n是有理数，$\sqrt{5}$是无理数，解题时先将原式整理为含$\sqrt{5}$的无理项和不含根号的有理项两部分。由于有理数与无理数无法合并，要使两部分的和为0，必须满足无理项的系数为0，同时有理项的和也为0，据此列出二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值。
【解析】
先将原式展开并整理：
$(\sqrt{5}+2)m + (3-2\sqrt{5})n +7=0$
$\sqrt{5}m + 2m + 3n - 2\sqrt{5}n +7=0$
把含$\sqrt{5}$的项合并，有理项合并，得：
$\sqrt{5}(m - 2n) + (2m + 3n + 7)=0$
因为m、n是有理数，所以$m-2n$、$2m+3n+7$均为有理数，又$\sqrt{5}$是无理数，要使等式成立，需满足：
$\begin{cases}m - 2n = 0 \quad ①\\2m + 3n + 7 = 0 \quad ②\end{cases}$
由①得：$m=2n$，将其代入②：
$2×2n + 3n +7=0$
$7n +7=0$
解得$n=-1$，代入$m=2n$得$m=2×(-1)=-2$。
【答案】
$m=-2$，$n=-1$
【知识点】
1. 无理数的性质
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是实数运算与方程知识结合的典型题型，解题核心是利用“有理数与无理数相加和为0时，无理数的系数必为0，有理数部分的和也为0”的性质，将原式转化为方程组求解，能很好地考察学生对实数性质的理解和方程的应用能力。
【难度系数】
0.6
5.一个两位数的十位数字比个位数字的2倍大1，若这个两位数减去36恰好等于其个位数字与十位数字对调后得到的新两位数。设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则可列方程组为。
答案
$\begin{cases}x-2y=1, \\(10x+y)-36=10y+x \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心等量关系，同时掌握两位数的表示方法：两位数=十位数字×10 + 个位数字。第一步，根据“十位数字比个位数字的2倍大1”可列出第一个关于x、y的方程；第二步，先写出原两位数和对调后新两位数的表达式，再根据“原两位数减去36等于对调后的新两位数”列出第二个方程，最后联立两个方程即可得到方程组。
【解析】
1. 根据第一个等量关系“十位数字比个位数字的2倍大1”，已知十位数字为x，个位数字为y，可得：
$x = 2y + 1$，整理为$x - 2y = 1$。
2. 先表示两个两位数：原两位数十位是x、个位是y，因此原数为$10x + y$；对调后十位是y、个位是x，因此新数为$10y + x$。
3. 根据第二个等量关系“原两位数减去36等于对调后的新两位数”，可得：
$(10x + y) - 36 = 10y + x$。
4. 联立两个方程，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}x-2y=1, \\(10x+y)-36=10y+x \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组；两位数的表示方法
【点评】
本题是列方程组解应用题的基础题型，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，熟练掌握多位数的表示规则，平时练习时要注重培养审题找等量关系的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心等量关系，同时掌握两位数的表示方法：两位数=十位数字×10 + 个位数字。第一步，根据“十位数字比个位数字的2倍大1”可列出第一个关于x、y的方程；第二步，先写出原两位数和对调后新两位数的表达式，再根据“原两位数减去36等于对调后的新两位数”列出第二个方程，最后联立两个方程即可得到方程组。
【解析】
1. 根据第一个等量关系“十位数字比个位数字的2倍大1”，已知十位数字为x，个位数字为y，可得：
$x = 2y + 1$，整理为$x - 2y = 1$。
2. 先表示两个两位数：原两位数十位是x、个位是y，因此原数为$10x + y$；对调后十位是y、个位是x，因此新数为$10y + x$。
3. 根据第二个等量关系“原两位数减去36等于对调后的新两位数”，可得：
$(10x + y) - 36 = 10y + x$。
4. 联立两个方程，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}x-2y=1, \\(10x+y)-36=10y+x \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组；两位数的表示方法
【点评】
本题是列方程组解应用题的基础题型，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，熟练掌握多位数的表示规则，平时练习时要注重培养审题找等量关系的能力。
【难度系数】
0.8
6.定义一种新运算:对于两个非零有理数m,n,规定$m\otimes n=2m+n$。若$x\otimes (-y)=2,2y\otimes x=-1$,则$x+y$的值为
$\frac{1}{3}$
。答案
$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新运算的规则，将题目中含新运算符号的等式转化为我们熟悉的普通四则运算等式，得到关于x、y的二元一次方程组。观察方程组中两个方程的系数特点，将两个方程左右两边分别相加，可直接得到含x+y的整体式子，无需单独求解x和y即可快速算出x+y的值，也可先解方程组求出x、y的值再相加得到结果。
【解析】
根据新运算规则$m\otimes n=2m+n$，对已知等式进行转化：
1. 对于$x\otimes (-y)=2$，这里$m=x$，$n=-y$，代入规则得：
$2x + (-y) = 2$，即$2x - y = 2$ ①
2. 对于$2y\otimes x=-1$，这里$m=2y$，$n=x$，代入规则得：
$2×(2y) + x = -1$，即$x + 4y = -1$ ②
将①和②左右两边分别相加，得：
$2x - y + x + 4y = 2 + (-1)$
整理得：$3x + 3y = 1$
提取公因式得：$3(x+y) = 1$
两边同时除以3，得：$x+y = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
新定义运算、解二元一次方程组、代数式求值
【点评】
