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例1 若$\dfrac{x+1}{x-2}=0$，则$x$的值为
-1
。答案
解 $\because \dfrac{x+1}{x-2}=0$，
$\therefore x+1=0$ 且 $x-2≠0$，
解得 $x=-1$。
$\therefore x+1=0$ 且 $x-2≠0$，
解得 $x=-1$。
解析
【分析】
要使分式的值为0，需同时满足两个条件：①分式的分子等于0；②分式的分母不等于0（分母为0时分式无意义）。解题时先由分子为0求出x的可能取值，再验证该取值是否满足分母不为0的要求，即可得到正确结果。
【解析】
$\because \dfrac{x+1}{x-2}=0$，
$\therefore$ 分子为0且分母不为0，即 $x+1=0$ 且 $x-2≠0$，
解得 $x=-1$，此时$x-2=-1-2=-3≠0$，符合要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础题型，解题的关键是牢记分式值为0时需要同时满足分子为0、分母不为0两个条件，避免遗漏分母的限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
要使分式的值为0，需同时满足两个条件：①分式的分子等于0；②分式的分母不等于0（分母为0时分式无意义）。解题时先由分子为0求出x的可能取值，再验证该取值是否满足分母不为0的要求，即可得到正确结果。
【解析】
$\because \dfrac{x+1}{x-2}=0$，
$\therefore$ 分子为0且分母不为0，即 $x+1=0$ 且 $x-2≠0$，
解得 $x=-1$，此时$x-2=-1-2=-3≠0$，符合要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础题型，解题的关键是牢记分式值为0时需要同时满足分子为0、分母不为0两个条件，避免遗漏分母的限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8
例2 已知$A=x+y$，$B=x^2 - y^2$，$C=\dfrac{x-y}{x}÷(x-\dfrac{2xy - y^2}{x})$。
（1）若$\dfrac{A}{B}=\dfrac{1}{5}$，求$C$的值；
（2）当$y=1$，且$3C$为整数时，求$x$的整数值。
（1）若$\dfrac{A}{B}=\dfrac{1}{5}$，求$C$的值；
（2）当$y=1$，且$3C$为整数时，求$x$的整数值。
答案
(1) $\because \frac{A}{B}=\frac{1}{5}$，$\therefore \frac{x+y}{x^2 - y^2}=\frac{1}{5}$，则$\frac{1}{x - y}=\frac{1}{5}$。
$\therefore C=\frac{x - y}{x}÷\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x}=\frac{x - y}{x}·\frac{x}{(x - y)^2}$
$=\frac{1}{x - y}=\frac{1}{5}$。
(2) 当$y=1$时，$3C=\frac{3}{x - 1}$。$\because 3C$为整数，则$x - 1=±1$或$±3$，$\therefore$整数$x$的值为0或2或-2或4。
$\because x≠0$且$x≠1$，$\therefore$整数$x$的值为2或-2或4。
$\therefore C=\frac{x - y}{x}÷\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x}=\frac{x - y}{x}·\frac{x}{(x - y)^2}$
$=\frac{1}{x - y}=\frac{1}{5}$。
(2) 当$y=1$时，$3C=\frac{3}{x - 1}$。$\because 3C$为整数，则$x - 1=±1$或$±3$，$\therefore$整数$x$的值为0或2或-2或4。
$\because x≠0$且$x≠1$，$\therefore$整数$x$的值为2或-2或4。
解析
【分析】
（1）先对$\frac{A}{B}$化简，利用平方差公式分解$B=x^2-y^2$，约分后可得到$x-y$的取值关系；再化简$C$：先计算括号内的分式减法，通分后将分子用完全平方公式因式分解，再把除法转化为乘法约分得到$C$的最简形式，最后代入$x-y$的关系即可求出$C$的值。
（2）将$y=1$代入$C$的最简式，得到$3C$关于$x$的表达式，根据$3C$为整数可知$x-1$是3的整数约数，求出所有可能的$x$值后，结合分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合的取值，即可得到$x$的整数值。
【解析】
（1）$\because \frac{A}{B}=\frac{1}{5}$，$A=x+y$，$B=x^2-y^2$
$\therefore \frac{x+y}{x^2-y^2}=\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x-y}=\frac{1}{5}$
