3. (2025临沂模拟)计算：$\sqrt{(-8)^2} = (\quad)$

A.$\frac{1}{8}$
B.$-\frac{1}{8}$
C.$8$
D.$-8$

C

【分析】
本题考查二次根式的相关性质，解题思路如下：首先明确算术平方根的结果是非负数，可先排除负数选项；其次可通过两种思路计算：一是先计算根号内的乘方运算，再求所得结果的算术平方根；二是直接利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，化简绝对值得到结果。
【解析】
方法1：先计算根号内的运算
首先计算$(-8)^2=64$，
$\sqrt{64}$表示求64的算术平方根，算术平方根是指一个非负数的正的平方根，因此$\sqrt{64}=8$。
方法2：利用二次根式性质计算
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的性质 2.算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的基本性质，解题时需注意算术平方根的结果一定是非负的，切勿直接消去根号和平方误选负数选项。
【难度系数】
0.9

4. 若式子$\frac{x-2}{\sqrt{x+2}}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（）

A.$x≥ -2$
B.$x＞ -2$
C.$x≤ -2$
D.$x＜ -2$

B

【分析】
要确定该代数式在实数范围内有意义的x的取值范围，需结合两部分限制条件分析：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，将两个条件联立得到不等式，求解即可得到结果。
【解析】
要使$\frac{x-2}{\sqrt{x+2}}$在实数范围内有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+2≥0$；
2. 分式的分母不为0：$\sqrt{x+2}≠0$，即$x+2≠0$。
联立两个条件可得$x+2＞0$，解不等式得$x＞-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义的基础常考题，易错点是容易忽略分母不能为0的限制，误将条件判断为$x+2≥0$而错选A，解题时需梳理全所有限制条件再求解。
【难度系数】
0.75

5. 二次根式$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义，则x的取值范围为。

$x≥2$

【分析】
要解决本题，首先回忆二次根式在实数范围内有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。首先找到题中二次根式的被开方数为$x-2$，因此只需令被开方数满足非负的要求，列出对应的不等式，再解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数，可得：
$x-2 ≥ 0$
解得：$x ≥ 2$
【答案】
$x≥ 2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次根式有意义的判定规则，掌握被开方数为非负数的要求即可快速解题，是二次根式模块的高频基础考点。
【难度系数】
0.9

6.若代数式$\frac{\sqrt{x}}{x-3}$有意义，则实数x的取值范围是。

$x≥0$且$x≠3$

【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别梳理代数式中各部分的限制条件：首先代数式包含二次根式，二次根式有意义要求被开方数为非负数；其次代数式是分式形式，分式有意义要求分母不为0，最后取两个限制条件的公共解集即可得到x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x}}{x-3}$有意义，需同时满足两个要求：
1. 二次根式$\sqrt{x}$的被开方数为非负数，即$x≥0$；
2. 分式的分母不能为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综合两个条件，实数x的取值范围是$x≥0$且$x≠3$。
【答案】
$x≥0$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是求代数式取值范围的基础题型，解题时要注意排查代数式中所有的限制要求，不要遗漏分母不为0的条件，多个限制条件需取公共解集作为最终结果。
【难度系数】
0.8

7. 计算:
(1)$(\sqrt{\dfrac{3}{8}})^2$;
(2)$(-3\sqrt{5})^2$;
(3)$\sqrt{(-11)^2}$;
(4)$\sqrt{(\sqrt{5}-3)^2}$.

7. 解:(1)$(\sqrt{\dfrac{3}{8}})^2=\dfrac{3}{8}$.
(2)$(-3\sqrt{5})^2=(-3)^2×(\sqrt{5})^2=9×5=45$.
(3)$\sqrt{(-11)^2}=|-11|=11$.
(4)$\sqrt{(\sqrt{5}-3)^2}=|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}$.

【分析】
本题考查二次根式的性质应用，解题时先区分式子类型选择对应性质：①对于$(\sqrt{a})^2$（$a≥0$），直接运用性质$(\sqrt{a})^2=a$计算；②对于$\sqrt{a^2}$，先运用性质转化为$|a|$，再根据$a$的正负去绝对值计算。
(1)属于$(\sqrt{a})^2$的形式，被开方数$\frac{3}{8}≥0$，可直接代性质计算；
(2)是积的乘方形式，先拆分系数和二次根式分别平方，再用$(\sqrt{a})^2=a$计算；
(3)(4)属于$\sqrt{a^2}$的形式，先转成绝对值，再判断绝对值内数的正负去绝对值即可。
【解析】
(1)根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得：
$(\sqrt{\dfrac{3}{8}})^2=\dfrac{3}{8}$
(2)根据积的乘方运算法则，结合二次根式性质计算：
$(-3\sqrt{5})^2=(-3)^2×(\sqrt{5})^2=9×5=45$
(3)根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(-11)^2}=|-11|=11$
(4)先转化为绝对值，再判断$\sqrt{5}\approx2.236＜3$，即$\sqrt{5}-3＜0$，去绝对值得相反数：
$\sqrt{(\sqrt{5}-3)^2}=|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}$
【答案】
(1)$\dfrac{3}{8}$；(2)$45$；(3)$11$；(4)$3-\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的性质，积的乘方运算，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，核心是区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规则，尤其化简$\sqrt{a^2}$时要先判断底数的符号，再去绝对值，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

