1. 化简$\sqrt{64 × 25}$的结果是 （）

A.100
B.60
C.40
D.20

1. C

【分析】
解题时首先回忆二次根式的相关性质：积的算术平方根等于算术平方根的积，且根号下的被开方数都为非负数时该性质成立。本题中根号下是64与25的乘积，两个数均为非负数，因此可以先拆分出两个数的算术平方根，分别计算后再相乘即可得到化简结果。
【解析】
根据积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{64 × 25}=\sqrt{64}×\sqrt{25}$
其中$\sqrt{64}=8$，$\sqrt{25}=5$，代入计算得：
$8×5=40$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 积的算术平方根的性质
2. 算术平方根的计算
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心考查对二次根式相关运算性质的理解与应用，只要熟练掌握性质、准确计算常见数的算术平方根，即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 化简$\sqrt{12}$的结果是（）

A.$2\sqrt{3}$
B.3
C.$2\sqrt{2}$
D.2

2. A

【分析】
要化简二次根式，需利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），把被开方数中能开得尽方的因数移到根号外。解题时先把12分解为两个因数的乘积，其中一个因数是最大的完全平方数：12=4×3，4是完全平方数可直接开方，剩余的因数3留在根号内，就能得到化简结果，再匹配选项即可。
【解析】
解：根据二次根式的性质对$\sqrt{12}$化简：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
对比选项，只有A符合化简结果。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题关键是正确拆分被开方数，找出其中的完全平方因数，再结合二次根式的性质计算，是二次根式相关运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

3. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.$\frac{\sqrt{1}}{2}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{0.3}$

3. B

【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需根据这两个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据最简二次根式的判定条件逐一分析选项：
选项A：$\frac{\sqrt{1}}{2}$中，被开方数1可以开尽方（$\sqrt{1}=1$），化简后为$\frac{1}{2}$，不符合最简二次根式的要求；
选项B：$\sqrt{7}$的被开方数7是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的所有条件；
选项C：$\sqrt{8}$的被开方数8可拆分为$4×2$，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），化简后为$2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{0.3}$的被开方数0.3是小数，等价于$\sqrt{\frac{3}{10}}$，被开方数含分母，化简后为$\frac{\sqrt{30}}{10}$，不是最简二次根式。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握最简二次根式的两个判定条件，就能快速判断出正确选项，出错概率较低。
【难度系数】
0.85

4. 将化为最简二次根式，其结果是（）

A.$\frac{\sqrt{45}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{90}}{2}$
C.$\frac{9\sqrt{10}}{2}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{2}$

4. D

【分析】
要化简该二次根式，首先明确最简二次根式的两个核心要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题可按三步推进：第一步先做分母有理化，给被开方数的分子分母同乘2，让分母转化为完全平方数；第二步利用二次根式的性质拆分根式，把分母开方出来；第三步将分子中能开得尽方的因数开方，得到最终化简结果后对应选项判断即可。
【解析】
解：待化简的式子为$\sqrt{\dfrac{45}{2}}$
1. 分母有理化，给被开方数的分子、分母同时乘2：
$\sqrt{\dfrac{45}{2}}=\sqrt{\dfrac{45×2}{2×2}}=\sqrt{\dfrac{90}{4}}$
2. 根据二次根式性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$拆分计算：
$\sqrt{\dfrac{90}{4}}=\dfrac{\sqrt{90}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{90}}{2}$
3. 拆分分子的被开方数，开尽可开方的因数：
$\sqrt{90}=\sqrt{9×10}=\sqrt{9}×\sqrt{10}=3\sqrt{10}$
代入得化简结果为$\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式；二次根式化简；分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是牢记最简二次根式的判定标准，化简时既要去掉被开方数的分母，也要将被开方数中能开尽方的因数全部开方，避免出现化简不彻底的错误。
【难度系数】
0.7

5. 把化成最简二次根式为.

5. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

【分析】
要将$\sqrt{\frac{2}{3}}$化为最简二次根式，首先明确最简二次根式的两个要求：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时先利用二次根式商的运算性质，将被开方数的分子分母拆分，再对分母做有理化处理，去掉分母中的根号，最终得到最简结果。
【解析】
解：$\sqrt{\frac{2}{3}}$
根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得：
$=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
为去掉分母中的根号，给分子、分母同时乘$\sqrt{3}$进行分母有理化：
$=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$
分别计算分子和分母：分子$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，分母$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$
$=\frac{\sqrt{6}}{3}$
【答案】
$\frac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
最简二次根式、二次根式的性质、分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，核心是掌握最简二次根式的判定标准，化简时注意先消除被开方数的分母，再做有理化运算，计算过程中要注意二次根式乘法运算的正确性。
【难度系数】
0.8

6.若$\sqrt{x(x-6)}=\sqrt{x} · \sqrt{x-6}$，则$x$的取值范围为。

6. $x≥6$

【分析】
要确定x的取值范围，需依据二次根式乘法法则的成立条件来思考：二次根式的乘法公式$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是两个二次根式的被开方数均为非负数，即$a≥0$且$b≥0$。因此本题中需要让等式右侧两个二次根式的被开方数同时满足非负的要求，再解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式乘法运算的性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$的成立条件为$a≥0$，$b≥0$，
结合题意可得不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\x-6≥0\end{cases}$
解不等式$x-6≥0$，得$x≥6$，
与$x≥0$取公共解集，得$x≥6$。
【答案】
$x≥6$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题考查二次根式乘法法则的适用条件，易错点是仅考虑等式左侧被开方数非负，忽略右侧两个二次根式各自的被开方数也需非负，解题时需明确等式成立的前提是所有出现的二次根式都有意义。
【难度系数】
0.8

7.化简下列二次根式：
(1)$\sqrt{45}$；
(2)$\sqrt{108}$；
(3)$\sqrt{\frac{9}{11}}$；
(4)$\sqrt{\frac{3}{28}}$。

解:(1) $\sqrt{45}=\sqrt{3^2 ×5}=\sqrt{3^2}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}.$
(2) $\sqrt{108}=\sqrt{6^2 ×3}=\sqrt{6^2}×\sqrt{3}=6\sqrt{3}.$
(3) $\sqrt{\frac{9}{11}}=\sqrt{\frac{9×11}{11×11}}=\sqrt{\frac{3^2 ×11}{11^2}}=\sqrt{(\frac{3}{11})^2 ×11}=\frac{3\sqrt{11}}{11}.$
(4) $\sqrt{\frac{3}{28}}=\sqrt{\frac{3}{2^2 ×7}}=\sqrt{\frac{3×7}{2^2 ×7^2}}=\sqrt{(\frac{1}{2×7})^2 ×21}=\frac{\sqrt{21}}{14}.$

【分析】
化简二次根式的核心是让最终结果满足：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，解题思路分两类：
1. 被开方数为整数时：将被开方数拆成“完全平方数×剩余非完全平方因数”，再利用积的算术平方根性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，将完全平方数开方到根号外；
2. 被开方数为分数时：先利用分数的基本性质，给分子分母同乘适当的数，将分母化为完全平方数，再利用商的算术平方根性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$分别开方，完成分母有理化。
对应各小题：(1)把45拆为$3^2×5$；(2)把108拆为$6^2×3$；(3)给$\frac{9}{11}$的分子分母同乘11，将分母化为$11^2$；(4)先把28拆为$2^2×7$，再给分子分母同乘7，将分母化为$2^2×7^2$，再按规则化简即可。
【解析】
(1) $\sqrt{45}=\sqrt{3^2 ×5}=\sqrt{3^2}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$；
(2) $\sqrt{108}=\sqrt{6^2 ×3}=\sqrt{6^2}×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$；
(3) $\sqrt{\frac{9}{11}}=\sqrt{\frac{9×11}{11×11}}=\sqrt{\frac{3^2 ×11}{11^2}}=\sqrt{(\frac{3}{11})^2 ×11}=\frac{3\sqrt{11}}{11}$；
(4) $\sqrt{\frac{3}{28}}=\sqrt{\frac{3}{2^2 ×7}}=\sqrt{\frac{3×7}{2^2 ×7^2}}=\sqrt{(\frac{1}{2×7})^2 ×21}=\frac{\sqrt{21}}{14}$。
【答案】
(1)$3\sqrt{5}$；(2)$6\sqrt{3}$；(3)$\frac{3\sqrt{11}}{11}$；(4)$\frac{\sqrt{21}}{14}$
【知识点】
二次根式的性质；积与商的算术平方根；分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查二次根式的化简规则和基本运算能力，熟练掌握二次根式的相关性质、准确拆分被开方数、正确进行分母有理化是解题的关键，这类题是后续二次根式运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85

