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8.如图,正比例函数$y=-3x$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象相交于点$P(m,3)$,一次函数的图象经过点$B(1,1)$,与$y$轴的交点为$D$,与$x$轴的交点为$C$。
(1)求一次函数的表达式。
(2)求$△ COP$的面积。
(3)不解关于$x$的方程$(k+3)x+b=0$,直接写出方程的解。
(1)求一次函数的表达式。
(2)求$△ COP$的面积。
(3)不解关于$x$的方程$(k+3)x+b=0$,直接写出方程的解。
答案
(1)因为正比例函数$y=-3x$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象交于点$P(m,3)$，
所以$-3m=3$。解得$m=-1$。
所以点$P$的坐标为$(-1,3)$。
把$(1,1)$和$(-1,3)$代入一次函数$y=kx+b$，
得$\begin{cases}k+b=1, \\-k+b=3\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1, \\b=2\end{cases}$
所以一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2)由(1)知，一次函数的表达式为$y=-x+2$。
令$y=0$，得$-x+2=0$。解得$x=2$。
所以点$C$的坐标为$(2,0)$。所以$OC=2$。
因为点$P$的坐标为$(-1,3)$，
所以$S_{△ COP}=\frac{1}{2}×2×3=3$。
(3)由图象可知，正比例函数$y=-3x$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象相交于点$P(-1,3)$，所以方程的解为$x=-1$。
所以$-3m=3$。解得$m=-1$。
所以点$P$的坐标为$(-1,3)$。
把$(1,1)$和$(-1,3)$代入一次函数$y=kx+b$，
得$\begin{cases}k+b=1, \\-k+b=3\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1, \\b=2\end{cases}$
所以一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2)由(1)知，一次函数的表达式为$y=-x+2$。
令$y=0$，得$-x+2=0$。解得$x=2$。
所以点$C$的坐标为$(2,0)$。所以$OC=2$。
因为点$P$的坐标为$(-1,3)$，
所以$S_{△ COP}=\frac{1}{2}×2×3=3$。
(3)由图象可知，正比例函数$y=-3x$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象相交于点$P(-1,3)$，所以方程的解为$x=-1$。
解析
【分析】
(1) 求一次函数表达式需要2个图象上的点坐标，已知点P是两个函数的交点，因此先将P(m,3)代入正比例函数求出m的值，得到P点坐标，再结合已知的点B(1,1)，用待定系数法代入y=kx+b，解二元一次方程组即可求得k、b的值，得到一次函数表达式。
(2) 求△COP的面积时，先找底OC的长度：令一次函数y=0，求出x的值即可得到C点坐标，得到OC=2；三角形的高为点P纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可计算。
(3) 先将方程变形为kx+b=-3x，该方程的解就是一次函数与正比例函数图象交点的横坐标，结合两函数交点P的坐标即可直接得到解。
【解析】
(1) 因为正比例函数$y=-3x$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象交于点$P(m,3)$，
所以$-3m=3$，解得$m=-1$，即点$P$的坐标为$(-1,3)$。
把$B(1,1)$和$P(-1,3)$代入一次函数$y=kx+b$，
得$\begin{cases}k+b=1 \\-k+b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\b=2\end{cases}$
所以一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 由(1)知一次函数的表达式为$y=-x+2$，
令$y=0$，得$-x+2=0$，解得$x=2$，
所以点$C$的坐标为$(2,0)$，即$OC=2$。
因为点$P$的坐标为$(-1,3)$，
所以$S_{△ COP}=\frac{1}{2} × OC × |y_{P}|=\frac{1}{2}×2×3=3$。
(3) 方程$(k+3)x+b=0$可变形为$kx+b=-3x$，对应两个函数值相等时$x$的取值，即两个函数图象交点的横坐标。
已知两函数图象交于点$P(-1,3)$，所以方程的解为$x=-1$。
【答案】
(1) $y=-x+2$
(2) $3$
(3) $x=-1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，结合了函数交点性质、待定系数法、三角形面积计算、函数与方程的联系等内容，解题核心是理解函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，能结合图象分析代数问题，是一次函数章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数表达式需要2个图象上的点坐标，已知点P是两个函数的交点，因此先将P(m,3)代入正比例函数求出m的值，得到P点坐标，再结合已知的点B(1,1)，用待定系数法代入y=kx+b，解二元一次方程组即可求得k、b的值，得到一次函数表达式。
(2) 求△COP的面积时，先找底OC的长度：令一次函数y=0，求出x的值即可得到C点坐标，得到OC=2；三角形的高为点P纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式即可计算。
(3) 先将方程变形为kx+b=-3x，该方程的解就是一次函数与正比例函数图象交点的横坐标，结合两函数交点P的坐标即可直接得到解。
【解析】
(1) 因为正比例函数$y=-3x$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象交于点$P(m,3)$，
所以$-3m=3$，解得$m=-1$，即点$P$的坐标为$(-1,3)$。
把$B(1,1)$和$P(-1,3)$代入一次函数$y=kx+b$，
得$\begin{cases}k+b=1 \\-k+b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\b=2\end{cases}$
所以一次函数的表达式为$y=-x+2$。
(2) 由(1)知一次函数的表达式为$y=-x+2$，
令$y=0$，得$-x+2=0$，解得$x=2$，
所以点$C$的坐标为$(2,0)$，即$OC=2$。
因为点$P$的坐标为$(-1,3)$，
