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1. 积的算术平方根的性质
积的算术平方根，等于积中各因式的
积的算术平方根，等于积中各因式的
算术平方根
的积
. 即 $\sqrt{a · b}=\sqrt{a} · \sqrt{b}(a≥0,b≥0).$答案
1. 算术平方根的积
解析
【分析】
本题为概念识记类题目，考查积的算术平方根的性质内容。解题时直接回忆对应性质的完整表述即可，结合给出的公式$\sqrt{a · b}=\sqrt{a} · \sqrt{b}(a≥0,b≥0)$可知，等号左边是积的算术平方根，等号右边是两个因式的算术平方根相乘，据此可推出空缺部分的内容。
【解析】
根据积的算术平方根的性质：当$a≥0,b≥0$时，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，对应公式为$\sqrt{a·b}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，因此空缺处应填入“算术平方根的积”。
【答案】
算术平方根的积
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式的非负性
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对教材核心性质的记忆，是二次根式化简、运算的重要基础，熟练掌握该性质能为后续二次根式相关的计算类题目做好铺垫。
【难度系数】
0.9
本题为概念识记类题目，考查积的算术平方根的性质内容。解题时直接回忆对应性质的完整表述即可，结合给出的公式$\sqrt{a · b}=\sqrt{a} · \sqrt{b}(a≥0,b≥0)$可知，等号左边是积的算术平方根，等号右边是两个因式的算术平方根相乘，据此可推出空缺部分的内容。
【解析】
根据积的算术平方根的性质：当$a≥0,b≥0$时，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，对应公式为$\sqrt{a·b}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，因此空缺处应填入“算术平方根的积”。
【答案】
算术平方根的积
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式的非负性
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对教材核心性质的记忆，是二次根式化简、运算的重要基础，熟练掌握该性质能为后续二次根式相关的计算类题目做好铺垫。
【难度系数】
0.9
2. 最简二次根式的概念
被开方数不含
注意:在二次根式的运算中,要把最后结果化成最简二次根式。
被开方数不含
分母
，且不含开得尽方的因数(或因式)
，这样的二次根式叫作最简二次根式。注意:在二次根式的运算中,要把最后结果化成最简二次根式。
答案
2. 分母 开得尽方的因数(或因式)
解析
【分析】
解答本题需回忆最简二次根式的判定条件：首先，如果被开方数含有分母，可通过分母有理化进一步化简，不符合“最简”的要求；其次，如果被开方数含有能开得尽方的因数或因式，可将这部分开方后移到根号外，也不属于最简形式。结合定义即可直接填出对应内容。
【解析】
根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要同时满足两个要求：1.被开方数不含分母；2.被开方数不含开得尽方的因数（或因式）。因此两个空依次对应这两个要求填写即可。
【答案】
分母 开得尽方的因数(或因式)
【知识点】
最简二次根式的概念
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查最简二次根式的核心定义，牢记该概念是后续开展二次根式化简、运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
解答本题需回忆最简二次根式的判定条件：首先，如果被开方数含有分母，可通过分母有理化进一步化简，不符合“最简”的要求；其次，如果被开方数含有能开得尽方的因数或因式，可将这部分开方后移到根号外，也不属于最简形式。结合定义即可直接填出对应内容。
【解析】
根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要同时满足两个要求：1.被开方数不含分母；2.被开方数不含开得尽方的因数（或因式）。因此两个空依次对应这两个要求填写即可。
【答案】
分母 开得尽方的因数(或因式)
【知识点】
最简二次根式的概念
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查最简二次根式的核心定义，牢记该概念是后续开展二次根式化简、运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
【例1】化简：
(1)$\sqrt{48}$； (2)$\sqrt{54}$。
方法归纳 “$\sqrt{m}(m$为整数$)$”类型的化简
(1)对被开方数$m$进行因数分解，找出其中的完全平方数因子$a^2$，将$m$写成$a^2 · b$（$b$为非完全平方数）的形式。
(2)依据二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a} · \sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），把$\sqrt{m}$变形为$\sqrt{a^2} · \sqrt{b}$。
(3)利用$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，化简得到$a\sqrt{b}$。
【变式】化简：
(1)$\sqrt{75}$； (2)$\sqrt{40}$。
(1)$\sqrt{48}$； (2)$\sqrt{54}$。
方法归纳 “$\sqrt{m}(m$为整数$)$”类型的化简
(1)对被开方数$m$进行因数分解，找出其中的完全平方数因子$a^2$，将$m$写成$a^2 · b$（$b$为非完全平方数）的形式。
(2)依据二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a} · \sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），把$\sqrt{m}$变形为$\sqrt{a^2} · \sqrt{b}$。
(3)利用$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，化简得到$a\sqrt{b}$。
【变式】化简：
(1)$\sqrt{75}$； (2)$\sqrt{40}$。
答案
