同分母的分式相加减
同分母分式的加法运算法则:同分母的分式相加,分母,把分子.即
$\frac{f}{g}+\frac{h}{g}=\frac{f+h}{g}.$
同分母分式的减法运算法则:同分母的分式相减,分母,把分子.即
$\frac{f}{g}-\frac{h}{g}=\frac{f-h}{g}.$
注意:分式运算的最后结果要化成最简分式或整式.由于多项式的加减法满足交换律和结合律,因此,同分母分式的加减法也满足交换律和结合律.
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探究1 同分母的分式相加减

同分母分式的加法运算法则:同分母的分式相加,分母不变,把分子相加。
同分母分式的减法运算法则:同分母的分式相减,分母不变,把分子相减。

【分析】
本题考查同分母分式加减法的基础法则，我们可以类比之前学习的同分母分数加减法逻辑来思考：同分母分数相加减时，分数单位相同，因此分母保持不变，仅对分子做加减运算；分式和分数的运算逻辑一致，同分母分式的单位相同，所以加减规则和同分母分数的加减规则相通，最后运算结果要注意化成最简分式或整式。
【解析】
根据同分母分式加减法的定义，加法运算时，分母保持不变，把分子相加；减法运算时，分母同样保持不变，把分子相减，对应运算公式分别为$\frac{f}{g}+\frac{h}{g}=\frac{f+h}{g}$、$\frac{f}{g}-\frac{h}{g}=\frac{f-h}{g}$。
【答案】
同分母分式的加法运算法则:同分母的分式相加,分母不变,把分子相加。
同分母分式的减法运算法则:同分母的分式相减,分母不变,把分子相减。
【知识点】
1. 同分母分式加法法则
2. 同分母分式减法法则
【点评】
本题是分式运算的基础概念题，同分母分式加减法是后续学习异分母分式加减法的核心基础，异分母分式加减需要先通分转化为同分母分式加减再计算，学习时要牢记法则，注意运算结果需化为最简分式或整式。
【难度系数】
0.9

【例1】已知$A=\frac{x}{x^2 - y^2}, B=\frac{y}{y^2 - x^2}$，计算$A+B$和$A-B$.
易错提醒 (1)分子是多项式,相加减时要把分子看作一个整体,加上括号,再进行运算;(2)分子加减后,所得的结果如果不是最简分式,要约分,化成最简结果.

解:$A+B=\frac{x}{x^2 - y^2}+\frac{y}{y^2 - x^2}=\frac{x}{x^2 - y^2}-\frac{y}{x^2 - y^2}$
$=\frac{x-y}{x^2 - y^2}=\frac{x-y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x+y}.$
$A-B=\frac{x}{x^2 - y^2}-\frac{y}{y^2 - x^2}=\frac{x}{x^2 - y^2}+\frac{y}{x^2 - y^2}$
$=\frac{x+y}{x^2 - y^2}=\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x-y}.$

【分析】
首先观察两个分式的分母，发现$y^2 - x^2 = -(x^2 - y^2)$，因此可先将两个分式转化为同分母分式，再依据同分母分式加减法的法则（分母不变，分子相加减）进行计算，最后对计算结果约分，化为最简分式即可。分别计算$A+B$和$A-B$时，要注意调整$B$的分母后对应的分式符号变化。
【解析】
计算$A+B$：
$\begin{aligned}A+B&=\frac{x}{x^2 - y^2}+\frac{y}{y^2 - x^2}\\&=\frac{x}{x^2 - y^2}-\frac{y}{x^2 - y^2}\\&=\frac{x-y}{x^2 - y^2}\\&=\frac{x-y}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{1}{x+y}\end{aligned}$
计算$A-B$：
$\begin{aligned}A-B&=\frac{x}{x^2 - y^2}-\frac{y}{y^2 - x^2}\\&=\frac{x}{x^2 - y^2}+\frac{y}{x^2 - y^2}\\&=\frac{x+y}{x^2 - y^2}\\&=\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{1}{x-y}\end{aligned}$
【答案】
$A+B=\frac{1}{x+y}$，$A-B=\frac{1}{x-y}$
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题的核心是先将互为相反数的分母统一为同分母，计算过程中要注意符号的变化，最后结果必须化为最简分式，能很好地考察分式运算的基础掌握情况。
【难度系数】
0.8

【变式1】若$\frac{1}{x-1}=A-\frac{3x-4}{x-1}$，则A是（）

A.$-3$
B.$2$
C.$3$
D.$-2$

C

【分析】
本题考查同分母分式加减法的应用，解题思路如下：首先观察到等式两侧的分式分母均为x-1，要计算A的值，可先通过移项将A单独放在等式的一侧，把含分式的项移到另一侧，再根据同分母分式加法的运算法则，分母不变，分子相加，最后化简分子并结合分式有意义的条件约分，即可求出A的值。
【解析】
解：对原等式移项可得：
$\displaystyle A = \frac{1}{x-1} + \frac{3x-4}{x-1}$
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加，得：
$\displaystyle A = \frac{1 + 3x - 4}{x-1}$
化简分子：$1+3x-4=3x-3=3(x-1)$，代入得：
$\displaystyle A = \frac{3(x-1)}{x-1}$
由原分式有意义可知$x-1≠0$，因此可约去分子分母的公因式$x-1$，得$A=3$。
【答案】
C
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、分式有意义的条件
【点评】
本题是同分母分式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握同分母分式的加减法则，移项时注意符号变化，约分时需保证分母不为0，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8

