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1. 若$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$ax - y=5$的一个解，则$a$的值为（ ）
A.$-2$
B.$3$
C.$2$
D.$6$
A.$-2$
B.$3$
C.$2$
D.$6$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。所以我们只需将题目给出的x、y的值代入原方程，就能得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的取值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是二元一次方程$ax - y=5$的解，将$x=2$、$y=1$代入方程可得：
$2a - 1 = 5$
移项得：$2a = 5 + 1$
计算得：$2a = 6$
系数化为1得：$a = 3$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程解的概念，解题关键是牢记方程的解一定满足原方程，代入计算时注意符号运算即可避免出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。所以我们只需将题目给出的x、y的值代入原方程，就能得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的取值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是二元一次方程$ax - y=5$的解，将$x=2$、$y=1$代入方程可得：
$2a - 1 = 5$
移项得：$2a = 5 + 1$
计算得：$2a = 6$
系数化为1得：$a = 3$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程解的概念，解题关键是牢记方程的解一定满足原方程，代入计算时注意符号运算即可避免出错。
【难度系数】
0.9
2.甲、乙两人练习跑步，若乙先跑16 m，则甲8 s可追上乙；若乙先跑2 s，则甲4 s可追上乙。求甲、乙两人每秒各跑多少米。若设甲每秒跑x m，乙每秒跑y m，则可列方程组为（
A.$\begin{cases} 8x=8y+16, \\ 4x-2=4y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 8x-8y=16, \\ 4x-4y=4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 8x-16=5y, \\ 4x-4y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 16=8(x-y), \\ (2+4)y=4x \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} 8x=8y+16, \\ 4x-2=4y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 8x-8y=16, \\ 4x-4y=4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 8x-16=5y, \\ 4x-4y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 16=8(x-y), \\ (2+4)y=4x \end{cases}$
答案
2.D
解析
【分析】
这是一道追及问题列方程组的题目，解题核心是找到两种追及场景下的路程等量关系。第一步处理第一个条件：乙先跑16m，甲8s追上，说明甲8s跑的路程比乙8s跑的路程多16m，可得到第一个等量关系；第二步处理第二个条件：乙先跑2s，甲4s追上，说明甲4s跑的路程和乙一共跑（2+4）s的路程相等，可得到第二个等量关系，再把等量关系转化为方程匹配选项即可。
【解析】
首先根据第一个条件“乙先跑16 m，则甲8 s可追上乙”：
8秒内甲跑的路程为$8x$米，乙跑的路程为$8y$米，甲比乙多跑16米，因此可得：
$8x - 8y = 16$，变形为$16=8(x-y)$。
再根据第二个条件“乙先跑2 s，则甲4 s可追上乙”：
乙总共跑的时间为$2+4=6$秒，总路程为$6y$米，甲4秒跑的路程为$4x$米，追上时两人路程相等，因此可得：
$4x=(2+4)y$，即$(2+4)y=4x$。
综上，得到的方程组和选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；追及问题等量关系
【点评】
本题重点考查追及问题中列二元一次方程组，解题的关键是准确梳理两种场景下两人的行驶时间、路程的对应关系，避免遗漏乙先跑的路程或时间即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是一道追及问题列方程组的题目，解题核心是找到两种追及场景下的路程等量关系。第一步处理第一个条件：乙先跑16m，甲8s追上，说明甲8s跑的路程比乙8s跑的路程多16m，可得到第一个等量关系；第二步处理第二个条件：乙先跑2s，甲4s追上，说明甲4s跑的路程和乙一共跑（2+4）s的路程相等，可得到第二个等量关系，再把等量关系转化为方程匹配选项即可。