【例1】解:(1) $\sqrt{48}=\sqrt{4^2 × 3}=\sqrt{4^2}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}.$
(2) $\sqrt{54}=\sqrt{3^2 × 6}=\sqrt{3^2}×\sqrt{6}=3\sqrt{6}.$
【变式】解:(1) $\sqrt{75}=\sqrt{5^2 × 3}=\sqrt{5^2}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}.$
(2) $\sqrt{40}=\sqrt{2^2 × 10}=\sqrt{2^2}×\sqrt{10}=2 \sqrt{10}.$
(2) $\sqrt{54}=\sqrt{3^2 × 6}=\sqrt{3^2}×\sqrt{6}=3\sqrt{6}.$
【变式】解:(1) $\sqrt{75}=\sqrt{5^2 × 3}=\sqrt{5^2}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}.$
(2) $\sqrt{40}=\sqrt{2^2 × 10}=\sqrt{2^2}×\sqrt{10}=2 \sqrt{10}.$
解析
【分析】
化简形如$\sqrt{m}$（$m$为正整数）的二次根式，可按固定思路分步求解：第一步先对被开方数进行因数分解，找出其中最大的完全平方数因子；第二步将被开方数拆成“完全平方数×非完全平方数”的形式，再利用二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$拆分根号；最后根据$\sqrt{a^2}=a\ (a≥0)$的性质，把完全平方数开到根号外，剩余非完全平方数留在根号内即可得到最简结果。
【解析】
【例1】
(1) $\sqrt{48}=\sqrt{4^2 × 3}=\sqrt{4^2}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{54}=\sqrt{3^2 × 6}=\sqrt{3^2}×\sqrt{6}=3\sqrt{6}$
【变式】
(1) $\sqrt{75}=\sqrt{5^2 × 3}=\sqrt{5^2}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{40}=\sqrt{2^2 × 10}=\sqrt{2^2}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
【答案】
例1：(1)$4\sqrt{3}$；(2)$3\sqrt{6}$
变式：(1)$5\sqrt{3}$；(2)$2\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式的性质、因数分解
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心是掌握整数型二次根式的化简步骤，解题关键是准确找出被开方数中包含的最大完全平方因子，熟练掌握该方法可为后续二次根式的混合运算打好基础。
【难度系数】
0.8
化简形如$\sqrt{m}$（$m$为正整数）的二次根式，可按固定思路分步求解：第一步先对被开方数进行因数分解，找出其中最大的完全平方数因子；第二步将被开方数拆成“完全平方数×非完全平方数”的形式，再利用二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$拆分根号；最后根据$\sqrt{a^2}=a\ (a≥0)$的性质，把完全平方数开到根号外，剩余非完全平方数留在根号内即可得到最简结果。
【解析】
【例1】
(1) $\sqrt{48}=\sqrt{4^2 × 3}=\sqrt{4^2}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{54}=\sqrt{3^2 × 6}=\sqrt{3^2}×\sqrt{6}=3\sqrt{6}$
【变式】
(1) $\sqrt{75}=\sqrt{5^2 × 3}=\sqrt{5^2}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{40}=\sqrt{2^2 × 10}=\sqrt{2^2}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
【答案】
例1：(1)$4\sqrt{3}$；(2)$3\sqrt{6}$
变式：(1)$5\sqrt{3}$；(2)$2\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式的性质、因数分解
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心是掌握整数型二次根式的化简步骤，解题关键是准确找出被开方数中包含的最大完全平方因子，熟练掌握该方法可为后续二次根式的混合运算打好基础。
【难度系数】
0.8
【例2】化简：
(1)$\sqrt{\frac{5}{7}}$；
(2)$\sqrt{\frac{7}{72}}$。
方法归纳 “$\sqrt{\frac{n}{p}}$（$n$、$p$为整数，$p≠0$）”
类型的化简
(1)分子、分母同乘一个数，使分母变为完全平方数.设所乘的数为$s$，使得$p·s=t^2$（$t$为正整数），将原式化为$\sqrt{\frac{n·s}{p·s}}$。
(2)把被开方数写成一个完全平方数与另一个数的乘积形式，即$\sqrt{(\frac{1}{t})^2·u}$（$u$为正整数，即为$n·s$的值）。
(3)利用$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，化简得到$\frac{\sqrt{u}}{t}$。
(1)$\sqrt{\frac{5}{7}}$；
(2)$\sqrt{\frac{7}{72}}$。
方法归纳 “$\sqrt{\frac{n}{p}}$（$n$、$p$为整数，$p≠0$）”
类型的化简
(1)分子、分母同乘一个数，使分母变为完全平方数.设所乘的数为$s$，使得$p·s=t^2$（$t$为正整数），将原式化为$\sqrt{\frac{n·s}{p·s}}$。
(2)把被开方数写成一个完全平方数与另一个数的乘积形式，即$\sqrt{(\frac{1}{t})^2·u}$（$u$为正整数，即为$n·s$的值）。
(3)利用$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，化简得到$\frac{\sqrt{u}}{t}$。
答案
【例2】解:(1) $\sqrt{\frac{5}{7}}=\sqrt{\frac{5×7}{7×7}}=\sqrt{(\frac{1}{7})^2 × 35}=\frac{\sqrt{35}}{7}.$
