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例4 智能机器人广泛应用于智慧农业. 为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘.
（1）若用人工采摘的成本为$a$元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低$30\%$. 求用智能机器人采摘的成本是多少元.（用含$a$的代数式表示）
（2）若要采摘$4000\ \mathrm{kg}$该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍. 求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.
（1）若用人工采摘的成本为$a$元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低$30\%$. 求用智能机器人采摘的成本是多少元.（用含$a$的代数式表示）
（2）若要采摘$4000\ \mathrm{kg}$该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍. 求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克.
答案
（1）根据题意得，用智能机器人采摘的成本是$(1-30\%)a=70\%a$（元）。
（2）设一个工人每天可采摘该种水果$x$ kg，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果$5x$ kg，
根据题意得$\frac{4000}{4x} - \frac{4000}{5x}=1$，
方程两边同乘$20x$得，$5×4000 -4×4000=20x$，
解得：$x=200$。
检验：将$x=200$代入$20x≠0$，所以$x=200$是原分式方程的解。
$\therefore 5x=5×200=1000$（kg）。
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000 kg。
（2）设一个工人每天可采摘该种水果$x$ kg，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果$5x$ kg，
根据题意得$\frac{4000}{4x} - \frac{4000}{5x}=1$，
方程两边同乘$20x$得，$5×4000 -4×4000=20x$，
解得：$x=200$。
检验：将$x=200$代入$20x≠0$，所以$x=200$是原分式方程的解。
$\therefore 5x=5×200=1000$（kg）。
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000 kg。
解析
【分析】
（1）第一问是代数式基础应用，智能采摘成本比人工降低30%，说明智能采摘成本是人工成本的（1-30%），直接用人工成本a乘这个比例即可得到结果。
（2）第二问是分式方程应用题，核心是找准等量关系：4个工人采摘4000kg的天数减去智能机器人采摘4000kg的天数等于1天。已知机器人效率是单个工人的5倍，可先设单个工人每天采摘x kg，则机器人每天采摘5x kg，分别表示出两者采摘4000kg的时长，根据等量关系列方程求解，注意分式方程解完必须检验合理性，最后计算出机器人的日采摘量即可。
【解析】
（1）根据题意，智能机器人采摘成本为人工成本的（1-30%），因此成本为：
$(1-30\%)a=0.7a$（元）
（2）设一个工人每天可采摘该种水果$x$ kg，则这台智能采摘机器人每天可采摘$5x$ kg，
根据题意列方程得：
$\frac{4000}{4x} - \frac{4000}{5x}=1$
方程两边同乘最简公分母$20x$去分母得：
$5×4000 -4×4000=20x$
计算得$20x=4000$，解得$x=200$。
检验：将$x=200$代入$20x$，得$20×200=4000≠0$，所以$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此智能采摘机器人每天采摘量为$5x=5×200=1000$（kg）。
【答案】
（1）$0.7a$元；
（2）$1000\ \mathrm{kg}$
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；分式方程的检验
【点评】
本题结合智慧农业的实际场景命题，第一问难度较低，考查代数式的基础列式能力；第二问考查用分式方程解决工程类问题的能力，解题关键是准确找到时间差的等量关系，需牢记分式方程求解后必须检验，整体注重知识的实际应用，贴合生活场景。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是代数式基础应用，智能采摘成本比人工降低30%，说明智能采摘成本是人工成本的（1-30%），直接用人工成本a乘这个比例即可得到结果。
（2）第二问是分式方程应用题，核心是找准等量关系：4个工人采摘4000kg的天数减去智能机器人采摘4000kg的天数等于1天。已知机器人效率是单个工人的5倍，可先设单个工人每天采摘x kg，则机器人每天采摘5x kg，分别表示出两者采摘4000kg的时长，根据等量关系列方程求解，注意分式方程解完必须检验合理性，最后计算出机器人的日采摘量即可。
