同底数幂的乘法
1. 同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数,指数.
用字母表示:$a^m · a^n =$($m,n$都是正整数).
2. 推广运用:$a^m · a^n · a^p =$($m,n,p$都是正整数);$a^{m+n}=a^m ·$($m,n$都是正整数).

解：
1. 不变；相加；$a^{m+n}$
2. $a^{m+n+p}$；$a^n$

【分析】
本题考查同底数幂乘法的基础法则及推广应用，解题思路如下：1. 回忆乘方的意义：$a^m$表示m个a相乘，$a^n$表示n个a相乘，二者相乘后总共有(m+n)个a相乘，由此可推导同底数幂乘法的基本法则；2. 三个及以上同底数幂相乘时，可逐步套用基本法则得到推广公式；3. 逆用同底数幂乘法法则，即可将指数和的形式拆分为两个同底数幂相乘的形式。
【解析】
1. 根据乘方的意义，同底数幂相乘时，底数保持不变，指数进行相加运算，用字母表示为$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n均为正整数）。
2. 推广到三个同底数幂相乘时，先计算前两个幂的乘积：$a^m · a^n = a^{m+n}$，再与$a^p$相乘，套用基本法则得$a^{m+n} · a^p = a^{m+n+p}$，即$a^m · a^n · a^p = a^{m+n+p}$（m、n、p均为正整数）；逆用同底数幂乘法法则，指数和的形式可拆分为同底数幂相乘的形式，即$a^{m+n}=a^m · a^n$（m、n均为正整数）。
【答案】
1. 不变；相加；$a^{m+n}$
2. $a^{m+n+p}$；$a^n$
【知识点】
同底数幂乘法法则、同底数幂乘法推广、同底数幂乘法逆用
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考察同底数幂乘法的核心规则及变形，是后续整式乘法、幂的混合运算的重要基础，熟练牢记法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【例1】计算：
(1) $a^{n+2} · a^{n+1} · a^{n} · a$；
(2) $(a+b)^{3m} · (b+a)^{m+n}$；
(3) $-x^{3} · (-x)^{3} · (-x)^{4}$；
(4) $(x-y)^{6} · (y-x)^{6}$。
方法点拨
一般地,对于$(-a)^{m} · a^{n}$,有
(1)当$m$为正偶数,$n$为正整数时,$(-a)^{m} · a^{n}=a^{m+n}$;
(2)当$m$为正奇数,$n$为正整数时,$(-a)^{m} · a^{n}=-a^{m+n}$。

解：
(1) 原式$ = a^{(n+2)+(n+1)+n+1}$
$= a^{3n+4}$
(2) 原式$ = (a+b)^{3m} · (a+b)^{m+n}$
$= (a+b)^{3m+m+n}$
$= (a+b)^{4m+n}$
(3) 原式$ = -x^3 · (-x)^{3+4}$
$= -x^3 · (-x^7)$
$= x^{3+7}$
$= x^{10}$
(4) 原式$ = (x-y)^6 · (x-y)^6$
$= (x-y)^{6+6}$
$= (x-y)^{12}$

【分析】
这四道题均考查同底数幂的乘法运算，解题核心是运用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，具体思路如下：首先观察各因式的底数是否一致，若底数互为相反数，优先利用幂的符号规律将底数转化为相同；统一底数后将所有指数相加（注意单独出现的字母默认指数为1）；最后处理符号化简得到结果。其中(1)底数均为a，可直接相加指数；(2)中a+b与b+a完全相等，直接统一底数即可；(3)先合并(-x)的幂的指数，根据指数奇偶判断符号后再运算；(4)因6是偶数，可得(y-x)⁶=(x-y)⁶，统一底数后计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法法则，最后一项a的指数为1，
原式$ = a^{(n+2)+(n+1)+n+1}$
$= a^{3n+4}$
(2) 由$a+b = b+a$，统一底数为$(a+b)$，
原式$ = (a+b)^{3m} · (a+b)^{m+n}$
$= (a+b)^{3m+m+n}$
$= (a+b)^{4m+n}$
(3) 先合并同底数的$(-x)$的幂，再判断符号计算，
原式$ = -x^3 · (-x)^{3+4}$
$= -x^3 · (-x^7)$
$= x^{3+7}$
$= x^{10}$
(4) 偶次幂下互为相反数的式子值相等，即$(y-x)^6=(x-y)^6$，
原式$ = (x-y)^6 · (x-y)^6$
$= (x-y)^{6+6}$
$= (x-y)^{12}$
【答案】
(1) $a^{3n+4}$；(2) $(a+b)^{4m+n}$；(3) $x^{10}$；(4) $(x-y)^{12}$
【知识点】
1.同底数幂的乘法法则 2.幂的符号规律 3.偶次幂的性质
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础训练题，重点考查底数转化与符号处理能力，解题时需注意不要遗漏单独字母的指数为1，牢记互为相反数的两个式子的偶次幂相等、奇次幂互为相反数，熟练掌握法则和换底技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【变式1】若$3×3^{m}×3^{3m}=3^{9}$，则m的值为().

