9. 如图，A城气象台测得一热带风暴中心O从A城正西方向300 km处向东北方向移动，距风暴中心200 km的范围内为受影响区域。问：A城是否会受到这次热带风暴的影响？请说明理由。

9. 不会受影响。作$AM⊥OM$于M。设热带风暴中心沿OM方向移动,则$AO=300$ km。M是热带风暴中心距A城最近的点,$AM=150\sqrt{2}$ km$＞200$ km,所以A城在以M为圆心,200 km为半径的圆外。

【分析】
要判断A城是否受风暴影响，核心是比较风暴移动路径上的点到A城的最短距离与影响半径200km的大小。根据“点到直线的所有连线中，垂线段最短”的性质，我们只需过A点向风暴的移动路线作垂线段，计算该垂线段的长度即可：若垂线段长度大于200km，则A城不受影响，反之则受影响。已知风暴向东北方向移动，说明移动路线与正西方向夹角为45°，结合OA=300km的条件，可通过解直角三角形算出垂线段的长度。
【解析】
解：过点A作$AM⊥OM$，垂足为M，OM为风暴的移动路线（东北方向）。
∵风暴向东北方向移动，
∴$∠AOM=45°$，
在$Rt△AOM$中，$AO=300\mathrm{km}$，
∴$AM=AO·\sin45°=300×\frac{\sqrt{2}}{2}=150\sqrt{2}\mathrm{km}\approx212.1\mathrm{km}$，
根据垂线段最短的性质，M是风暴中心距离A城最近的点，即风暴中心到A城的最短距离为$150\sqrt{2}\mathrm{km}$。
∵$150\sqrt{2}\approx212.1\mathrm{km}＞200\mathrm{km}$，
∴A城不在风暴的影响范围内。
【答案】
A城不会受到这次热带风暴的影响。作$AM⊥OM$于M。设热带风暴中心沿OM方向移动,则$AO=300$ km。M是热带风暴中心距A城最近的点,$AM=150\sqrt{2}$ km$＞200$ km,所以A城不会受影响。
【知识点】
垂线段最短，解直角三角形，点与圆的位置关系
【点评】
本题属于生活场景中的几何应用问题，需要将实际问题抽象为几何模型求解，既考查了基础几何性质的应用，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7