【解析】
首先根据第一个条件“乙先跑16 m，则甲8 s可追上乙”：
8秒内甲跑的路程为$8x$米，乙跑的路程为$8y$米，甲比乙多跑16米，因此可得：
$8x - 8y = 16$，变形为$16=8(x-y)$。
再根据第二个条件“乙先跑2 s，则甲4 s可追上乙”：
乙总共跑的时间为$2+4=6$秒，总路程为$6y$米，甲4秒跑的路程为$4x$米，追上时两人路程相等，因此可得：
$4x=(2+4)y$，即$(2+4)y=4x$。
综上，得到的方程组和选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；追及问题等量关系
【点评】
本题重点考查追及问题中列二元一次方程组，解题的关键是准确梳理两种场景下两人的行驶时间、路程的对应关系，避免遗漏乙先跑的路程或时间即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3.若$|x-y-3z|+(y-1)^2+|2x-y|=0$，则$x=$
$\dfrac{1}{2}$
，$y=$$1$
，$z=$$-\dfrac{1}{6}$
。答案
3.$x=\dfrac{1}{2}$，$y=1$，$z=-\dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
绝对值和偶次平方的值均为非负数（即大于等于0），当多个非负数的和为0时，每个非负数的值都必须为0。据此我们可以将原式拆分为3个关于x、y、z的方程，组成三元一次方程组，再依次求解未知数即可：先通过只有y的方程求出y的值，再代入含x、y的方程求x，最后代入第一个方程求z。
【解析】
根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - y - 3z = 0 \quad \mathrm{(1)} \\y - 1 = 0 \quad \quad \quad \mathrm{(2)} \\2x - y = 0 \quad \quad \mathrm{(3)}\end{cases}$
第一步：解方程(2)，得 $y = 1$；
第二步：将$y=1$代入方程(3)，得$2x - 1 = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$；
第三步：将$x=\frac{1}{2}$、$y=1$代入方程(1)，得$\frac{1}{2} - 1 - 3z = 0$，化简得$-\frac{1}{2} = 3z$，解得$z = -\frac{1}{6}$。
【答案】
$x=\dfrac{1}{2}$，$y=1$，$z=-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
非负数的性质，解三元一次方程组，绝对值的非负性
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查非负数性质的应用，解题关键是掌握“多个非负数之和为0时，每个非负数都为0”的结论，将问题转化为方程组求解，计算难度低。
【难度系数】
0.8
绝对值和偶次平方的值均为非负数（即大于等于0），当多个非负数的和为0时，每个非负数的值都必须为0。据此我们可以将原式拆分为3个关于x、y、z的方程，组成三元一次方程组，再依次求解未知数即可：先通过只有y的方程求出y的值，再代入含x、y的方程求x，最后代入第一个方程求z。
【解析】
根据非负数的性质，若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，可得方程组：
$\begin{cases}x - y - 3z = 0 \quad \mathrm{(1)} \\y - 1 = 0 \quad \quad \quad \mathrm{(2)} \\2x - y = 0 \quad \quad \mathrm{(3)}\end{cases}$
第一步：解方程(2)，得 $y = 1$；
第二步：将$y=1$代入方程(3)，得$2x - 1 = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$；
第三步：将$x=\frac{1}{2}$、$y=1$代入方程(1)，得$\frac{1}{2} - 1 - 3z = 0$，化简得$-\frac{1}{2} = 3z$，解得$z = -\frac{1}{6}$。
【答案】
$x=\dfrac{1}{2}$，$y=1$，$z=-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
非负数的性质，解三元一次方程组，绝对值的非负性
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查非负数性质的应用，解题关键是掌握“多个非负数之和为0时，每个非负数都为0”的结论，将问题转化为方程组求解，计算难度低。