8. 据研究，撑竿跳高运动员起跳后身体重心提高的高度$h(\mathrm{m})$与其起跳速度$v(\mathrm{m/s})$之间满足$h=\frac{v^2}{2g}$(其中$g=10\ \mathrm{m/s}^2$).若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4 m,则其起跳时的速度为 m/s.

8. $4\sqrt{5}$

【分析】
解题时首先明确题目给出的h与v的等量关系，已知h=4m、g=10m/s²，我们只需将已知数值代入公式，得到关于v的方程，再结合速度为正数的实际意义，取算术平方根后将二次根式化为最简形式即可求解。
【解析】
将$h=4$，$g=10$代入$h=\frac{v^2}{2g}$中，得：
$4=\frac{v^2}{2×10}$
整理得：$4=\frac{v^2}{20}$
等式两边同乘20，得：$v^2=80$
因为起跳速度$v$为正数，所以$v=\sqrt{80}$
化简二次根式：$\sqrt{80}=\sqrt{16×5}=4\sqrt{5}$
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的化简；代数式求值；算术平方根的应用
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次根式的相关运算，解题关键是准确代入已知数值，同时注意结合实际意义取正的算术平方根，化简二次根式时要确保结果为最简形式。
【难度系数】
0.7

9. 先来看一个有趣的现象：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2 × 2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，这个根号里的“2”经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这现象的数还有许多，例如：等.
(1)$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=$；
(2)请你用一个正整数$n$($n$为“穿墙”数，$n≥2$)表示含有上述规律的等式，并说明其正确性；
(3)按此规律，若$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$($a,b$为正整数)，则$a+b$的值为.

9. 解:(1)$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
(2)$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$,理由:$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2 · n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}.$
(3)71

【分析】
解决本题首先观察已知的“穿墙”现象的式子，找出整数部分、分子、分母之间的规律：左边根号内的带分数，整数部分与分子相等，分母为整数部分的平方减1；右边是整数部分乘根号下分子除以分母。(1)直接套用规律即可得出结果；(2)将规律用含n的式子表示，再通过二次根式的化简，把左边的带分数化为假分数，整理后开根号验证和右边相等；(3)将给出的式子和规律式对应，求出a、b的值，再计算a+b。
【解析】
(1)观察已知等式：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$，可得规律：$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n≥2$，n为正整数）。
当n=5时，$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$。
(2)规律等式为：$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n≥2$，n为正整数），证明如下：
左边$=\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3 -n +n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2· n}{n^2-1}}$，
因为n是≥2的正整数，所以$\sqrt{n^2}=n$，因此左边$=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=$右边，等式成立。
(3)根据规律$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$，可知a=8，分母$b=a^2-1=8^2-1=63$，因此$a+b=8+63=71$。
【答案】
(1)$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$；(2)$\sqrt{n\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n≥2$，n为正整数），证明见解析；(3)71
【知识点】
二次根式的化简，数字规律探究，二次根式的性质
【点评】
本题属于规律探究类题目，重点考查对二次根式化简性质的掌握，需要学生通过观察已知式子归纳通用规律，再用代数运算验证规律，最后应用规律解决问题，能很好地锻炼观察归纳和代数运算能力。
【难度系数】
0.7