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7.(鹤壁模拟)小张同学在化简分式$\frac{□}{x^2 -4}$时得到的结果为$\frac{x-2}{x+2}$，$□$部分不小心用橡皮擦丢掉了，请你推测$□$部分的代数式应该是（
A.$x+2$
B.$(x-2)^2$
C.$x-2$
D.$(x+2)^2$
B
）A.$x+2$
B.$(x-2)^2$
C.$x-2$
D.$(x+2)^2$
答案
7. B
解析
【分析】
要推算被擦掉的分子，我们可以结合分式化简的依据反向推导：首先分式化简的核心是分式的基本性质，即分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变。第一步先对原分母$x^2-4$用平方差公式因式分解，对比化简后的分母，就能找到约分过程中约掉的公因式，再用化简后的分子乘这个公因式，就能得到原来的分子。
【解析】
解：先对原分式的分母因式分解：
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$
根据分式的基本性质，化简后的分式$\frac{x-2}{x+2}$是原分式分子分母同时除以$(x-2)$得到的，因此反向计算原分子时，将化简后的分子乘约掉的因式$(x-2)$即可：
原分子$=(x-2) × (x-2) = (x-2)^2$
因此$□$部分的代数式为$(x-2)^2$。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式基本性质逆用的基础题型，解题的关键是先分解原分母确定约分约去的公因式，再反向推导即可得到原分子，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
要推算被擦掉的分子，我们可以结合分式化简的依据反向推导：首先分式化简的核心是分式的基本性质，即分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变。第一步先对原分母$x^2-4$用平方差公式因式分解，对比化简后的分母，就能找到约分过程中约掉的公因式，再用化简后的分子乘这个公因式，就能得到原来的分子。
【解析】
解：先对原分式的分母因式分解：
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$
根据分式的基本性质，化简后的分式$\frac{x-2}{x+2}$是原分式分子分母同时除以$(x-2)$得到的，因此反向计算原分子时，将化简后的分子乘约掉的因式$(x-2)$即可：
原分子$=(x-2) × (x-2) = (x-2)^2$
因此$□$部分的代数式为$(x-2)^2$。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式基本性质逆用的基础题型，解题的关键是先分解原分母确定约分约去的公因式，再反向推导即可得到原分子，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
8.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”.下列分式中，是“和谐分式”的是
①$\frac{x-1}{x^2+1}$；②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$；③
$\frac{x+y}{x^2-y^2}$；④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$
②
(填写序号).①$\frac{x-1}{x^2+1}$；②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$；③
$\frac{x+y}{x^2-y^2}$；④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$答案
8. ②
解析
【分析】
首先明确“和谐分式”需同时满足两个条件：一是分子或分母可以因式分解，二是该分式是最简分式（分子与分母没有公因式）。解题时依次对4个分式逐一验证这两个条件，筛选出同时满足的即可。
【解析】
我们逐个分析各个分式：
1. 对于①$\frac{x-1}{x^2+1}$：分母$x^2+1$无法因式分解，分子$x-1$也不能再分解，不满足“分子或分母可因式分解”的要求，不是和谐分式；
2. 对于②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$：首先分母$a^2-b^2$可利用平方差公式因式分解为$(a+b)(a-b)$，再判断是否为最简分式：分子$a-2b$与分母的因式$a+b$、$a-b$均没有公因式，因此该分式是最简分式，两个条件都满足，是和谐分式；