8.已知实数$x,y$满足$\sqrt{x-3}+(y+2)^2=0$，则$2x+y$的值是（）

A.4
B.8
C.$\pm2$
D.2

A

【分析】
本题需利用非负数的性质求解。我们已知算术平方根和完全平方数都属于非负数，若两个非负数的和为0，说明这两个非负数各自都等于0。解题时先根据这个性质列出关于x、y的方程，求出x、y的取值后，再代入代数式2x+y计算，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵二次根式的算术平方根、平方数均具有非负性，
∴$\sqrt{x-3} ≥ 0$，$(y+2)^2 ≥ 0$，
又
∵$\sqrt{x-3}+(y+2)^2=0$，
∴可得方程组：$\begin{cases}x-3=0 \\ y+2=0\end{cases}$，
解得：$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$，
将x=3、y=-2代入$2x+y$得：
$2x+y=2×3+(-2)=6-2=4$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.非负数的性质
2.二次根式的性质
3.代数式求值
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0”的性质，整体计算量小，解题思路清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8

9.若$\sqrt{9-n}$是整数，则满足条件的自然数$n$的个数为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

C

【分析】
解题首先要明确两个前提条件：①二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此9-n≥0；②√(9-n)是整数，说明9-n是大于等于0的完全平方数。我们先确定9-n的取值范围，再枚举所有符合要求的完全平方数，进而求出对应的自然数n，统计个数即可。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，得：
$9-n ≥ 0$，解得$n ≤ 9$
又因为n是自然数，所以$n ≥ 0$，即$0 ≤ n ≤ 9$，因此$0 ≤ 9-n ≤ 9$。
第二步：因为$\sqrt{9-n}$是整数，所以9-n是0到9之间的非负完全平方数，符合条件的数有0、1、4、9共4个：
① 当$9-n=0$时，$n=9$，符合要求；
② 当$9-n=1$时，$n=8$，符合要求；
③ 当$9-n=4$时，$n=5$，符合要求；
④ 当$9-n=9$时，$n=0$，符合要求。
综上，满足条件的自然数n共有4个。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.完全平方数的性质 3.自然数的概念
【点评】
本题易错点是容易遗漏$\sqrt{9-n}=0$或n=0的情况，解题时要注意对符合条件的数进行全面枚举，避免漏解。
【难度系数】
0.7

10.【阅读理解】
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题.
化简：$(\sqrt{1-3x})^2 - |1 - x|$.
解：隐含条件$1-3x≥0$，解得$x≤\frac{1}{3}$.
所以$1 - x ＞ 0$.
所以原式$=(1 - 3x) - (1 - x)$
$=1 - 3x -1 + x$
$=-2x$.
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简：$\sqrt{(x-3)^2} - (\sqrt{2 - x})^2$；
【类比迁移】
(2)实数$a,b$在数轴上的位置如图所示，化简：$\sqrt{a^2} + \sqrt{(a + b)^2} - |b - a|$.

10. 解:(1)隐含条件$2-x≥0$,解得$x≤2$.
所以$\sqrt{(x-3)^2} - (\sqrt{2-x})^2 = 3 - x - (2 - x) = 3 - x - 2 + x = 1$.
(2)观察数轴,可知$a＜0＜b$,$|a|＞|b|$.
所以$\sqrt{a^2} + \sqrt{(a+b)^2} - |b-a| = -a - (a+b) - (b-a) = -a -a -b -b +a = -a -2b$.

【分析】
(1) 化简该式首先要确定二次根式有意义的隐含条件：二次根式的被开方数非负，因此先由$\sqrt{2-x}$有意义得$2-x≥0$，求出$x$的取值范围，再判断$x-3$的正负，根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$去根号，再化简绝对值后计算即可。
(2) 首先根据数轴得到$a、b$的大小关系和绝对值大小：$a＜0＜b$且$|a|＞|b|$，据此判断$a+b$、$b-a$的正负，再结合二次根式的性质和绝对值的化简规则，去掉根号和绝对值符号后合并同类项即可。
【解析】
(1) 由二次根式有意义的条件可得隐含条件$2-x≥0$，解得$x≤2$。
因此$x-3＜0$，则$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|=3-x$，$(\sqrt{2-x})^2=2-x$。
原式$=3-x - (2-x)$
$=3-x-2+x$
$=1$。
(2) 观察数轴可得：$a＜0＜b$，且$|a|＞|b|$，
因此$a+b＜0$，$b-a＞0$。
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|a| + |a+b| - |b-a|$
$=-a + [-(a+b)] - (b-a)$
$=-a -a -b -b +a$
$=-a-2b$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-a-2b}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题的核心是掌握二次根式的性质与绝对值的化简规则，解题的关键是先通过隐含条件或数轴信息确定相关代数式的正负，再去根号和绝对值符号，计算过程中要注意符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7