本题是新定义运算与二元一次方程组结合的常规题型，解题核心是正确将新运算转化为常规的四则运算，再结合方程组的运算技巧求解。本题采用整体相加的方法可简化计算，避免单独求解x、y的繁琐步骤，考查学生的知识迁移能力和运算灵活性。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解新运算的规则，将题目中含新运算符号的等式转化为我们熟悉的普通四则运算等式，得到关于x、y的二元一次方程组。观察方程组中两个方程的系数特点，将两个方程左右两边分别相加，可直接得到含x+y的整体式子，无需单独求解x和y即可快速算出x+y的值，也可先解方程组求出x、y的值再相加得到结果。
【解析】
根据新运算规则$m\otimes n=2m+n$，对已知等式进行转化：
1. 对于$x\otimes (-y)=2$，这里$m=x$，$n=-y$，代入规则得：
$2x + (-y) = 2$，即$2x - y = 2$ ①
2. 对于$2y\otimes x=-1$，这里$m=2y$，$n=x$，代入规则得：
$2×(2y) + x = -1$，即$x + 4y = -1$ ②
将①和②左右两边分别相加，得：
$2x - y + x + 4y = 2 + (-1)$
整理得：$3x + 3y = 1$
提取公因式得：$3(x+y) = 1$
两边同时除以3，得：$x+y = \frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
新定义运算、解二元一次方程组、代数式求值
【点评】
本题是新定义运算与二元一次方程组结合的常规题型，解题核心是正确将新运算转化为常规的四则运算，再结合方程组的运算技巧求解。本题采用整体相加的方法可简化计算，避免单独求解x、y的繁琐步骤，考查学生的知识迁移能力和运算灵活性。
【难度系数】
0.7
7.解方程组。
(1)$\begin{cases}3x - 2y = 2, \\5x + 4y = 1;\end{cases}$
(2)
(1)$\begin{cases}3x - 2y = 2, \\5x + 4y = 1;\end{cases}$
(2)
答案
(1)$\begin{cases}x=\frac{5}{11}, \\y=-\frac{7}{22}\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=7, \\y=1\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=7, \\y=1\end{cases}$
解析
【分析】
本题考查二元一次方程组的求解，核心方法是消元法（加减消元、代入消元）：
(1) 观察第一个方程组，y的系数分别为-2和4，存在2倍关系，选择加减消元法，将第一个方程乘2后与第二个方程相加即可消去y，先求出x的值，再代入任意方程求出y的值；
(2) 第二个方程组含分母和括号，先分别化简两个方程：第一个方程去分母、去括号、合并同类项得到标准整式方程，第二个方程去括号、移项合并得到x与y的关系，再用代入消元法求解即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 2&① \\5x + 4y = 1&②\end{cases}$
将①×2，得：$6x-4y=4$ ③
②+③，得：$11x=5$，解得$x=\frac{5}{11}$
将$x=\frac{5}{11}$代入①，得：$3×\frac{5}{11}-2y=2$
计算得：$\frac{15}{11}-2y=\frac{22}{11}$，移项得$-2y=\frac{7}{11}$，解得$y=-\frac{7}{22}$
(2) 解方程组$\begin{cases}\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{3}=6&① \\4(x-y)=3(x+y)&②\end{cases}$
先化简①：两边同乘6去分母，得$3(x+y)+2(x-y)=36$
去括号合并同类项：$3x+3y+2x-2y=36$，即$5x+y=36$ ③
再化简②：去括号得$4x-4y=3x+3y$，移项合并得$x=7y$ ④
将④代入③，得：$5×7y+y=36$，即$36y=36$，解得$y=1$
将$y=1$代入④，得：$x=7×1=7$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=\frac{5}{11}, \\y=-\frac{7}{22}\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=7, \\y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础训练题，重点考察消元思想的应用，解题时先观察方程特征选择简便的消元方法，遇到非标准形式的方程组先化简再计算，注意计算过程中符号和去分母时不要漏乘项，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
本题考查二元一次方程组的求解，核心方法是消元法（加减消元、代入消元）：
(1) 观察第一个方程组，y的系数分别为-2和4，存在2倍关系，选择加减消元法，将第一个方程乘2后与第二个方程相加即可消去y，先求出x的值，再代入任意方程求出y的值；
(2) 第二个方程组含分母和括号，先分别化简两个方程：第一个方程去分母、去括号、合并同类项得到标准整式方程，第二个方程去括号、移项合并得到x与y的关系，再用代入消元法求解即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 2&① \\5x + 4y = 1&②\end{cases}$
将①×2，得：$6x-4y=4$ ③
②+③，得：$11x=5$，解得$x=\frac{5}{11}$
将$x=\frac{5}{11}$代入①，得：$3×\frac{5}{11}-2y=2$
计算得：$\frac{15}{11}-2y=\frac{22}{11}$，移项得$-2y=\frac{7}{11}$，解得$y=-\frac{7}{22}$
(2) 解方程组$\begin{cases}\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{3}=6&① \\4(x-y)=3(x+y)&②\end{cases}$
先化简①：两边同乘6去分母，得$3(x+y)+2(x-y)=36$
去括号合并同类项：$3x+3y+2x-2y=36$，即$5x+y=36$ ③
再化简②：去括号得$4x-4y=3x+3y$，移项合并得$x=7y$ ④
将④代入③，得：$5×7y+y=36$，即$36y=36$，解得$y=1$
将$y=1$代入④，得：$x=7×1=7$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=\frac{5}{11}, \\y=-\frac{7}{22}\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=7, \\y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础训练题，重点考察消元思想的应用，解题时先观察方程特征选择简便的消元方法，遇到非标准形式的方程组先化简再计算，注意计算过程中符号和去分母时不要漏乘项，减少计算失误。
【难度系数】
0.7
