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5. 如图，矩形ABCD的边AB=3 cm，AD=4 cm。以点A为圆心，4 cm为半径作$\odot A$，试判断点B，C，D与$\odot A$的位置关系。
（第5题）
（第5题）答案
5. 点B在$\odot A$内，点C在$\odot A$外，点D在$\odot A$上。
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：若d＜r，点在圆内；若d=r，点在圆上；若d＞r，点在圆外。本题中圆心为A，半径r=4cm，我们只需要分别求出点B、C、D到点A的距离，再和4cm比较大小，就能得出各点与$\odot A$的位置关系。
【解析】
已知$\odot A$的半径$r=4\mathrm{cm}$，
1. 点B到圆心A的距离$AB=3\mathrm{cm}$，
$\because 3\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}$，即$d＜r$，
$\therefore$点B在$\odot A$内；
2. 点D到圆心A的距离$AD=4\mathrm{cm}$，
$\because 4\mathrm{cm}=4\mathrm{cm}$，即$d=r$，
$\therefore$点D在$\odot A$上；
3. 连接AC，$\because$四边形ABCD是矩形，
$\therefore ∠ ABC=90°$，$BC=AD=4\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$，
$\because 5\mathrm{cm}＞4\mathrm{cm}$，即$d＞r$，
$\therefore$点C在$\odot A$外。
【答案】
点B在$\odot A$内，点C在$\odot A$外，点D在$\odot A$上。
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系判定的基础应用，解题的关键是牢记判定规则，准确计算各点到圆心的距离，再通过大小比较得出结论，计算过程中用到的勾股数较为常见，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：若d＜r，点在圆内；若d=r，点在圆上；若d＞r，点在圆外。本题中圆心为A，半径r=4cm，我们只需要分别求出点B、C、D到点A的距离，再和4cm比较大小，就能得出各点与$\odot A$的位置关系。
【解析】
已知$\odot A$的半径$r=4\mathrm{cm}$，
1. 点B到圆心A的距离$AB=3\mathrm{cm}$，
$\because 3\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}$，即$d＜r$，
$\therefore$点B在$\odot A$内；
2. 点D到圆心A的距离$AD=4\mathrm{cm}$，
$\because 4\mathrm{cm}=4\mathrm{cm}$，即$d=r$，
$\therefore$点D在$\odot A$上；
3. 连接AC，$\because$四边形ABCD是矩形，
$\therefore ∠ ABC=90°$，$BC=AD=4\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$，
$\because 5\mathrm{cm}＞4\mathrm{cm}$，即$d＞r$，
$\therefore$点C在$\odot A$外。
【答案】
点B在$\odot A$内，点C在$\odot A$外，点D在$\odot A$上。
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系判定的基础应用，解题的关键是牢记判定规则，准确计算各点到圆心的距离，再通过大小比较得出结论，计算过程中用到的勾股数较为常见，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 在平面直角坐标系中，$\odot O$的半径为2，点A的坐标为$(1,y)$。若点A在$\odot O$内，则$y$的取值范围是
$-\sqrt{3}＜y＜\sqrt{3}$
。答案
6. $-\sqrt{3}＜y＜\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆点与圆的位置关系判定规则：若点在圆内，则该点到圆心的距离小于圆的半径。本题中⊙O的圆心是平面直角坐标系的原点(0,0)，半径为2，我们可以先利用两点间距离公式表示出点A到原点O的距离，再结合“点在圆内”的条件列不等式，最后解不等式即可得到y的取值范围。
【解析】
解：
∵⊙O的圆心为原点O(0,0)，半径r=2，点A(1,y)在⊙O内
∴点A到圆心O的距离OA ＜ r
根据两点间距离公式，$OA = \sqrt{(1-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{1 + y^2}$
∴$\sqrt{1 + y^2} ＜ 2$
∵不等式两边均为非负数，两边同时平方不等号方向不变
∴$1 + y^2 ＜ 4$
整理得$y^2 ＜ 3$
解得：$-\sqrt{3} ＜ y ＜ \sqrt{3}$
【答案】
$-\sqrt{3}＜y＜\sqrt{3}$
【知识点】
点与圆的位置关系、两点间距离公式、不等式求解
【点评】
本题是基础类题型，核心是掌握点和圆的三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，解题时要注意对无理不等式平方的前提是两边均非负，求解$y^2＜a(a＞0)$的不等式时不要遗漏负区间的取值。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆点与圆的位置关系判定规则：若点在圆内，则该点到圆心的距离小于圆的半径。本题中⊙O的圆心是平面直角坐标系的原点(0,0)，半径为2，我们可以先利用两点间距离公式表示出点A到原点O的距离，再结合“点在圆内”的条件列不等式，最后解不等式即可得到y的取值范围。
【解析】
解：
∵⊙O的圆心为原点O(0,0)，半径r=2，点A(1,y)在⊙O内
∴点A到圆心O的距离OA ＜ r
根据两点间距离公式，$OA = \sqrt{(1-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{1 + y^2}$
∴$\sqrt{1 + y^2} ＜ 2$
∵不等式两边均为非负数，两边同时平方不等号方向不变
∴$1 + y^2 ＜ 4$
整理得$y^2 ＜ 3$
解得：$-\sqrt{3} ＜ y ＜ \sqrt{3}$
【答案】
$-\sqrt{3}＜y＜\sqrt{3}$
【知识点】
点与圆的位置关系、两点间距离公式、不等式求解
【点评】
本题是基础类题型，核心是掌握点和圆的三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，解题时要注意对无理不等式平方的前提是两边均非负，求解$y^2＜a(a＞0)$的不等式时不要遗漏负区间的取值。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=3$,$AC=4$。以点$B$为圆心作$\odot B$。
(1) 若$\odot B$的半径为3,则$AB$的中点$D$,$AC$的中点$E$分别与$\odot B$有怎样的位置关系?