【变式2】已知$M=\dfrac{x}{x-1}$，$N=\dfrac{1}{1-x}$，则（）

A.$M+N=1$
B.$M-N=1$
C.$M+N=0$
D.$M-N=0$

A

【分析】
首先观察两个分式的分母，$x-1$和$1-x$互为相反数，可先利用分式的符号法则将$N$的分母转化为与$M$相同的分母，再根据同分母分式加减法的法则（分母不变，分子相加减）分别计算$M+N$和$M-N$的结果，最后与各个选项对比即可得到正确答案。
【解析】
首先对$N$进行变形：
$\because 1-x=-(x-1)$，$\therefore N=\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{-(x-1)}=-\dfrac{1}{x-1}$
先计算$M+N$：
$M+N=\dfrac{x}{x-1}+(-\dfrac{1}{x-1})=\dfrac{x-1}{x-1}=1$
再计算$M-N$验证：
$M-N=\dfrac{x}{x-1}-(-\dfrac{1}{x-1})=\dfrac{x+1}{x-1}$，显然不等于1或0
综上，只有选项A符合计算结果。
【答案】
A
【知识点】
1.同分母分式的加减法
2.分式的符号法则
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题的核心是先将互为相反数的分母统一为同分母，再按照同分母分式的加减规则运算，注意最终结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.8

【例2】先化简，再求值：$\dfrac{3x+2y}{x^2 - y^2} + \dfrac{x}{y^2 - x^2}$，其中$x=2+y$。

解:原式$=\frac{3x+2y}{(x+y)(x-y)}-\frac{x}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{2(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{2}{x-y}.$
当$x=2+y$时,原式$=\frac{2}{2+y-y}=1.$

【分析】
解题时先观察两个分式的分母，发现$x^2-y^2$与$y^2-x^2$互为相反数，首先将两个分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，对分子合并同类项后因式分解，约分得到最简分式，最后将已知条件$x=2+y$变形为$x-y=2$代入最简分式计算即可，先化简再求值能减少运算量。
【解析】
先对原式变形，统一分母：
原式$=\dfrac{3x+2y}{(x+y)(x-y)}-\dfrac{x}{(x+y)(x-y)}$
按照同分母分式加减法法则合并分子：
$=\dfrac{3x+2y - x}{(x+y)(x-y)}$
$=\dfrac{2x+2y}{(x+y)(x-y)}$
对分子因式分解后约分：
$=\dfrac{2(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\dfrac{2}{x-y}$
代入已知条件计算：
由$x=2+y$可得$x-y=2$，代入得原式$=\dfrac{2}{2}=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，解题关键是先将互为相反数的分母统一为同分母再进行化简，化简后代入求值可有效简化计算过程，计算时注意符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.8

【变式1】(泰安模拟)如果$a+2b=2$，那么代数式$\frac{4a}{a^2 -4b^2} - \frac{8b}{a^2 -4b^2}$的值是（）

A.$-2$
B.$2$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

B

【分析】
首先观察所求代数式，两个分式的分母完全相同，可先依据同分母分式的加减运算法则，保持分母不变，将分子合并；再分别对合并后的分子、分母进行因式分解，约分后即可得到仅含$a+2b$的最简代数式，最后代入已知条件$a+2b=2$计算就能得到结果。
【解析】
解：根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4a - 8b}{a^2 - 4b^2}\\&=\frac{4(a - 2b)}{(a + 2b)(a - 2b)} \quad \mathrm{（分子提取公因式4，分母利用平方差公式因式分解）}\\&=\frac{4}{a + 2b} \quad \mathrm{（约去公因式}a-2b\mathrm{，此时}a≠2b\mathrm{，分式有意义）}\end{aligned}$
将已知$a + 2b = 2$代入化简后的式子，得：
原式$=\frac{4}{2}=2$
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减；平方差公式；分式化简求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础常考题，解题核心是先通过分式运算规则和因式分解化简代数式，再代入已知条件计算，可大幅降低运算量，熟练掌握分式运算法则和常见因式分解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【变式2】已知$A=\dfrac{x^2}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}$。
(1)化简A；
(2)若x是4的相反数，求A的值。

解:(1)$A=\frac{x^2}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1.$
(2)因为x是4的相反数，
所以$x=-4$，
所以$A=x-1=-4-1=-5.$

【分析】
(1) 化简A时，首先观察到两个分式为同分母分式，按照同分母分式减法规则，分母不变，分子相减得到分子为$x^2-1$；再利用平方差公式对分子因式分解，最后约去分子分母的公因式即可得到化简结果。
(2) 先根据相反数的定义求出x的取值，再将x代入第一问化简后的式子计算，即可得到A的数值。
【解析】
(1) 根据同分母分式减法法则计算：
$A=\frac{x^2}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x^2-1}{x+1}$
对分子用平方差公式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入后约分可得：
$A=\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1$
(2) 因为x是4的相反数，所以$x=-4$，将$x=-4$代入$A=x-1$得：
$A=-4-1=-5$
【答案】
(1) $A=x-1$；(2) $A=-5$
【知识点】
同分母分式加减法、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查分式化简与代入求值的结合，熟练掌握同分母分式运算法则、因式分解的基本方法即可快速解题，运算时要注意约分的前提是分母不为0。
【难度系数】
0.85