(2) $\sqrt{\frac{7}{72}}=\sqrt{\frac{7}{6^2 × 2}}=\sqrt{\frac{7×2}{6^2 × 2^2}}=\sqrt{(\frac{1}{6×2})^2 ×14}=\frac{\sqrt{14}}{12}.$
(2) $\sqrt{\frac{7}{72}}=\sqrt{\frac{7}{6^2 × 2}}=\sqrt{\frac{7×2}{6^2 × 2^2}}=\sqrt{(\frac{1}{6×2})^2 ×14}=\frac{\sqrt{14}}{12}.$
解析
【分析】
这是根号下含分数的二次根式化简问题，解题需遵循二次根式的化简要求：最终结果为最简二次根式，被开方数不含分母。思考路径如下：第一步观察分母，找到能让分母变为完全平方数的最小正整数，利用分数基本性质将分子、分母同乘这个数；第二步把变形后的被开方数拆成完全平方数与剩余整数的乘积形式；第三步利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，将完全平方数开方到根号外，得到最简结果。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{\frac{5}{7}}$：
分母为7，和7相乘得到最小完全平方数的数是7，分子分母同乘7得：
$\sqrt{\frac{5}{7}}=\sqrt{\frac{5×7}{7×7}}=\sqrt{(\frac{1}{7})^2 × 35}$
根据$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$开方得：
$\sqrt{(\frac{1}{7})^2 × 35}=\frac{\sqrt{35}}{7}$
(2) 化简$\sqrt{\frac{7}{72}}$：
先拆分分母$72=6^2×2$，和72相乘得到最小完全平方数的数是2，分子分母同乘2得：
$\sqrt{\frac{7}{72}}=\sqrt{\frac{7}{6^2 × 2}}=\sqrt{\frac{7×2}{6^2 × 2^2}}=\sqrt{(\frac{1}{6×2})^2 ×14}$
根据$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$开方得：
$\sqrt{(\frac{1}{12})^2 ×14}=\frac{\sqrt{14}}{12}$
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{35}}{7}$；(2)$\frac{\sqrt{14}}{12}$
【知识点】
二次根式的性质，最简二次根式，分数基本性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础常规题，核心考察根号下含分数的化简技巧，解题时优先选择最小的正整数与分母相乘凑完全平方数，能有效简化计算，避免出现结果不是最简的问题。
【难度系数】
0.8
这是根号下含分数的二次根式化简问题，解题需遵循二次根式的化简要求：最终结果为最简二次根式，被开方数不含分母。思考路径如下：第一步观察分母，找到能让分母变为完全平方数的最小正整数，利用分数基本性质将分子、分母同乘这个数；第二步把变形后的被开方数拆成完全平方数与剩余整数的乘积形式；第三步利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，将完全平方数开方到根号外，得到最简结果。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{\frac{5}{7}}$：
分母为7，和7相乘得到最小完全平方数的数是7，分子分母同乘7得：
$\sqrt{\frac{5}{7}}=\sqrt{\frac{5×7}{7×7}}=\sqrt{(\frac{1}{7})^2 × 35}$
根据$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$开方得：
$\sqrt{(\frac{1}{7})^2 × 35}=\frac{\sqrt{35}}{7}$
(2) 化简$\sqrt{\frac{7}{72}}$：
先拆分分母$72=6^2×2$，和72相乘得到最小完全平方数的数是2，分子分母同乘2得：
$\sqrt{\frac{7}{72}}=\sqrt{\frac{7}{6^2 × 2}}=\sqrt{\frac{7×2}{6^2 × 2^2}}=\sqrt{(\frac{1}{6×2})^2 ×14}$
根据$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$开方得：
$\sqrt{(\frac{1}{12})^2 ×14}=\frac{\sqrt{14}}{12}$
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{35}}{7}$；(2)$\frac{\sqrt{14}}{12}$
【知识点】
二次根式的性质，最简二次根式，分数基本性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础常规题，核心考察根号下含分数的化简技巧，解题时优先选择最小的正整数与分母相乘凑完全平方数，能有效简化计算，避免出现结果不是最简的问题。
【难度系数】
0.8
【变式1】下列各式中，为最简二次根式的是（
A. $\sqrt{11}$
B. $\sqrt{0.1}$
C. $\sqrt{27}$
D. $\sqrt{\dfrac{7}{5}}$
【变式2】化简：
(1) $\sqrt{\dfrac{5}{6}}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{3}{32}}$。
A
）A. $\sqrt{11}$
B. $\sqrt{0.1}$
C. $\sqrt{27}$
D. $\sqrt{\dfrac{7}{5}}$
【变式2】化简：
(1) $\sqrt{\dfrac{5}{6}}$；
(2) $\sqrt{\dfrac{3}{32}}$。
答案
【变式1】A
【变式2】解:(1) $\sqrt{\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{5×6}{6×6}}=\sqrt{\frac{30}{6^2}}=\sqrt{(\frac{1}{6})^2 ×30}=\frac{\sqrt{30}}{6}.$
(2) $\sqrt{\frac{3}{32}}=\sqrt{\frac{3}{4^2 × 2}}=\sqrt{\frac{3×2}{4^2 × 2^2}}=\sqrt{(\frac{1}{4×2})^2 ×6}=\frac{\sqrt{6}}{8}.$
