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4. 如图,点 M 在 $∠ AOB$ 的内部,P 为射线 OA上的一个动点,Q 为射线 OB 上的一个动点.求作点 P,Q,使得 $MP + PQ + QM$ 的长最短.
答案
解：
1. 作点M关于射线OA的对称点$M_1$；
2. 作点M关于射线OB的对称点$M_2$；
3. 连接$M_1M_2$，分别交射线OA于点P，交射线OB于点Q。
则点P、Q即为所求作的点。由轴对称性质可知$MP=M_1P$，$QM=QM_2$，因此$MP+PQ+QM=M_1P+PQ+QM_2$，根据两点之间线段最短，此时$MP+PQ+QM$的长度等于线段$M_1M_2$的长，为最短值。
1. 作点M关于射线OA的对称点$M_1$；
2. 作点M关于射线OB的对称点$M_2$；
3. 连接$M_1M_2$，分别交射线OA于点P，交射线OB于点Q。
则点P、Q即为所求作的点。由轴对称性质可知$MP=M_1P$，$QM=QM_2$，因此$MP+PQ+QM=M_1P+PQ+QM_2$，根据两点之间线段最短，此时$MP+PQ+QM$的长度等于线段$M_1M_2$的长，为最短值。
解析
【分析】
本题属于角内部定点到两条射线上动点的线段和最短问题，解题核心是利用轴对称的性质将同侧线段转化为异侧，把折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解。我们可以先通过作点M关于OA、OB的对称点，把MP、QM分别转化为对称点到P、Q的距离，此时MP+PQ+QM的和就等价于两个对称点之间的路径长度，当这条路径为线段时总长度最短，线段与OA、OB的交点就是所求的P、Q点。
【解析】
1. 作点M关于射线OA的对称点$M_1$，根据轴对称的性质，射线OA上任意一点到M和$M_1$的距离相等，即对任意OA上的点P，都有$MP=M_1P$；
2. 作点M关于射线OB的对称点$M_2$，同理，对任意OB上的点Q，都有$QM=QM_2$；
3. 连接$M_1M_2$，分别交射线OA于点P，交射线OB于点Q。
此时$MP+PQ+QM=M_1P+PQ+QM_2$，根据两点之间线段最短，$M_1P+PQ+QM_2$的最小值就是线段$M_1M_2$的长度，因此该P、Q即为所求的点。
【答案】
作点M关于射线OA的对称点$M_1$，作点M关于射线OB的对称点$M_2$，连接$M_1M_2$，分别交射线OA于点P、交射线OB于点Q，此时的点P、Q即为所求，可使得$MP+PQ+QM$的长最短。
【知识点】
1.轴对称的性质
2.两点之间线段最短
3.最短路径作图
【点评】
本题是最短路径问题的典型变式，解题关键是掌握轴对称转化的思想，将折线段的和转化为两点之间的线段长度求解，这类题型是几何最值问题的基础题型，需熟练掌握作图方法和原理。
【难度系数】
0.7
本题属于角内部定点到两条射线上动点的线段和最短问题，解题核心是利用轴对称的性质将同侧线段转化为异侧，把折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解。我们可以先通过作点M关于OA、OB的对称点，把MP、QM分别转化为对称点到P、Q的距离，此时MP+PQ+QM的和就等价于两个对称点之间的路径长度，当这条路径为线段时总长度最短，线段与OA、OB的交点就是所求的P、Q点。
【解析】
1. 作点M关于射线OA的对称点$M_1$，根据轴对称的性质，射线OA上任意一点到M和$M_1$的距离相等，即对任意OA上的点P，都有$MP=M_1P$；
2. 作点M关于射线OB的对称点$M_2$，同理，对任意OB上的点Q，都有$QM=QM_2$；
3. 连接$M_1M_2$，分别交射线OA于点P，交射线OB于点Q。
此时$MP+PQ+QM=M_1P+PQ+QM_2$，根据两点之间线段最短，$M_1P+PQ+QM_2$的最小值就是线段$M_1M_2$的长度，因此该P、Q即为所求的点。
【答案】
作点M关于射线OA的对称点$M_1$，作点M关于射线OB的对称点$M_2$，连接$M_1M_2$，分别交射线OA于点P、交射线OB于点Q，此时的点P、Q即为所求，可使得$MP+PQ+QM$的长最短。
【知识点】
1.轴对称的性质
2.两点之间线段最短
3.最短路径作图
【点评】
本题是最短路径问题的典型变式，解题关键是掌握轴对称转化的思想，将折线段的和转化为两点之间的线段长度求解，这类题型是几何最值问题的基础题型，需熟练掌握作图方法和原理。