(2) 要让点$A$和点$C$有且只有一个点在$\odot B$内,$\odot B$的半径应满足什么条件?
(1) 若$\odot B$的半径为3,则$AB$的中点$D$,$AC$的中点$E$分别与$\odot B$有怎样的位置关系?
(2) 要让点$A$和点$C$有且只有一个点在$\odot B$内,$\odot B$的半径应满足什么条件?
答案
7.（1）点D在$\odot B$内，点E在$\odot B$外。 （2）$3＜r≤5$
解析
【分析】
判断点与圆的位置关系的核心方法是比较点到圆心的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d＜r$时点在圆内，$d=r$时点在圆上，$d＞r$时点在圆外。(1)先利用勾股定理求出$AB$的长度，再分别计算点$D$、点$E$到圆心$B$的距离，和半径3比较即可得到位置关系；(2)先求出点$C$、点$A$到$B$的距离，再根据“有且只有一个点在$\odot B$内”的要求，分析半径的取值范围即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
(1) $\because D$是$AB$的中点，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=2.5$，
已知$\odot B$的半径$r=3$，$\because 2.5＜3$，$\therefore$点$D$在$\odot B$内；
$\because E$是$AC$的中点，$\therefore CE=\frac{1}{2}AC=2$，
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\approx3.61$，
$\because \sqrt{13}＞3$，$\therefore$点$E$在$\odot B$外。
(2) 点$C$到圆心$B$的距离为$BC=3$，点$A$到圆心$B$的距离为$AB=5$：
若$r≤3$，则$BC=3≥ r$，$AB=5＞r$，两点都不在$\odot B$内，不符合要求；
若$3＜r≤5$，则$BC=3＜r$，点$C$在$\odot B$内，$AB=5≥ r$，点$A$不在$\odot B$内，符合要求；
若$r＞5$，则$BC=3＜r$，$AB=5＜r$，两点都在$\odot B$内，不符合要求；
因此$\odot B$的半径满足$3＜r≤5$。
【答案】
(1) 点$D$在$\odot B$内，点$E$在$\odot B$外；(2) $3＜r≤5$
【知识点】
点与圆的位置关系、勾股定理
【点评】
本题重点考查点和圆位置关系的判定，解题的关键是牢记判定规则，准确计算各点到圆心的距离，分析范围时要注意临界值是否符合题意，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.7
判断点与圆的位置关系的核心方法是比较点到圆心的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d＜r$时点在圆内，$d=r$时点在圆上，$d＞r$时点在圆外。(1)先利用勾股定理求出$AB$的长度，再分别计算点$D$、点$E$到圆心$B$的距离，和半径3比较即可得到位置关系；(2)先求出点$C$、点$A$到$B$的距离，再根据“有且只有一个点在$\odot B$内”的要求，分析半径的取值范围即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
(1) $\because D$是$AB$的中点，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=2.5$，
已知$\odot B$的半径$r=3$，$\because 2.5＜3$，$\therefore$点$D$在$\odot B$内；
$\because E$是$AC$的中点，$\therefore CE=\frac{1}{2}AC=2$，
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\approx3.61$，
$\because \sqrt{13}＞3$，$\therefore$点$E$在$\odot B$外。
(2) 点$C$到圆心$B$的距离为$BC=3$，点$A$到圆心$B$的距离为$AB=5$：
若$r≤3$，则$BC=3≥ r$，$AB=5＞r$，两点都不在$\odot B$内，不符合要求；
若$3＜r≤5$，则$BC=3＜r$，点$C$在$\odot B$内，$AB=5≥ r$，点$A$不在$\odot B$内，符合要求；
若$r＞5$，则$BC=3＜r$，$AB=5＜r$，两点都在$\odot B$内，不符合要求；
因此$\odot B$的半径满足$3＜r≤5$。
【答案】
(1) 点$D$在$\odot B$内，点$E$在$\odot B$外；(2) $3＜r≤5$
【知识点】
点与圆的位置关系、勾股定理
【点评】
本题重点考查点和圆位置关系的判定，解题的关键是牢记判定规则，准确计算各点到圆心的距离，分析范围时要注意临界值是否符合题意，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.7
8. (多选题)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$CD$平分$∠ ACB$,$AB=8$,$BC=6$。以点$D$为圆心作圆,若点$A$,$B$,$C$中只有两个点在$\odot D$内,则$\odot D$的半径可以为(
A.4
B.5
C.6
D.6.5
CD
)。A.4
B.5
C.6
D.6.5
答案