化简$C$：
$\begin{aligned}C&=\frac{x-y}{x}÷(x-\frac{2xy-y^2}{x})\\&=\frac{x-y}{x}÷\frac{x^2-(2xy-y^2)}{x}\\&=\frac{x-y}{x}÷\frac{x^2-2xy+y^2}{x}\\&=\frac{x-y}{x}·\frac{x}{(x-y)^2}\\&=\frac{1}{x-y}\end{aligned}$
将$\frac{1}{x-y}=\frac{1}{5}$代入，得$C=\frac{1}{5}$。
（2）当$y=1$时，代入$C=\frac{1}{x-y}$得：$C=\frac{1}{x-1}$
$\therefore 3C=\frac{3}{x-1}$
$\because 3C$为整数，$x$为整数
$\therefore x-1$是3的整数约数，即$x-1=\pm1$或$x-1=\pm3$
解得：$x=2$或$x=0$或$x=4$或$x=-2$
$\because$分式$C$有意义需满足分母不为0：$x≠0$，$x-1≠0$
$\therefore$排除$x=0$和$x=1$，符合条件的整数$x$为2、-2、4。
【答案】
（1）$\boxed{\dfrac{1}{5}}$；（2）$\boxed{2}$、$\boxed{-2}$、$\boxed{4}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的混合运算与整数取值问题，解题时需先将分式化简为最简形式再代入计算，求解整数取值时不要遗漏分式有意义的限制条件，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.6
（1）先对$\frac{A}{B}$化简，利用平方差公式分解$B=x^2-y^2$，约分后可得到$x-y$的取值关系；再化简$C$：先计算括号内的分式减法，通分后将分子用完全平方公式因式分解，再把除法转化为乘法约分得到$C$的最简形式，最后代入$x-y$的关系即可求出$C$的值。
（2）将$y=1$代入$C$的最简式，得到$3C$关于$x$的表达式，根据$3C$为整数可知$x-1$是3的整数约数，求出所有可能的$x$值后，结合分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合的取值，即可得到$x$的整数值。
【解析】
（1）$\because \frac{A}{B}=\frac{1}{5}$，$A=x+y$，$B=x^2-y^2$
$\therefore \frac{x+y}{x^2-y^2}=\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x-y}=\frac{1}{5}$
化简$C$：
$\begin{aligned}C&=\frac{x-y}{x}÷(x-\frac{2xy-y^2}{x})\\&=\frac{x-y}{x}÷\frac{x^2-(2xy-y^2)}{x}\\&=\frac{x-y}{x}÷\frac{x^2-2xy+y^2}{x}\\&=\frac{x-y}{x}·\frac{x}{(x-y)^2}\\&=\frac{1}{x-y}\end{aligned}$
将$\frac{1}{x-y}=\frac{1}{5}$代入，得$C=\frac{1}{5}$。
（2）当$y=1$时，代入$C=\frac{1}{x-y}$得：$C=\frac{1}{x-1}$
$\therefore 3C=\frac{3}{x-1}$
$\because 3C$为整数，$x$为整数
$\therefore x-1$是3的整数约数，即$x-1=\pm1$或$x-1=\pm3$
解得：$x=2$或$x=0$或$x=4$或$x=-2$
$\because$分式$C$有意义需满足分母不为0：$x≠0$，$x-1≠0$
$\therefore$排除$x=0$和$x=1$，符合条件的整数$x$为2、-2、4。
【答案】
（1）$\boxed{\dfrac{1}{5}}$；（2）$\boxed{2}$、$\boxed{-2}$、$\boxed{4}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的混合运算与整数取值问题，解题时需先将分式化简为最简形式再代入计算，求解整数取值时不要遗漏分式有意义的限制条件，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.6
当分式$\frac{1}{x+1}$的值为正数时，写出一个满足条件的$x$的值为
0
。答案
0（答案不唯一）
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心依据：一是分式有意义的前提是分母不为0；二是分式的值的正负由分子、分母的符号共同决定，同号得正、异号得负。本题中分子是1，恒为正数，因此只需保证分母也为正数即可，据此列不等式求解得到x的取值范围，在范围内任取一个值即可。
【解析】
要使分式$\frac{1}{x+1}$的值为正数：
1. 先判断分子的符号：分子为1，$1＞0$；
2. 根据有理数除法“同号得正”的法则，分母的符号需和分子一致，即$x+1＞0$（此时$x+1＞0$自然满足分母不为0，符合分式有意义的条件）；