【难度系数】
0.7
【例2】阅读课本上的“造桥选址问题”（如图）后，证明$AM+MN+NB$最短。
答案
证明：
设直线$a // b$，$MN$为两直线间的垂线段，长度等于河宽，是定值。
任取不同于$MN$的另一座桥$M'N'$（$M'$在$a$上，$N'$在$b$上，$M'N' ⊥ a$），连接$AM'$、$M'N'$、$N'B$、$A'N'$。
由平移的性质可知：$AM = A'N$，$AM' = A'N'$，且$MN = M'N'$。
因此$AM + MN + NB = A'N + NB + MN$，
$AM' + M'N' + N'B = A'N' + N'B + M'N'$。
根据两点之间，线段最短，可得$A'N' + N'B ＞ A'B = A'N + NB$。
两边同时加上相等的线段$MN=M'N'$，可得：
$A'N' + N'B + M'N' ＞ A'N + NB + MN$，
即$AM' + M'N' + N'B ＞ AM + MN + NB$。
所以$AM+MN+NB$最短。
设直线$a // b$，$MN$为两直线间的垂线段，长度等于河宽，是定值。
任取不同于$MN$的另一座桥$M'N'$（$M'$在$a$上，$N'$在$b$上，$M'N' ⊥ a$），连接$AM'$、$M'N'$、$N'B$、$A'N'$。
由平移的性质可知：$AM = A'N$，$AM' = A'N'$，且$MN = M'N'$。
因此$AM + MN + NB = A'N + NB + MN$，
$AM' + M'N' + N'B = A'N' + N'B + M'N'$。
根据两点之间，线段最短，可得$A'N' + N'B ＞ A'B = A'N + NB$。
两边同时加上相等的线段$MN=M'N'$，可得：
$A'N' + N'B + M'N' ＞ A'N + NB + MN$，
即$AM' + M'N' + N'B ＞ AM + MN + NB$。
所以$AM+MN+NB$最短。
解析
【分析】
要证明$AM+MN+NB$最短，首先明确$MN$是平行线$a$、$b$之间的垂线段，长度等于河宽，为固定值，因此总路径的长度仅由$AM+NB$的大小决定。我们可以利用平移的方法转化线段：将点$A$沿垂直河岸的方向平移河宽的长度得到点$A'$，根据平移性质可知$AM=A'N$，此时$AM+NB$就转化为$A'N+NB$。根据“两点之间，线段最短”，当$A'$、$N$、$B$三点共线时，$A'N+NB$的值最小。要严谨证明该路径最短，只需任取另一组桥的位置，对比两种方案的总路径长度即可。
【解析】
证明：设直线$a // b$，$MN$为两直线间的垂线段，长度等于河宽，是定值。
任取不同于$MN$的另一座桥$M'N'$（$M'$在$a$上，$N'$在$b$上，$M'N' ⊥ a$），连接$AM'$、$M'N'$、$N'B$、$A'N'$。
由平移的性质可知：$AM = A'N$，$AM' = A'N'$，且$MN = M'N'$。
因此$AM + MN + NB = A'N + NB + MN$，
$AM' + M'N' + N'B = A'N' + N'B + M'N'$。
根据两点之间，线段最短，可得$A'N' + N'B ＞ A'B = A'N + NB$。
两边同时加上相等的线段$MN=M'N'$，可得：
$A'N' + N'B + M'N' ＞ A'N + NB + MN$，
即$AM' + M'N' + N'B ＞ AM + MN + NB$。
所以$AM+MN+NB$最短。
【答案】
证明：设直线$a // b$，$MN$为两直线间的垂线段，长度等于河宽，是定值。
任取不同于$MN$的另一座桥$M'N'$（$M'$在$a$上，$N'$在$b$上，$M'N' ⊥ a$），连接$AM'$、$M'N'$、$N'B$、$A'N'$。
由平移的性质可知：$AM = A'N$，$AM' = A'N'$，且$MN = M'N'$。
因此$AM + MN + NB = A'N + NB + MN$，
$AM' + M'N' + N'B = A'N' + N'B + M'N'$。
根据两点之间，线段最短，可得$A'N' + N'B ＞ A'B = A'N + NB$。
两边同时加上相等的线段$MN=M'N'$，可得：
$A'N' + N'B + M'N' ＞ A'N + NB + MN$，