8. CD。提示:由$AB=8,BC=6,∠B=90°$,得$AC=10$。过点D作$DE⊥AC$于点E,则$DB=DE$。由$\frac{1}{2}AC· DE+\frac{1}{2}BC· BD=\frac{1}{2}AB· BC$,得$BD=DE=3,AD=5,CD=3\sqrt{5}$。所以点A,B在$\odot D$内,半径R满足$5＜R≤3\sqrt{5}$。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：第一步，先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度；第二步，根据角平分线的性质得到BD等于点D到AC的距离，再用面积法求出BD的长度，进而得到AD、CD的长度；第三步，结合“点与圆的位置关系”的判定规则，根据“只有两个点在⊙D内”的条件，确定半径R的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案。
【解析】
1. 求AC的长度：
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
2. 求BD、AD、CD的长度：
过点D作$DE⊥AC$于点E，
∵CD平分∠ACB，∠B=90°（即DB⊥BC），
∴根据角平分线的性质，$DB=DE$。
设$BD=x$，则$DE=x$，$AD=AB-BD=8-x$。
∵$S_{△ABC}=S_{△ACD}+S_{△BCD}$，
∴$\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·DE+\frac{1}{2}BC·BD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10x+\frac{1}{2}×6x$，
化简得：$24=8x$，解得$x=3$，即$BD=3$。
∴$AD=8-3=5$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{BD^2+BC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}\approx6.71$。
3. 确定半径R的取值范围：
点在圆内的条件是：点到圆心的距离＜半径。
已知三个点到D的距离：$BD=3$，$AD=5$，$CD=3\sqrt{5}\approx6.71$，要求只有两个点在⊙D内：
若$R≤5$：最多只有B点在圆内（$R＞3$时），不符合要求；
若$5＜R≤3\sqrt{5}$：$BD=3＜R$，$AD=5＜R$，$CD=3\sqrt{5}≥R$，即A、B两点在圆内，C点在圆上或圆外，符合只有两个点在圆内的要求；
若$R＞3\sqrt{5}$：三个点到D的距离都小于R，三个点都在圆内，不符合要求。
因此半径R的范围是$5＜R≤3\sqrt{5}\approx6.71$。
对照选项：A.4（不符合）、B.5（不符合）、C.6（符合）、D.6.5（符合）。
【答案】
CD
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题是综合性的几何题，将直角三角形性质、角平分线性质与点和圆的位置关系相结合，解题的核心是先计算出各点到圆心D的距离，再根据题意准确推导出半径的取值范围，要注意“点在圆内”是指点到圆心的距离严格小于半径，避免误选等于临界值的选项。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：第一步，先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度；第二步，根据角平分线的性质得到BD等于点D到AC的距离，再用面积法求出BD的长度，进而得到AD、CD的长度；第三步，结合“点与圆的位置关系”的判定规则，根据“只有两个点在⊙D内”的条件，确定半径R的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案。
【解析】
1. 求AC的长度：
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
2. 求BD、AD、CD的长度：
过点D作$DE⊥AC$于点E，
∵CD平分∠ACB，∠B=90°（即DB⊥BC），
∴根据角平分线的性质，$DB=DE$。
设$BD=x$，则$DE=x$，$AD=AB-BD=8-x$。
∵$S_{△ABC}=S_{△ACD}+S_{△BCD}$，
∴$\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·DE+\frac{1}{2}BC·BD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10x+\frac{1}{2}×6x$，
化简得：$24=8x$，解得$x=3$，即$BD=3$。
∴$AD=8-3=5$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{BD^2+BC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}\approx6.71$。
3. 确定半径R的取值范围：
点在圆内的条件是：点到圆心的距离＜半径。
已知三个点到D的距离：$BD=3$，$AD=5$，$CD=3\sqrt{5}\approx6.71$，要求只有两个点在⊙D内：
若$R≤5$：最多只有B点在圆内（$R＞3$时），不符合要求；
若$5＜R≤3\sqrt{5}$：$BD=3＜R$，$AD=5＜R$，$CD=3\sqrt{5}≥R$，即A、B两点在圆内，C点在圆上或圆外，符合只有两个点在圆内的要求；
若$R＞3\sqrt{5}$：三个点到D的距离都小于R，三个点都在圆内，不符合要求。
因此半径R的范围是$5＜R≤3\sqrt{5}\approx6.71$。
对照选项：A.4（不符合）、B.5（不符合）、C.6（符合）、D.6.5（符合）。
【答案】
CD
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题是综合性的几何题，将直角三角形性质、角平分线性质与点和圆的位置关系相结合，解题的核心是先计算出各点到圆心D的距离，再根据题意准确推导出半径的取值范围，要注意“点在圆内”是指点到圆心的距离严格小于半径，避免误选等于临界值的选项。
【难度系数】
0.6