3. 对于③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$：分母$x^2-y^2$可因式分解为$(x+y)(x-y)$，但分子和分母存在公因式$x+y$，可以约分化简为$\frac{1}{x-y}$，不是最简分式，不符合要求；
4. 对于④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$：分子$a^2-b^2$可因式分解为$(a+b)(a-b)$，分子和分母存在公因式$a+b$，可以约分化简为$\frac{a-b}{a+b}$，不是最简分式，不符合要求。
综上只有②是和谐分式。
【答案】
②
【知识点】
因式分解；最简分式判断；新定义理解
【点评】
本题属于新定义类习题，解题核心是准确把握新定义的两个判定条件，逐一验证即可，注意不要漏看“最简分式”的要求，也不要错判分子分母的公因式。
【难度系数】
0.7
首先明确“和谐分式”需同时满足两个条件：一是分子或分母可以因式分解，二是该分式是最简分式（分子与分母没有公因式）。解题时依次对4个分式逐一验证这两个条件，筛选出同时满足的即可。
【解析】
我们逐个分析各个分式：
1. 对于①$\frac{x-1}{x^2+1}$：分母$x^2+1$无法因式分解，分子$x-1$也不能再分解，不满足“分子或分母可因式分解”的要求，不是和谐分式；
2. 对于②$\frac{a-2b}{a^2-b^2}$：首先分母$a^2-b^2$可利用平方差公式因式分解为$(a+b)(a-b)$，再判断是否为最简分式：分子$a-2b$与分母的因式$a+b$、$a-b$均没有公因式，因此该分式是最简分式，两个条件都满足，是和谐分式；
3. 对于③$\frac{x+y}{x^2-y^2}$：分母$x^2-y^2$可因式分解为$(x+y)(x-y)$，但分子和分母存在公因式$x+y$，可以约分化简为$\frac{1}{x-y}$，不是最简分式，不符合要求；
4. 对于④$\frac{a^2-b^2}{(a+b)^2}$：分子$a^2-b^2$可因式分解为$(a+b)(a-b)$，分子和分母存在公因式$a+b$，可以约分化简为$\frac{a-b}{a+b}$，不是最简分式，不符合要求。
综上只有②是和谐分式。
【答案】
②
【知识点】
因式分解；最简分式判断；新定义理解
【点评】
本题属于新定义类习题，解题核心是准确把握新定义的两个判定条件，逐一验证即可，注意不要漏看“最简分式”的要求，也不要错判分子分母的公因式。
【难度系数】
0.7
9.化简下列分式，并求分式的值.
(1)$\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 8x + 16}$,其中$x=5$;
(2)$\frac{a^3 - 4ab^2}{a^3 - 4a^2b + 4ab^2}$,其中$a=-2,b=\frac{1}{2}$.
(1)$\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 8x + 16}$,其中$x=5$;
(2)$\frac{a^3 - 4ab^2}{a^3 - 4a^2b + 4ab^2}$,其中$a=-2,b=\frac{1}{2}$.
答案
解:(1)原式$=\frac{x(x-4)}{(x-4)^2}=\frac{x}{x-4}$。
当$x=5$时，原式$=\frac{5}{5-4}=5$。
(2)原式$=\frac{a(a^2-4b^2)}{a(a^2-4ab+4b^2)}=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2}=\frac{a+2b}{a-2b}$。
当$a=-2,b=\frac{1}{2}$时，原式$=\frac{-2+2×\frac{1}{2}}{-2-2×\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$。
当$x=5$时，原式$=\frac{5}{5-4}=5$。
(2)原式$=\frac{a(a^2-4b^2)}{a(a^2-4ab+4b^2)}=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2}=\frac{a+2b}{a-2b}$。
当$a=-2,b=\frac{1}{2}$时，原式$=\frac{-2+2×\frac{1}{2}}{-2-2×\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简、再代值”的原则：
1. 先对分式的分子、分母分别因式分解：（1）中分子用提公因式法分解，分母用完全平方公式分解；（2）中分子先提公因式，剩余部分用平方差公式分解，分母先提公因式，剩余部分用完全平方公式分解。
2. 找到分子分母的公因式，根据分式的基本性质约去公因式，得到最简分式，注意约分时需保证公因式不为0，本题给出的未知数取值均满足分母不为0的要求。