【变式2】解:(1) $\sqrt{\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{5×6}{6×6}}=\sqrt{\frac{30}{6^2}}=\sqrt{(\frac{1}{6})^2 ×30}=\frac{\sqrt{30}}{6}.$
(2) $\sqrt{\frac{3}{32}}=\sqrt{\frac{3}{4^2 × 2}}=\sqrt{\frac{3×2}{4^2 × 2^2}}=\sqrt{(\frac{1}{4×2})^2 ×6}=\frac{\sqrt{6}}{8}.$
解析
【分析】
变式1思路
判断最简二次根式需紧扣两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
变式2思路
二次根式化简的目标是得到最简二次根式，当被开方数为分数时，利用二次根式的性质，给被开方数的分子、分母同乘合适的数，使分母转化为完全平方数，再结合$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$的性质把分母开方移出根号，最终结果满足最简二次根式要求即可。
【解析】
变式1解析
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数的因数是整数，不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$\sqrt{11}$的被开方数11是整数，且没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义；
选项B：$\sqrt{0.1}=\sqrt{\dfrac{1}{10}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{\dfrac{7}{5}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
综上，变式1选A。
变式2解析
利用二次根式性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，结合分母有理化化简：
(1) 给被开方数的分子分母同乘6，使分母变为完全平方数：
$\sqrt{\dfrac{5}{6}}=\sqrt{\dfrac{5×6}{6×6}}=\sqrt{\dfrac{30}{6^2}}=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{6^2}}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}$
(2) 先将分母32分解为$4^2×2$，给分子分母同乘2，使分母变为完全平方数：
$\sqrt{\dfrac{3}{32}}=\sqrt{\dfrac{3}{4^2×2}}=\sqrt{\dfrac{3×2}{4^2×2^2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{(4×2)^2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{8}$
【答案】
【变式1】A
【变式2】(1) $\dfrac{\sqrt{30}}{6}$；(2) $\dfrac{\sqrt{6}}{8}$
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简，分母有理化
【点评】
这组题是二次根式的基础题型，重点考查对最简二次根式概念的理解和二次根式化简的基本方法，是后续二次根式运算的必备基础，需熟练掌握化简规则，确保最终结果为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
变式1思路
判断最简二次根式需紧扣两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
变式2思路
二次根式化简的目标是得到最简二次根式，当被开方数为分数时，利用二次根式的性质，给被开方数的分子、分母同乘合适的数，使分母转化为完全平方数，再结合$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$的性质把分母开方移出根号，最终结果满足最简二次根式要求即可。
【解析】
变式1解析
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数的因数是整数，不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$\sqrt{11}$的被开方数11是整数，且没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义；
选项B：$\sqrt{0.1}=\sqrt{\dfrac{1}{10}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{\dfrac{7}{5}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
综上，变式1选A。
变式2解析
利用二次根式性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，结合分母有理化化简：
(1) 给被开方数的分子分母同乘6，使分母变为完全平方数：
$\sqrt{\dfrac{5}{6}}=\sqrt{\dfrac{5×6}{6×6}}=\sqrt{\dfrac{30}{6^2}}=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{6^2}}=\dfrac{\sqrt{30}}{6}$
(2) 先将分母32分解为$4^2×2$，给分子分母同乘2，使分母变为完全平方数：
$\sqrt{\dfrac{3}{32}}=\sqrt{\dfrac{3}{4^2×2}}=\sqrt{\dfrac{3×2}{4^2×2^2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{(4×2)^2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{8}$
【答案】
【变式1】A
【变式2】(1) $\dfrac{\sqrt{30}}{6}$；(2) $\dfrac{\sqrt{6}}{8}$
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简，分母有理化
【点评】
这组题是二次根式的基础题型，重点考查对最简二次根式概念的理解和二次根式化简的基本方法，是后续二次根式运算的必备基础，需熟练掌握化简规则，确保最终结果为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