【难度系数】
0.8
4.若关于 $ x, y $ 的二元一次方程组
$\begin{cases}2x+3y=4, \\3x+2y=2m-3\end{cases}$ 的解满足 $ x+y=\dfrac{3}{5} $，则 $ m=$ ______ 。
$\begin{cases}2x+3y=4, \\3x+2y=2m-3\end{cases}$ 的解满足 $ x+y=\dfrac{3}{5} $，则 $ m=$ ______ 。
答案
4.$m=1$
解析
【分析】
观察给定二元一次方程组的两个方程，x的系数分别为2、3，y的系数分别为3、2，将两个方程左右两边分别相加，可直接得到5(x+y)的整体形式，结合已知条件x+y=3/5，无需单独求解x、y的值，代入后即可快速求出m，能简化计算过程。也可以先联立x+y=3/5和第一个方程求出x、y的具体值，再代入第二个方程求m，两种方法均可求解。
【解析】
记方程组$\begin{cases}2x+3y=4&① \\3x+2y=2m-3&②\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$2x+3y+3x+2y=5x+5y=5(x+y)$
右边相加得：$4+(2m-3)=2m+1$
因此可得等式：$5(x+y)=2m+1$
已知$x+y=\dfrac{3}{5}$，将其代入上式得：
$5×\dfrac{3}{5}=2m+1$
化简得：$3=2m+1$
移项求解：$2m=3-1=2$，解得$m=1$
【答案】
$1$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入法，一元一次方程的解法
【点评】
本题是二元一次方程组的常考题型，核心是灵活观察方程的系数特征，优先选择整体代入的方法简化计算，若未想到整体思路，通过常规消元法求出x、y后代入计算也可得到正确结果，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
观察给定二元一次方程组的两个方程，x的系数分别为2、3，y的系数分别为3、2，将两个方程左右两边分别相加，可直接得到5(x+y)的整体形式，结合已知条件x+y=3/5，无需单独求解x、y的值，代入后即可快速求出m，能简化计算过程。也可以先联立x+y=3/5和第一个方程求出x、y的具体值，再代入第二个方程求m，两种方法均可求解。
【解析】
记方程组$\begin{cases}2x+3y=4&① \\3x+2y=2m-3&②\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$2x+3y+3x+2y=5x+5y=5(x+y)$
右边相加得：$4+(2m-3)=2m+1$
因此可得等式：$5(x+y)=2m+1$
已知$x+y=\dfrac{3}{5}$，将其代入上式得：
$5×\dfrac{3}{5}=2m+1$
化简得：$3=2m+1$
移项求解：$2m=3-1=2$，解得$m=1$
【答案】
$1$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入法，一元一次方程的解法
【点评】
本题是二元一次方程组的常考题型，核心是灵活观察方程的系数特征，优先选择整体代入的方法简化计算，若未想到整体思路，通过常规消元法求出x、y后代入计算也可得到正确结果，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5.若一次函数$y=kx+b$的图象如图所示，则关于$x$的方程$kx+b=0$的解为
$x=-2$
。答案
5.方程$kx+b=0$的解为$x=-2$
解析
【分析】
解题时首先要明确一元一次方程与一次函数的对应关系：关于x的方程$kx+b=0$的解，等价于一次函数$y=kx+b$的函数值为0时自变量x的取值，对应到函数图象上就是直线与x轴交点的横坐标。接下来只需观察图象，找到直线与x轴交点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
根据一次函数与一元一次方程的关系，方程$kx+b=0$的解就是一次函数$y=kx+b$的图象与x轴交点的横坐标。
观察图象可知，一次函数$y=kx+b$的图象与x轴的交点坐标为$(-2,0)$，即当$x=-2$时，$y=kx+b=0$，因此方程$kx+b=0$的解为$x=-2$。
【答案】
方程$kx+b=0$的解为$x=-2$
【知识点】
一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题考查一次函数与一元一次方程的关联，解题核心是理解方程的解对应函数图象与x轴交点的横坐标，属于基础题型，熟练掌握二者的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确一元一次方程与一次函数的对应关系：关于x的方程$kx+b=0$的解，等价于一次函数$y=kx+b$的函数值为0时自变量x的取值，对应到函数图象上就是直线与x轴交点的横坐标。接下来只需观察图象，找到直线与x轴交点的横坐标，即可得到方程的解。
【解析】
根据一次函数与一元一次方程的关系，方程$kx+b=0$的解就是一次函数$y=kx+b$的图象与x轴交点的横坐标。