3. 将给定的未知数取值代入最简分式计算结果即可。
【解析】
(1) 对分子分母因式分解：
原式$=\frac{x(x-4)}{(x-4)^2}=\frac{x}{x-4}$
将$x=5$代入最简分式：
原式$=\frac{5}{5-4}=5$
(2) 对分子分母因式分解：
原式$=\frac{a(a^2-4b^2)}{a(a^2-4ab+4b^2)}=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2}=\frac{a+2b}{a-2b}$
将$a=-2,b=\frac{1}{2}$代入最简分式：
原式$=\frac{-2+2×\frac{1}{2}}{-2-2×\frac{1}{2}}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 化简结果为$\frac{x}{x-4}$，值为$5$；
(2) 化简结果为$\frac{a+2b}{a-2b}$，值为$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题关键是正确对分子分母因式分解，约分得到最简分式后再代值计算，避免直接代值导致计算量增大，计算时注意符号判断即可。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题遵循“先化简、再代值”的原则：
1. 先对分式的分子、分母分别因式分解：（1）中分子用提公因式法分解，分母用完全平方公式分解；（2）中分子先提公因式，剩余部分用平方差公式分解，分母先提公因式，剩余部分用完全平方公式分解。
2. 找到分子分母的公因式，根据分式的基本性质约去公因式，得到最简分式，注意约分时需保证公因式不为0，本题给出的未知数取值均满足分母不为0的要求。
3. 将给定的未知数取值代入最简分式计算结果即可。
【解析】
(1) 对分子分母因式分解：
原式$=\frac{x(x-4)}{(x-4)^2}=\frac{x}{x-4}$
将$x=5$代入最简分式：
原式$=\frac{5}{5-4}=5$
(2) 对分子分母因式分解：
原式$=\frac{a(a^2-4b^2)}{a(a^2-4ab+4b^2)}=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^2}=\frac{a+2b}{a-2b}$
将$a=-2,b=\frac{1}{2}$代入最简分式：
原式$=\frac{-2+2×\frac{1}{2}}{-2-2×\frac{1}{2}}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 化简结果为$\frac{x}{x-4}$，值为$5$；
(2) 化简结果为$\frac{a+2b}{a-2b}$，值为$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题关键是正确对分子分母因式分解，约分得到最简分式后再代值计算，避免直接代值导致计算量增大，计算时注意符号判断即可。
【难度系数】
0.8
10. (运算能力)“约去”指数:如$\frac{3^3 +1^3}{3^3 +2^3}=\frac{3+1}{3+2}$，$\frac{5^3 +2^3}{5^3 +3^3}=\frac{5+2}{5+3}$，…. 你见过这样的约分吗?面对这荒谬的约分,一笑之后,再认真检验,发现其结果竟然正确!这是什么原因?仔细观察式子,我们可作如下猜想:
(该式子的值不为0).试说明此猜想的正确性.[供参考:$x^3 + y^3=(x+y)(x^2 -xy +y^2)$]
(该式子的值不为0).试说明此猜想的正确性.[供参考:$x^3 + y^3=(x+y)(x^2 -xy +y^2)$]答案
解:因为$\frac{a^3+b^3}{a^3+(a-b)^3}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+a-b)[a^2-a(a-b)+(a-b)^2]}$
$=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+a-b)(a^2-a^2+ab+a^2-2ab+b^2)}$
$=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+a-b)(a^2-ab+b^2)}=\frac{a+b}{a+(a-b)}$，
所以该猜想正确。
$=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+a-b)(a^2-a^2+ab+a^2-2ab+b^2)}$
$=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+a-b)(a^2-ab+b^2)}=\frac{a+b}{a+(a-b)}$，
所以该猜想正确。