A.2
B.3
C.4
D.5

A

【分析】
本题考查同底数幂乘法的应用，解题思路如下：首先观察等式左侧都是底数为3的幂相乘，符合同底数幂乘法的运算条件，注意单独的因数3可以写成$3^1$；其次根据同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的法则，将左侧的指数合并，得到关于m的一元一次方程；最后解方程即可求出m的值。
【解析】
首先将等式左侧的3改写为$3^1$，则原式可变形为：
$3^1×3^m×3^{3m}=3^9$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得左侧的指数和为$1+m+3m$，因此：
$3^{1+4m}=3^9$
因为底数3不为0且不等于1，当两个同底数幂相等时，指数也相等，所以可得方程：
$1+4m=9$
解这个一元一次方程：
移项得$4m=9-1=8$
系数化为1得$m=2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同底数幂的乘法法则
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于同底数幂乘法的基础应用题型，解题的关键是准确掌握同底数幂的乘法法则，尤其要注意单独的常数项的指数为1，不要漏加，主要考察对基础运算法则的熟悉程度和简单方程的求解能力。
【难度系数】
0.8

【例2】已知$3^x = y$，则$3^{x+1}$等于（）。

A.$y$
B.$1+y$
C.$3+y$
D.$3y$

D

【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n均为正整数），该法则也可以逆用，即$a^{m+n}=a^m · a^n$。本题已知$3^x=y$，要求$3^{x+1}$，可先将指数$x+1$拆为$x$与1相加的形式，逆用同底数幂的乘法法则拆分待求式，再代入已知条件即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂乘法的逆运算，可得：
$3^{x+1}=3^x × 3^1$
已知$3^x=y$，且$3^1=3$，代入上式计算得：
$3^{x+1}=y × 3=3y$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查同底数幂乘法法则的灵活运用，重点要掌握该法则的逆用方法，熟练掌握相关运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【变式2】如果$a^x=4$，$a^y=m$，那么$a^{x+y}$的值为。

$\boldsymbol{4m}$

【分析】
解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法法则的逆用。首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，反过来就能得到$a^{m+n}=a^m · a^n$，我们要求的$a^{x+y}$刚好符合逆用公式的形式，只需要将已知的$a^x=4$、$a^y=m$代入计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数），逆用该法则可得：
$a^{x+y}=a^x · a^y$
将$a^x=4$，$a^y=m$代入上式，得：
$a^{x+y}=4 × m = 4m$
【答案】
$\boldsymbol{4m}$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的运算法则逆用
【点评】
本题是基础运算题，核心是对同底数幂乘法法则的灵活运用，掌握幂运算法则的正向和逆向使用，就能快速代入已知条件求解。
【难度系数】
0.9

1. 下列计算中,正确的是().

A.$a^4 · a^3 = a$
B.$a^4 · a^3 = a^7$
C.$a^4 · a^3 = a^{12}$
D.$a^4 · a^3 = a^{64}$

B

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：1. 先回忆同底数幂的乘法法则，明确该法则的适用条件为两个幂底数相同、且为相乘关系；2. 牢记同底数幂乘法的运算规则，注意不要和幂的乘方、积的乘方等其他幂的运算法则混淆；3. 代入运算后逐一排查错误选项，选出正确答案即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，公式为$\boldsymbol{a^m · a^n = a^{m+n}}$（$m$、$n$为正整数）。
本题中两个幂的底数都为$a$，属于同底数幂相乘，因此计算可得：
$a^4 · a^3 = a^{4+3} = a^7$
对比各选项：
A选项结果为$a$，运算错误；
B选项结果为$a^7$，运算正确；
C选项误将指数相乘得到$a^{12}$，混淆了同底数幂乘法和幂的乘方法则，错误；
D选项运算逻辑错误。
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法法则
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考点是对幂的运算法则的区分，解题时要注意避免出现指数相乘、指数直接乘方等常见错误，熟练掌握基础运算法则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2.若$a^m=2,a^2=3$,则$a^{m+2}$的值为().

A.9
B.8
C.5
D.6

D

【分析】
解题时首先观察所求式子$a^{m+2}$的指数是两个数相加的形式，联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则可以逆用，即$a^{x+y}=a^x · a^y$。因此可以将$a^{m+2}$拆分为$a^m$和$a^2$的乘积，再代入题目已知的$a^m$、$a^2$的值计算即可。
【解析】
根据同底数幂乘法法则的逆运算可得：
$a^{m+2}=a^m · a^2$
已知$a^m=2$，$a^2=3$，将其代入上式得：
$a^{m+2}=2×3=6$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的运算逆应用
【点评】
本题是幂运算的基础考题，核心考查同底数幂乘法法则的灵活运用，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，能根据指数的特征灵活选择正向或逆向使用运算法则，避免将幂的运算和整式加减运算混淆。
【难度系数】
0.9

3. 计算$m^2 · m^3$,结果等于.

$\boldsymbol{m^5}$

【分析】
拿到本题首先观察运算式的特征，两个相乘的项都是底数为m的幂，属于同底数幂的乘法运算，对应同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。我们只需保持底数m不变，将两个幂的指数2和3相加，即可得到运算结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算如下：
$m^2 · m^3 = m^{2+3} = m^5$
【答案】
$\boldsymbol{m^5}$
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查同底数幂乘法法则的掌握情况，熟记运算法则即可快速求解，解题时注意不要误将指数做乘法运算。
【难度系数】
0.9