即$AM' + M'N' + N'B ＞ AM + MN + NB$。
所以$AM+MN+NB$最短。
【知识点】
最短路径问题、平移的性质、两点之间线段最短
【点评】
本题是造桥选址类最短路径的典型证明题，解题核心是先明确定长的河宽部分不需要参与最短性比较，通过平移将两段分散的待优化线段转化为共端点的线段和，再结合两点之间线段最短的原理完成证明，能很好地考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要证明$AM+MN+NB$最短，首先明确$MN$是平行线$a$、$b$之间的垂线段，长度等于河宽，为固定值，因此总路径的长度仅由$AM+NB$的大小决定。我们可以利用平移的方法转化线段：将点$A$沿垂直河岸的方向平移河宽的长度得到点$A'$，根据平移性质可知$AM=A'N$，此时$AM+NB$就转化为$A'N+NB$。根据“两点之间，线段最短”，当$A'$、$N$、$B$三点共线时，$A'N+NB$的值最小。要严谨证明该路径最短，只需任取另一组桥的位置，对比两种方案的总路径长度即可。
【解析】
证明：设直线$a // b$，$MN$为两直线间的垂线段，长度等于河宽，是定值。
任取不同于$MN$的另一座桥$M'N'$（$M'$在$a$上，$N'$在$b$上，$M'N' ⊥ a$），连接$AM'$、$M'N'$、$N'B$、$A'N'$。
由平移的性质可知：$AM = A'N$，$AM' = A'N'$，且$MN = M'N'$。
因此$AM + MN + NB = A'N + NB + MN$，
$AM' + M'N' + N'B = A'N' + N'B + M'N'$。
根据两点之间，线段最短，可得$A'N' + N'B ＞ A'B = A'N + NB$。
两边同时加上相等的线段$MN=M'N'$，可得：
$A'N' + N'B + M'N' ＞ A'N + NB + MN$，
即$AM' + M'N' + N'B ＞ AM + MN + NB$。
所以$AM+MN+NB$最短。
【答案】
证明：设直线$a // b$，$MN$为两直线间的垂线段，长度等于河宽，是定值。
任取不同于$MN$的另一座桥$M'N'$（$M'$在$a$上，$N'$在$b$上，$M'N' ⊥ a$），连接$AM'$、$M'N'$、$N'B$、$A'N'$。
由平移的性质可知：$AM = A'N$，$AM' = A'N'$，且$MN = M'N'$。
因此$AM + MN + NB = A'N + NB + MN$，
$AM' + M'N' + N'B = A'N' + N'B + M'N'$。
根据两点之间，线段最短，可得$A'N' + N'B ＞ A'B = A'N + NB$。
两边同时加上相等的线段$MN=M'N'$，可得：
$A'N' + N'B + M'N' ＞ A'N + NB + MN$，
即$AM' + M'N' + N'B ＞ AM + MN + NB$。
所以$AM+MN+NB$最短。
【知识点】
最短路径问题、平移的性质、两点之间线段最短
【点评】
本题是造桥选址类最短路径的典型证明题，解题核心是先明确定长的河宽部分不需要参与最短性比较，通过平移将两段分散的待优化线段转化为共端点的线段和，再结合两点之间线段最短的原理完成证明，能很好地考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
5.如图,两个居民小区A和B在河岸l的同侧,现欲在河岸边建一个长度为s m的绿化带CD,使点C到小区A的距离与点D到小区B的距离之和最小.请在图中画出绿化带的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
s m
s m
答案
解：
1. 过点A作$AA' // l$，且使$AA' = s\ \mathrm{m}$，得到点A'；
2. 连接$A'B$，交直线$l$于点D；
3. 在直线$l$上，从点D向靠近点A的一侧截取$CD = s\ \mathrm{m}$，得到点C。
线段CD即为所求的绿化带位置，保留平移线段$AA'$、连线$A'B$的作图痕迹。
1. 过点A作$AA' // l$，且使$AA' = s\ \mathrm{m}$，得到点A'；
2. 连接$A'B$，交直线$l$于点D；
3. 在直线$l$上，从点D向靠近点A的一侧截取$CD = s\ \mathrm{m}$，得到点C。