【解析】
（1）根据题意，智能机器人采摘成本为人工成本的（1-30%），因此成本为：
$(1-30\%)a=0.7a$（元）
（2）设一个工人每天可采摘该种水果$x$ kg，则这台智能采摘机器人每天可采摘$5x$ kg，
根据题意列方程得：
$\frac{4000}{4x} - \frac{4000}{5x}=1$
方程两边同乘最简公分母$20x$去分母得：
$5×4000 -4×4000=20x$
计算得$20x=4000$，解得$x=200$。
检验：将$x=200$代入$20x$，得$20×200=4000≠0$，所以$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此智能采摘机器人每天采摘量为$5x=5×200=1000$（kg）。
【答案】
（1）$0.7a$元；
（2）$1000\ \mathrm{kg}$
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；分式方程的检验
【点评】
本题结合智慧农业的实际场景命题，第一问难度较低，考查代数式的基础列式能力；第二问考查用分式方程解决工程类问题的能力，解题关键是准确找到时间差的等量关系，需牢记分式方程求解后必须检验，整体注重知识的实际应用，贴合生活场景。
【难度系数】
0.7
解方程：$\frac{3}{x-1}=5+\frac{3x}{1-x}$
答案
x=4
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路是先把分式方程转化为整式方程再求解。首先观察到分母$x-1$和$1-x$互为相反数，可先统一分母形式，再给方程两边同乘最简公分母$x-1$去掉分母，得到整式方程后求解，最后要检验所得的根是否使原方程分母不为0，排除增根。
【解析】
解：原方程可变形为：
$\frac{3}{x-1}=5-\frac{3x}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（约定$x≠1$），去分母得：
$3=5(x-1)-3x$
展开括号：$3=5x-5-3x$
合并同类项：$3=2x-5$
移项计算：$2x=3+5$，即$2x=8$
系数化为1得：$x=4$
检验：把$x=4$代入$x-1=4-1=3≠0$，因此$x=4$是原方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的常规考查题型，解题时要注意互为相反数的分母转换时的符号变化，去分母时不要漏乘不含分母的常数项，最后必须验根，这是分式方程求解的核心易错点。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程求解的题目，解题思路是先把分式方程转化为整式方程再求解。首先观察到分母$x-1$和$1-x$互为相反数，可先统一分母形式，再给方程两边同乘最简公分母$x-1$去掉分母，得到整式方程后求解，最后要检验所得的根是否使原方程分母不为0，排除增根。
【解析】
解：原方程可变形为：
$\frac{3}{x-1}=5-\frac{3x}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（约定$x≠1$），去分母得：
$3=5(x-1)-3x$
展开括号：$3=5x-5-3x$
合并同类项：$3=2x-5$
移项计算：$2x=3+5$，即$2x=8$
系数化为1得：$x=4$
检验：把$x=4$代入$x-1=4-1=3≠0$，因此$x=4$是原方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的常规考查题型，解题时要注意互为相反数的分母转换时的符号变化，去分母时不要漏乘不含分母的常数项，最后必须验根，这是分式方程求解的核心易错点。
【难度系数】
0.7
考点4 变式
某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240 km的某景区美术实践基地写生。现知共有200名师生参加了最近一次活动。
（1）一部分师生乘大巴车先行，出发36 min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门。已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度。
（2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元。如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240 km的某景区美术实践基地写生。现知共有200名师生参加了最近一次活动。
（1）一部分师生乘大巴车先行，出发36 min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门。已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度。
（2）该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元。如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
