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【变式1】《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙两人从出发到相遇用了$x$个单位时间，则根据题意可列方程为（
A.$(3x)^2=(7x)^2 - 10^2$
B.$(3x)^2 + (7x)^2 = 10^2$
C.$(3x)^2=(7x - 10)^2$
D.$(3x)^2 + 10^2=(7x - 10)^2$
D
）A.$(3x)^2=(7x)^2 - 10^2$
B.$(3x)^2 + (7x)^2 = 10^2$
C.$(3x)^2=(7x - 10)^2$
D.$(3x)^2 + 10^2=(7x - 10)^2$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先结合行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，先分别用含x的代数式表示出乙走的总路程、甲走的总路程；再结合图形确定直角三角形的三条边长：乙向东走的路程是直角三角形的一条直角边，甲先向南走的10步是另一条直角边，甲斜向走的路程是直角三角形的斜边；最后根据勾股定理的等量关系列方程即可。
【解析】
设甲、乙两人从出发到相遇用了$x$个单位时间：
1. 乙的速度为每单位时间走3步，全程向东走，因此乙走的总路程即直角边$AC=3x$步；
2. 甲的速度为每单位时间走7步，因此甲走的总路程为$7x$步，甲先向南走了10步，因此斜向走的路程即斜边$BC=(7x-10)$步，另一条直角边$AB=10$步；
3. 由图可知$△ ABC$为直角三角形，$∠ A=90°$，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，代入边长可列方程：
$(3x)^2 + 10^2 = (7x - 10)^2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用；列一元二次方程；行程问题
【点评】
本题结合古代数学典籍中的实际问题，考查勾股定理在行程场景中的应用，解题核心是准确梳理各段路程对应的直角三角形边长，再结合勾股定理建立等量关系，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，先分别用含x的代数式表示出乙走的总路程、甲走的总路程；再结合图形确定直角三角形的三条边长：乙向东走的路程是直角三角形的一条直角边，甲先向南走的10步是另一条直角边，甲斜向走的路程是直角三角形的斜边；最后根据勾股定理的等量关系列方程即可。
【解析】
设甲、乙两人从出发到相遇用了$x$个单位时间：
1. 乙的速度为每单位时间走3步，全程向东走，因此乙走的总路程即直角边$AC=3x$步；
2. 甲的速度为每单位时间走7步，因此甲走的总路程为$7x$步，甲先向南走了10步，因此斜向走的路程即斜边$BC=(7x-10)$步，另一条直角边$AB=10$步；
3. 由图可知$△ ABC$为直角三角形，$∠ A=90°$，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，代入边长可列方程：
$(3x)^2 + 10^2 = (7x - 10)^2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用；列一元二次方程；行程问题
【点评】
本题结合古代数学典籍中的实际问题，考查勾股定理在行程场景中的应用，解题核心是准确梳理各段路程对应的直角三角形边长，再结合勾股定理建立等量关系，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
【变式2】(2025安庆期末)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1 cm/s的速度移动.点P,Q同时出发,当P,Q两点中有一个点运动到终点时,两点均停止运动.则几秒后,可使△PCQ的面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{12}$?
答案
解:
∵四边形 ABCD 是矩形,AB=6 cm,BC=8 cm,
∴CD=AB=6 cm,∠C=90°.
∵S△PCQ=1/12 S矩形ABCD,
∴1/2 PC×CQ=1/12 CD×BC.
设 P,Q 运动时间为 t s,
由题意知,BP=2t cm,CQ=t cm,其中 0≤t≤4,
∴CP=(8−2t)cm,
∴1/2 t(8−2t)=1/12×6×8,
解得 t₁=t₂=2.
答:2 s 后,可使△PCQ 的面积为矩形 ABCD 面积的1/12.
∵四边形 ABCD 是矩形,AB=6 cm,BC=8 cm,
∴CD=AB=6 cm,∠C=90°.
∵S△PCQ=1/12 S矩形ABCD,
∴1/2 PC×CQ=1/12 CD×BC.
设 P,Q 运动时间为 t s,
由题意知,BP=2t cm,CQ=t cm,其中 0≤t≤4,
∴CP=(8−2t)cm,
∴1/2 t(8−2t)=1/12×6×8,
解得 t₁=t₂=2.
答:2 s 后,可使△PCQ 的面积为矩形 ABCD 面积的1/12.