观察图象可知，一次函数$y=kx+b$的图象与x轴的交点坐标为$(-2,0)$，即当$x=-2$时，$y=kx+b=0$，因此方程$kx+b=0$的解为$x=-2$。
【答案】
方程$kx+b=0$的解为$x=-2$
【知识点】
一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题考查一次函数与一元一次方程的关联，解题核心是理解方程的解对应函数图象与x轴交点的横坐标，属于基础题型，熟练掌握二者的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6.解方程组。
(1)$\begin{cases}7x - 2y = 3, \\3x + 2y = -8;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}4(x + 2) = 1 - 5y, \\\dfrac{y + 3}{2} = 1 - \dfrac{x}{3}。\end{cases}$
(1)$\begin{cases}7x - 2y = 3, \\3x + 2y = -8;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}4(x + 2) = 1 - 5y, \\\dfrac{y + 3}{2} = 1 - \dfrac{x}{3}。\end{cases}$
答案
解：(1)$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2}, \\ y=-\dfrac{13}{4}\end{cases}$。
(2)$\begin{cases}x=-3, \\ y=1\end{cases}$。
(2)$\begin{cases}x=-3, \\ y=1\end{cases}$。
解析
【分析】
(1)观察方程组可知两个方程中y的系数互为相反数，可直接用加减消元法，将两式相加消去y，先求出x的值，再代入任意一个方程求出y的值即可。
(2)首先对两个方程进行去括号、去分母、移项整理，得到二元一次方程组的标准形式，再用加减消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值，最后代入求解剩余未知数即可。
【解析】
(1) 记$\begin{cases}7x - 2y = 3&① \\3x + 2y = -8&②\end{cases}$
将①+②，得：$10x = -5$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$。
把$x=-\dfrac{1}{2}$代入①，得：$7×(-\dfrac{1}{2})-2y=3$，
化简得：$-2y=\dfrac{13}{2}$，解得$y=-\dfrac{13}{4}$。
(2) 先整理原方程组：
对$4(x + 2) = 1 - 5y$去括号、移项，得：$4x+5y=-7$ ③
对$\dfrac{y + 3}{2} = 1 - \dfrac{x}{3}$两边同乘6去分母，得：$3(y+3)=6-2x$，
去括号、移项，得：$2x+3y=-3$ ④
将④$×2$，得：$4x+6y=-6$ ⑤
用⑤-③，得：$y=1$。
把$y=1$代入④，得：$2x+3×1=-3$，解得$x=-3$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2}, \\ y=-\dfrac{13}{4}\end{cases}$；
(2)$\begin{cases}x=-3, \\ y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解、加减消元法、等式的性质
【点评】
本题是二元一次方程组的基础常规题型，重点考查消元法的应用和方程化简的运算能力，解题时要注意去分母、移项时的符号规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
(1)观察方程组可知两个方程中y的系数互为相反数，可直接用加减消元法，将两式相加消去y，先求出x的值，再代入任意一个方程求出y的值即可。
(2)首先对两个方程进行去括号、去分母、移项整理，得到二元一次方程组的标准形式，再用加减消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值，最后代入求解剩余未知数即可。
【解析】
(1) 记$\begin{cases}7x - 2y = 3&① \\3x + 2y = -8&②\end{cases}$
将①+②，得：$10x = -5$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$。
把$x=-\dfrac{1}{2}$代入①，得：$7×(-\dfrac{1}{2})-2y=3$，
化简得：$-2y=\dfrac{13}{2}$，解得$y=-\dfrac{13}{4}$。
(2) 先整理原方程组：
对$4(x + 2) = 1 - 5y$去括号、移项，得：$4x+5y=-7$ ③