解析
【分析】
要验证题中猜想的正确性，我们可以借助题干给出的立方和因式分解公式，分别对等式左侧分式的分子、分母进行因式分解，再对分母分解后得到的整式部分展开化简，最后利用分式的基本性质约去分子分母的公因式（题干说明式子的值不为0，保证公因式不为0可约），对比化简结果与等式右侧即可完成验证。具体思路如下：
1. 对分子$a^3+b^3$直接套用立方和公式分解因式；
2. 将分母$a^3+(a-b)^3$中的$a$看作公式中的$x$、$a-b$看作公式中的$y$，套用立方和公式分解因式；
3. 展开并合并同类项化简分母分解后得到的二次多项式，判断其与分子中的二次因式是否相同；
4. 约去分子分母的公因式，对比化简结果与等式右侧。
【解析】
证明：根据题干给出的立方和公式$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$，对等式左侧分式变形：
分子分解因式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
分母分解因式：$a^3+(a-b)^3=[a+(a-b)][a^2-a(a-b)+(a-b)^2]$
化简分母中的二次项部分：
$\begin{aligned}a^2-a(a-b)+(a-b)^2&=a^2-(a^2-ab)+(a^2-2ab+b^2)\\&=a^2-a^2+ab+a^2-2ab+b^2\\&=a^2-ab+b^2\end{aligned}$
因此左侧分式可整理为：
$\frac{a^3+b^3}{a^3+(a-b)^3}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{[a+(a-b)](a^2-ab+b^2)}$
已知该式子的值不为0，故$a^2-ab+b^2\ne0$，根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式$a^2-ab+b^2$，可得：
$\frac{a^3+b^3}{a^3+(a-b)^3}=\frac{a+b}{a+(a-b)}$
与等式右侧完全一致。
【答案】
该猜想正确
【知识点】
立方和因式分解、分式的基本性质、整式化简运算
【点评】
本题从看似荒谬的特殊约分现象入手，引导我们利用已知公式和所学的分式、整式运算知识推导验证规律，既考查了基础运算能力，也能帮助我们建立“透过现象看本质”的数学思维，养成严谨推导的习惯。
【难度系数】
0.7
要验证题中猜想的正确性，我们可以借助题干给出的立方和因式分解公式，分别对等式左侧分式的分子、分母进行因式分解，再对分母分解后得到的整式部分展开化简，最后利用分式的基本性质约去分子分母的公因式（题干说明式子的值不为0，保证公因式不为0可约），对比化简结果与等式右侧即可完成验证。具体思路如下：
1. 对分子$a^3+b^3$直接套用立方和公式分解因式；
2. 将分母$a^3+(a-b)^3$中的$a$看作公式中的$x$、$a-b$看作公式中的$y$，套用立方和公式分解因式；
3. 展开并合并同类项化简分母分解后得到的二次多项式，判断其与分子中的二次因式是否相同；
4. 约去分子分母的公因式，对比化简结果与等式右侧。
【解析】
证明：根据题干给出的立方和公式$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$，对等式左侧分式变形：
分子分解因式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
分母分解因式：$a^3+(a-b)^3=[a+(a-b)][a^2-a(a-b)+(a-b)^2]$
化简分母中的二次项部分：
$\begin{aligned}a^2-a(a-b)+(a-b)^2&=a^2-(a^2-ab)+(a^2-2ab+b^2)\\&=a^2-a^2+ab+a^2-2ab+b^2\\&=a^2-ab+b^2\end{aligned}$
因此左侧分式可整理为：
$\frac{a^3+b^3}{a^3+(a-b)^3}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{[a+(a-b)](a^2-ab+b^2)}$
已知该式子的值不为0，故$a^2-ab+b^2\ne0$，根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式$a^2-ab+b^2$，可得：
$\frac{a^3+b^3}{a^3+(a-b)^3}=\frac{a+b}{a+(a-b)}$
与等式右侧完全一致。
【答案】
该猜想正确
【知识点】
立方和因式分解、分式的基本性质、整式化简运算
【点评】
本题从看似荒谬的特殊约分现象入手，引导我们利用已知公式和所学的分式、整式运算知识推导验证规律，既考查了基础运算能力，也能帮助我们建立“透过现象看本质”的数学思维，养成严谨推导的习惯。
【难度系数】
0.7