答案
（1）设大巴车的速度为x km/h，则中巴车速度是1.25x km/h，根据题意得$\frac{240}{x}-\frac{36}{60}=\frac{240}{1.25x}$，方程两边同乘75x，得 240×75−1.25×36x=60×240，解得x=80。检验：将x=80代入75x，75x≠0，所以x=80是原方程的解，即大巴车的速度为80 km/h
（2）设参加本次活动的学生人数是y人，则教师人数为（200−y）人，根据题意得，10y+30(200−y)=2 200，解得y=190，即参加本次活动的学生人数为190人
（2）设参加本次活动的学生人数是y人，则教师人数为（200−y）人，根据题意得，10y+30(200−y)=2 200，解得y=190，即参加本次活动的学生人数为190人
解析
【分析】
（1）本题属于行程类实际应用题，核心公式为“路程=速度×时间”。解题时先抓关键等量关系：大巴车走完全程的时间 - 提前出发的36分钟 = 中巴车走完全程的时间。注意要先将时间单位统一为小时，设大巴车速度为未知数后，即可根据等量关系列分式方程求解，分式方程解完必须检验。
（2）本题属于费用类实际应用题，核心等量关系为：学生门票总费用 + 成人门票总费用 = 购票总费用。已知总人数为200人，设学生人数为未知数后，即可表示出成人人数，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）设大巴车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则中巴车速度是$1.25x\ \mathrm{km/h}$，36分钟换算为小时是$\frac{36}{60}\ \mathrm{h}$。
根据题意列方程：
$\frac{240}{x}-\frac{36}{60}=\frac{240}{1.25x}$
方程两边同乘最简公分母$75x$去分母得：
$240×75 - 1.25×36x = 60×240$
计算求解得：$x=80$
检验：将$x=80$代入$75x$，得$75×80=6000≠0$，所以$x=80$是原分式方程的解。
（2）设参加本次活动的学生人数是$y$人，则成人（教师）人数为$(200-y)$人。
根据总费用等量关系列方程：
$10y + 30(200-y) = 2200$
去括号得：$10y + 6000 - 30y = 2200$
移项、合并同类项得：$-20y = -3800$
系数化为1得：$y=190$
【答案】
（1）大巴车的速度为$80\ \mathrm{km/h}$；
（2）参加本次活动的学生人数是190人。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次方程的应用、列方程解应用题
【点评】
本题结合生活实践场景设题，难度适中，解题核心是准确梳理题目中的等量关系，需要注意分式方程求解后必须验根，涉及不同单位的量要先统一单位，是方程实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.75
（1）本题属于行程类实际应用题，核心公式为“路程=速度×时间”。解题时先抓关键等量关系：大巴车走完全程的时间 - 提前出发的36分钟 = 中巴车走完全程的时间。注意要先将时间单位统一为小时，设大巴车速度为未知数后，即可根据等量关系列分式方程求解，分式方程解完必须检验。
（2）本题属于费用类实际应用题，核心等量关系为：学生门票总费用 + 成人门票总费用 = 购票总费用。已知总人数为200人，设学生人数为未知数后，即可表示出成人人数，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）设大巴车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则中巴车速度是$1.25x\ \mathrm{km/h}$，36分钟换算为小时是$\frac{36}{60}\ \mathrm{h}$。
根据题意列方程：
$\frac{240}{x}-\frac{36}{60}=\frac{240}{1.25x}$
方程两边同乘最简公分母$75x$去分母得：
$240×75 - 1.25×36x = 60×240$
计算求解得：$x=80$
检验：将$x=80$代入$75x$，得$75×80=6000≠0$，所以$x=80$是原分式方程的解。
（2）设参加本次活动的学生人数是$y$人，则成人（教师）人数为$(200-y)$人。
根据总费用等量关系列方程：
$10y + 30(200-y) = 2200$
去括号得：$10y + 6000 - 30y = 2200$
移项、合并同类项得：$-20y = -3800$
系数化为1得：$y=190$
【答案】
（1）大巴车的速度为$80\ \mathrm{km/h}$；
（2）参加本次活动的学生人数是190人。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次方程的应用、列方程解应用题
【点评】
本题结合生活实践场景设题，难度适中，解题核心是准确梳理题目中的等量关系，需要注意分式方程求解后必须验根，涉及不同单位的量要先统一单位，是方程实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.75