对$\dfrac{y + 3}{2} = 1 - \dfrac{x}{3}$两边同乘6去分母，得：$3(y+3)=6-2x$，
去括号、移项，得：$2x+3y=-3$ ④
将④$×2$，得：$4x+6y=-6$ ⑤
用⑤-③，得：$y=1$。
把$y=1$代入④，得：$2x+3×1=-3$，解得$x=-3$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2}, \\ y=-\dfrac{13}{4}\end{cases}$；
(2)$\begin{cases}x=-3, \\ y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解、加减消元法、等式的性质
【点评】
本题是二元一次方程组的基础常规题型，重点考查消元法的应用和方程化简的运算能力，解题时要注意去分母、移项时的符号规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75
7.《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾一十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何。”意思是：今有上等禾3捆，将它的实增益6斗，与下等禾10捆相当；下等禾5捆，将它的实增益1斗，与上等禾2捆相当。每捆上等禾、下等禾的实各是多少？
答案
解:设每捆上等禾的实为 $ x $ 斗,每捆下等禾的实为 $ y $ 斗。
根据题意,得$\begin{cases}3x+6=10y, \\5y+1=2x。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=8, \\y=3。\end{cases}$
答:每捆上等禾的实为 8 斗,每捆下等禾的实为 3 斗。
根据题意,得$\begin{cases}3x+6=10y, \\5y+1=2x。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=8, \\y=3。\end{cases}$
答:每捆上等禾的实为 8 斗,每捆下等禾的实为 3 斗。
解析
【分析】
这是一道以古代数学为背景的实际应用题，解题思路如下：首先明确所求的两个未知量：每捆上等禾的实、每捆下等禾的实，可分别设为两个未知数；其次从题干中提取两个等量关系：①3捆上等禾的实加6斗与10捆下等禾的实相等，②5捆下等禾的实加1斗与2捆上等禾的实相等；再根据等量关系列出二元一次方程组，用消元法求解方程组，最后检验结果符合实际即可。
【解析】
解：设每捆上等禾的实为 $x$ 斗，每捆下等禾的实为 $y$ 斗。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases}3x+6=10y \quad \mathrm{①} \\5y+1=2x \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将②式两边同乘2，得$10y+2=4x$，变形为$10y=4x-2$ ③
把③代入①式，得$3x+6=4x-2$，解得$x=8$
把$x=8$代入②式，得$5y+1=2×8$，解得$y=3$
经检验，$\begin{cases}x=8 \\y=3\end{cases}$符合题意。
【答案】
每捆上等禾的实为 8 斗，每捆下等禾的实为 3 斗。
【知识点】
二元一次方程组应用，消元法解方程组
【点评】
本题依托传统数学著作中的问题出题，既考查学生从文字中提取等量关系、建立方程模型解决实际问题的能力，也能让学生感受我国古代数学的成就，解题的关键是准确理解古文含义，找对对应等量关系。
【难度系数】
0.7
这是一道以古代数学为背景的实际应用题，解题思路如下：首先明确所求的两个未知量：每捆上等禾的实、每捆下等禾的实，可分别设为两个未知数；其次从题干中提取两个等量关系：①3捆上等禾的实加6斗与10捆下等禾的实相等，②5捆下等禾的实加1斗与2捆上等禾的实相等；再根据等量关系列出二元一次方程组，用消元法求解方程组，最后检验结果符合实际即可。
【解析】
解：设每捆上等禾的实为 $x$ 斗，每捆下等禾的实为 $y$ 斗。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases}3x+6=10y \quad \mathrm{①} \\5y+1=2x \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将②式两边同乘2，得$10y+2=4x$，变形为$10y=4x-2$ ③
把③代入①式，得$3x+6=4x-2$，解得$x=8$
把$x=8$代入②式，得$5y+1=2×8$，解得$y=3$
经检验，$\begin{cases}x=8 \\y=3\end{cases}$符合题意。
【答案】
每捆上等禾的实为 8 斗，每捆下等禾的实为 3 斗。
【知识点】
二元一次方程组应用，消元法解方程组
【点评】
本题依托传统数学著作中的问题出题，既考查学生从文字中提取等量关系、建立方程模型解决实际问题的能力，也能让学生感受我国古代数学的成就，解题的关键是准确理解古文含义，找对对应等量关系。
【难度系数】
0.7