3. 解不等式$x+1＞0$，得$x＞-1$。
因此只要取大于$-1$的数都满足条件，例如取$x=0$。
【答案】
0（答案不唯一）
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式；分式值的符号判定
【点评】
本题是基础概念类题目，解题时需先牢记分式有意义的隐含要求，再结合除法符号法则列不等式计算即可，取值范围明确，答案不唯一，难度较低。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先明确两个核心依据：一是分式有意义的前提是分母不为0；二是分式的值的正负由分子、分母的符号共同决定，同号得正、异号得负。本题中分子是1，恒为正数，因此只需保证分母也为正数即可，据此列不等式求解得到x的取值范围，在范围内任取一个值即可。
【解析】
要使分式$\frac{1}{x+1}$的值为正数：
1. 先判断分子的符号：分子为1，$1＞0$；
2. 根据有理数除法“同号得正”的法则，分母的符号需和分子一致，即$x+1＞0$（此时$x+1＞0$自然满足分母不为0，符合分式有意义的条件）；
3. 解不等式$x+1＞0$，得$x＞-1$。
因此只要取大于$-1$的数都满足条件，例如取$x=0$。
【答案】
0（答案不唯一）
【知识点】
分式有意义的条件；解一元一次不等式；分式值的符号判定
【点评】
本题是基础概念类题目，解题时需先牢记分式有意义的隐含要求，再结合除法符号法则列不等式计算即可，取值范围明确，答案不唯一，难度较低。
【难度系数】
0.85
计算：$(1+\dfrac{2}{x-2}) ÷ \dfrac{x^2 -4}{x^2 -4x +4}$
答案
$\dfrac{x}{x+2}$
解析
【分析】
这是分式混合运算的基础题，解题思路可分为三步：第一步先处理括号内的加法运算，将整数1通分转化为分母为$(x-2)$的分式，再和$\dfrac{2}{x-2}$合并；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对除式的分子、分母分别因式分解，用平方差公式分解$x^2-4$，用完全平方公式分解$x^2-4x+4$；第三步对相乘的分式进行约分，化简得到最终结果，运算过程需注意分母不为0的隐含要求。
【解析】
解：原式$=(\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{2}{x-2})÷\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}$
先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法：
$=\dfrac{x-2+2}{x-2}×\dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{x}{x-2}×\dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}$
约去分子分母的公因式：
$=\dfrac{x}{x+2}$
【答案】
$\dfrac{x}{x+2}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题考察分式运算的核心规则，解题时要注意先算括号内的运算，除法转乘法时需颠倒除式的分子分母，正确对多项式因式分解是顺利约分的关键，计算时要注意规避因式分解错误、约分漏项等常见失分点。
【难度系数】
0.8
这是分式混合运算的基础题，解题思路可分为三步：第一步先处理括号内的加法运算，将整数1通分转化为分母为$(x-2)$的分式，再和$\dfrac{2}{x-2}$合并；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对除式的分子、分母分别因式分解，用平方差公式分解$x^2-4$，用完全平方公式分解$x^2-4x+4$；第三步对相乘的分式进行约分，化简得到最终结果，运算过程需注意分母不为0的隐含要求。
【解析】
解：原式$=(\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{2}{x-2})÷\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}$
先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法：
$=\dfrac{x-2+2}{x-2}×\dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}$
$=\dfrac{x}{x-2}×\dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}$
约去分子分母的公因式：
$=\dfrac{x}{x+2}$
【答案】
$\dfrac{x}{x+2}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题考察分式运算的核心规则，解题时要注意先算括号内的运算，除法转乘法时需颠倒除式的分子分母，正确对多项式因式分解是顺利约分的关键，计算时要注意规避因式分解错误、约分漏项等常见失分点。
【难度系数】
0.8