所以$S_{△ COP}=\frac{1}{2} × OC × |y_{P}|=\frac{1}{2}×2×3=3$。
(3) 方程$(k+3)x+b=0$可变形为$kx+b=-3x$，对应两个函数值相等时$x$的取值，即两个函数图象交点的横坐标。
已知两函数图象交于点$P(-1,3)$，所以方程的解为$x=-1$。
【答案】
(1) $y=-x+2$
(2) $3$
(3) $x=-1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，结合了函数交点性质、待定系数法、三角形面积计算、函数与方程的联系等内容，解题核心是理解函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，能结合图象分析代数问题，是一次函数章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
9.某商店计划购进 A,B 两种纪念品。若购进 A 种纪念品 10 件,B 种纪念品 5 件,则需支付 215 元;若购进 A 种纪念品 5 件,B 种纪念品 10 件,则需支付 205 元。
(1)求 A,B 两种纪念品每件的进价。
(2)已知商店购进两种纪念品共 32 件,总共支付 450 元。两种纪念品均按 18 元/件的价格出售,其中 5 件 B 种纪念品以七五折售出。求这 32 件纪念品的销售利润。
(1)求 A,B 两种纪念品每件的进价。
(2)已知商店购进两种纪念品共 32 件,总共支付 450 元。两种纪念品均按 18 元/件的价格出售,其中 5 件 B 种纪念品以七五折售出。求这 32 件纪念品的销售利润。
答案
(1)设A种纪念品每件的进价为$x$元，B种纪念品每件的进价为$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}10x+5y=215, \\5x+10y=205\end{cases}$。
解得$\begin{cases}x=15, \\y=13\end{cases}$。
答:A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为13元。
(2)销售利润为$(32-5)×18+5×18×0.75-450=103.5$(元)。
答:这32件纪念品的销售利润为103.5元。
根据题意，得$\begin{cases}10x+5y=215, \\5x+10y=205\end{cases}$。
解得$\begin{cases}x=15, \\y=13\end{cases}$。
答:A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为13元。
(2)销售利润为$(32-5)×18+5×18×0.75-450=103.5$(元)。
答:这32件纪念品的销售利润为103.5元。
解析
【分析】
(1) 第一问属于二元一次方程组的实际应用问题，我们可以分别设A、B两种纪念品的进价为未知数，根据题目给出的两次进货的总费用这两个等量关系，列出二元一次方程组，求解即可得到两种纪念品的进价。
(2) 第二问求销售利润，牢记利润计算公式：销售利润=总销售额-总成本。总成本题目已直接给出为450元，总销售额需分两部分计算：一部分是27件按原价18元/件出售的商品，另一部分是5件按七五折出售的B种纪念品，算出总销售额后减去总成本即可得到利润。
【解析】
(1) 设A种纪念品每件的进价为$x$元，B种纪念品每件的进价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x+5y=215&① \\5x+10y=205&②\end{cases}$
将①式两边除以5化简得：$2x+y=43$，即$y=43-2x$ ③
把③代入②式得：$5x+10(43-2x)=205$
展开计算：$5x+430-20x=205$
移项合并同类项得：$-15x=-225$
解得：$x=15$
将$x=15$代入③得：$y=43-2×15=13$
即方程组的解为$\begin{cases}x=15 \\y=13\end{cases}$
(2) 计算总销售额：
正常售价出售的商品数量为$32-5=27$件，这部分销售额为$27×18=486$元
5件打折商品的销售额为$5×18×0.75=67.5$元
总销售额为$486+67.5=553.5$元
已知总成本为450元，因此销售利润为$553.5-450=103.5$元
【答案】
(1) A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为13元；
(2) 这32件纪念品的销售利润为103.5元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，销售利润计算，打折销售问题
【点评】
本题结合实际进货销售场景出题，主要考查学生提取题干等量关系列方程求解的能力，以及对销售类问题中利润、打折计算公式的掌握，是方程应用题的常见基础题型。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问属于二元一次方程组的实际应用问题，我们可以分别设A、B两种纪念品的进价为未知数，根据题目给出的两次进货的总费用这两个等量关系，列出二元一次方程组，求解即可得到两种纪念品的进价。
(2) 第二问求销售利润，牢记利润计算公式：销售利润=总销售额-总成本。总成本题目已直接给出为450元，总销售额需分两部分计算：一部分是27件按原价18元/件出售的商品，另一部分是5件按七五折出售的B种纪念品，算出总销售额后减去总成本即可得到利润。
【解析】
(1) 设A种纪念品每件的进价为$x$元，B种纪念品每件的进价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x+5y=215&① \\5x+10y=205&②\end{cases}$
将①式两边除以5化简得：$2x+y=43$，即$y=43-2x$ ③
把③代入②式得：$5x+10(43-2x)=205$
展开计算：$5x+430-20x=205$
移项合并同类项得：$-15x=-225$
解得：$x=15$
将$x=15$代入③得：$y=43-2×15=13$
即方程组的解为$\begin{cases}x=15 \\y=13\end{cases}$
(2) 计算总销售额：
正常售价出售的商品数量为$32-5=27$件，这部分销售额为$27×18=486$元
5件打折商品的销售额为$5×18×0.75=67.5$元
总销售额为$486+67.5=553.5$元
已知总成本为450元，因此销售利润为$553.5-450=103.5$元
【答案】
(1) A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为13元；
(2) 这32件纪念品的销售利润为103.5元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，销售利润计算，打折销售问题
【点评】
本题结合实际进货销售场景出题，主要考查学生提取题干等量关系列方程求解的能力，以及对销售类问题中利润、打折计算公式的掌握，是方程应用题的常见基础题型。
【难度系数】
0.75