线段CD即为所求的绿化带位置，保留平移线段$AA'$、连线$A'B$的作图痕迹。
解析
【分析】
我们需要在直线l上确定长度为s m的线段CD，使AC+BD的和最小。由于CD长度固定，可通过平移转化为熟悉的最短路径问题：将点A沿平行于直线l的方向平移s m得到点A'，此时AA'与CD平行且长度相等，根据平移的性质可得AC=A'D，那么AC+BD就转化为A'D+BD，根据两点之间线段最短，连接A'B与直线l的交点就是使A'D+BD最小的点D，再按要求截取CD=s m即可确定绿化带位置。
【解析】
作图步骤如下：
1. 过点A作$AA' // l$，且使$AA' = s\ \mathrm{m}$，得到点$A'$；
2. 连接$A'B$，线段$A'B$与直线$l$的交点记为点$D$；
3. 在直线$l$上，从点$D$向靠近点$A$的一侧截取$CD = s\ \mathrm{m}$，得到点$C$。
作图需保留平移线段$AA'$、连线$A'B$的痕迹。
【答案】
按上述步骤作出的线段CD即为所求绿化带位置。
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的变式应用题，核心考查转化思想，通过平移消除固定长度线段的约束，将问题转化为基础的两点最短路径模型，能有效检验学生对基础模型的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
我们需要在直线l上确定长度为s m的线段CD，使AC+BD的和最小。由于CD长度固定，可通过平移转化为熟悉的最短路径问题：将点A沿平行于直线l的方向平移s m得到点A'，此时AA'与CD平行且长度相等，根据平移的性质可得AC=A'D，那么AC+BD就转化为A'D+BD，根据两点之间线段最短，连接A'B与直线l的交点就是使A'D+BD最小的点D，再按要求截取CD=s m即可确定绿化带位置。
【解析】
作图步骤如下：
1. 过点A作$AA' // l$，且使$AA' = s\ \mathrm{m}$，得到点$A'$；
2. 连接$A'B$，线段$A'B$与直线$l$的交点记为点$D$；
3. 在直线$l$上，从点$D$向靠近点$A$的一侧截取$CD = s\ \mathrm{m}$，得到点$C$。
作图需保留平移线段$AA'$、连线$A'B$的痕迹。
【答案】
按上述步骤作出的线段CD即为所求绿化带位置。
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的变式应用题，核心考查转化思想，通过平移消除固定长度线段的约束，将问题转化为基础的两点最短路径模型，能有效检验学生对基础模型的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图，A和B两地之间有两条平行的河流，现要在两条河上各造一座桥MN和EF，桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直，保留作图痕迹，不写作法）
答案
解：
将点A沿垂直于靠近A的第一条河河岸的方向，向河流方向平移，平移长度等于第一条河的河宽，得到点$A'$；
将点B沿垂直于靠近B的第二条河河岸的方向，向河流方向平移，平移长度等于第二条河的河宽，得到点$B'$；
连接$A'B'$，与第一条河远离A的内侧河岸交于点N，与第二条河远离B的内侧河岸交于点E；
过点N作第一条河河岸的垂线，交第一条河靠近A的外侧河岸于点M；
过点E作第二条河河岸的垂线，交第二条河靠近B的外侧河岸于点F。
则MN、EF即为所求的桥的建造位置，沿$A \to M \to N \to E \to F \to B$的路径从A到B总路程最短。
（按上述步骤保留平移线段、连线、垂线的作图痕迹即可）
将点A沿垂直于靠近A的第一条河河岸的方向，向河流方向平移，平移长度等于第一条河的河宽，得到点$A'$；
将点B沿垂直于靠近B的第二条河河岸的方向，向河流方向平移，平移长度等于第二条河的河宽，得到点$B'$；
连接$A'B'$，与第一条河远离A的内侧河岸交于点N，与第二条河远离B的内侧河岸交于点E；
过点N作第一条河河岸的垂线，交第一条河靠近A的外侧河岸于点M；
过点E作第二条河河岸的垂线，交第二条河靠近B的外侧河岸于点F。
则MN、EF即为所求的桥的建造位置，沿$A \to M \to N \to E \to F \to B$的路径从A到B总路程最短。
（按上述步骤保留平移线段、连线、垂线的作图痕迹即可）
解析
【分析】
要解决两条河上造桥的最短路径问题，首先明确路径的构成：从A出发，先到第一座桥的一端，过桥（桥垂直河岸，长度固定等于对应河的河宽），再走到第二座桥的一端，再过桥，最后走到B，总路程=岸上线段长+两段固定的桥长。因为桥长是固定不变的，所以只需让岸上的线段总长最短即可。
我们可以利用平移的性质，将点A沿垂直第一条河河岸的方向平移第一条河的宽度，得到点$A'$，此时A到第一座桥靠近A侧端点的距离，等于$A'$到第一座桥远离A侧端点的距离；同理将点B沿垂直第二条河河岸的方向平移第二条河的宽度，得到点$B'$，此时B到第二座桥靠近B侧端点的距离，等于$B'$到第二座桥远离B侧端点的距离。此时岸上的线段总长就转化为$A'$到$B'$之间的线段长，根据两点之间线段最短，连接$A'B'$，和两条河内侧河岸的交点就是桥的内侧端点，再过交点作河岸的垂线就能得到桥的位置。
【解析】
1. 将点A沿垂直于靠近A的第一条河河岸的方向，向河流方向平移，平移长度等于第一条河的河宽，得到点$A'$；
2. 将点B沿垂直于靠近B的第二条河河岸的方向，向河流方向平移，平移长度等于第二条河的河宽，得到点$B'$；
3. 连接$A'B'$，与第一条河远离A的内侧河岸交于点N，与第二条河远离B的内侧河岸交于点E；
4. 过点N作第一条河河岸的垂线，交第一条河靠近A的外侧河岸于点M；
5. 过点E作第二条河河岸的垂线，交第二条河靠近B的外侧河岸于点F。
此时MN、EF即为所求的桥的建造位置，沿$A \to M \to N \to E \to F \to B$的路径从A到B总路程最短，作图时保留平移线段、连线、垂线的痕迹即可。
【答案】
MN、EF为所求桥的位置，按上述步骤保留平移线段、连线、垂线的作图痕迹即可，最短路径为$A \to M \to N \to E \to F \to B$。
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是造桥选址类最短路径问题的拓展，核心是利用平移将固定长度的桥长进行转化，把求含定长线段的最短路径问题，转化为“两点之间，线段最短”的基础模型，考查转化思想的应用和作图能力。
【难度系数】
0.5
要解决两条河上造桥的最短路径问题，首先明确路径的构成：从A出发，先到第一座桥的一端，过桥（桥垂直河岸，长度固定等于对应河的河宽），再走到第二座桥的一端，再过桥，最后走到B，总路程=岸上线段长+两段固定的桥长。因为桥长是固定不变的，所以只需让岸上的线段总长最短即可。
我们可以利用平移的性质，将点A沿垂直第一条河河岸的方向平移第一条河的宽度，得到点$A'$，此时A到第一座桥靠近A侧端点的距离，等于$A'$到第一座桥远离A侧端点的距离；同理将点B沿垂直第二条河河岸的方向平移第二条河的宽度，得到点$B'$，此时B到第二座桥靠近B侧端点的距离，等于$B'$到第二座桥远离B侧端点的距离。此时岸上的线段总长就转化为$A'$到$B'$之间的线段长，根据两点之间线段最短，连接$A'B'$，和两条河内侧河岸的交点就是桥的内侧端点，再过交点作河岸的垂线就能得到桥的位置。
【解析】
1. 将点A沿垂直于靠近A的第一条河河岸的方向，向河流方向平移，平移长度等于第一条河的河宽，得到点$A'$；
2. 将点B沿垂直于靠近B的第二条河河岸的方向，向河流方向平移，平移长度等于第二条河的河宽，得到点$B'$；
3. 连接$A'B'$，与第一条河远离A的内侧河岸交于点N，与第二条河远离B的内侧河岸交于点E；
4. 过点N作第一条河河岸的垂线，交第一条河靠近A的外侧河岸于点M；
5. 过点E作第二条河河岸的垂线，交第二条河靠近B的外侧河岸于点F。
此时MN、EF即为所求的桥的建造位置，沿$A \to M \to N \to E \to F \to B$的路径从A到B总路程最短，作图时保留平移线段、连线、垂线的痕迹即可。
【答案】
MN、EF为所求桥的位置，按上述步骤保留平移线段、连线、垂线的作图痕迹即可，最短路径为$A \to M \to N \to E \to F \to B$。
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是造桥选址类最短路径问题的拓展，核心是利用平移将固定长度的桥长进行转化，把求含定长线段的最短路径问题，转化为“两点之间，线段最短”的基础模型，考查转化思想的应用和作图能力。
【难度系数】
0.5