解析
【分析】
这是一道几何动点结合面积等量关系的应用题，解题思路如下：首先利用矩形性质得到矩形各边长及∠C为直角，明确△PCQ是直角三角形；其次设运动时间为t，根据两点的运动速度，用含t的代数式分别表示出PC、CQ的长度，同时根据动点的运动边界确定t的取值范围；再根据“△PCQ的面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{12}$”这一等量关系，结合三角形、矩形面积公式列一元二次方程；最后解方程并验证解是否符合t的取值范围，得到最终结果。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AB=6 cm，BC=8 cm，
∴CD=AB=6 cm，∠C=90°。
设P、Q运动时间为$t$ s，
由题意知，BP=2t cm，CQ=t cm，
∵P运动到C的时间为$8÷2=4$ s，Q运动到D的时间为$6÷1=6$ s，两点有一个到终点即停止，因此t的取值范围为$0≤ t≤4$，
∴CP=BC-BP=$(8-2t)$ cm。
∵$S_{△ PCQ}=\frac{1}{12}S_{矩形ABCD}$，
∴$\frac{1}{2} × PC × CQ=\frac{1}{12} × CD × BC$，
代入得：$\frac{1}{2}t(8-2t)=\frac{1}{12}×6×8$，
整理得$t^2-4t+4=0$，
解得$t_1=t_2=2$，符合$0≤ t≤4$的取值范围。
【答案】
2 s
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于典型的动点面积类问题，解题核心是将动态变化的线段长度用含运动时间的代数式表示，结合面积的等量关系建立方程求解，解题时要注意根据动点的运动边界确定未知数的取值范围，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
这是一道几何动点结合面积等量关系的应用题，解题思路如下：首先利用矩形性质得到矩形各边长及∠C为直角，明确△PCQ是直角三角形；其次设运动时间为t，根据两点的运动速度，用含t的代数式分别表示出PC、CQ的长度，同时根据动点的运动边界确定t的取值范围；再根据“△PCQ的面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{12}$”这一等量关系，结合三角形、矩形面积公式列一元二次方程；最后解方程并验证解是否符合t的取值范围，得到最终结果。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AB=6 cm，BC=8 cm，
∴CD=AB=6 cm，∠C=90°。
设P、Q运动时间为$t$ s，
由题意知，BP=2t cm，CQ=t cm，
∵P运动到C的时间为$8÷2=4$ s，Q运动到D的时间为$6÷1=6$ s，两点有一个到终点即停止，因此t的取值范围为$0≤ t≤4$，
∴CP=BC-BP=$(8-2t)$ cm。
∵$S_{△ PCQ}=\frac{1}{12}S_{矩形ABCD}$，
∴$\frac{1}{2} × PC × CQ=\frac{1}{12} × CD × BC$，
代入得：$\frac{1}{2}t(8-2t)=\frac{1}{12}×6×8$，
整理得$t^2-4t+4=0$，
解得$t_1=t_2=2$，符合$0≤ t≤4$的取值范围。
【答案】
2 s
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于典型的动点面积类问题，解题核心是将动态变化的线段长度用含运动时间的代数式表示，结合面积的等量关系建立方程求解，解题时要注意根据动点的运动边界确定未知数的取值范围，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
1.在一幅长 60 cm、宽 40 cm 的矩形风景画(图中阴影小矩形)的四周镶上等宽的白色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图(图中虚线边框矩形)的面积是 2 709 cm².设白色纸边的宽度为 x cm,那么 x 满足的方程是 (
A.$(60+2x)(40+x)=2709$
B.$(60+2x)(40+2x)=2709$
C.$(60+x)(40+2x)=2709$
D.$(60+x)(40+x)=2709$
B
)A.$(60+2x)(40+x)=2709$
B.$(60+2x)(40+2x)=2709$
C.$(60+x)(40+2x)=2709$
D.$(60+x)(40+x)=2709$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确题意：要在矩形风景画四周镶等宽x的纸边，需先求出镶边后整个挂图的长和宽，再结合矩形面积公式列方程即可。思考步骤：①纸边在风景画四周，所以长的方向左右各有x宽的纸边，因此挂图的长=原风景画长+2x；②宽的方向上下各有x宽的纸边，因此挂图的宽=原风景画宽+2x；③根据矩形面积=长×宽，代入已知的总面积即可得到对应方程，匹配选项即可。
【解析】
设白色纸边的宽度为x cm，
∵ 纸边在风景画的四周，
∴ 整个挂图的长为：原风景画长度 + 左右两边纸边宽度 = $60 + 2x$ cm，
整个挂图的宽为：原风景画宽度 + 上下两边纸边宽度 = $40 + 2x$ cm，
已知整个挂图的面积为2709 cm²，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$(60+2x)(40+2x)=2709$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是几何图形面积类的基础应用题，解题的核心是准确表示出镶边后大矩形的长和宽，需要注意四周都有纸边，所以长和宽都要加2倍的纸边宽度，避免漏算只加1倍x的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题意：要在矩形风景画四周镶等宽x的纸边，需先求出镶边后整个挂图的长和宽，再结合矩形面积公式列方程即可。思考步骤：①纸边在风景画四周，所以长的方向左右各有x宽的纸边，因此挂图的长=原风景画长+2x；②宽的方向上下各有x宽的纸边，因此挂图的宽=原风景画宽+2x；③根据矩形面积=长×宽，代入已知的总面积即可得到对应方程，匹配选项即可。
【解析】
设白色纸边的宽度为x cm，
∵ 纸边在风景画的四周，
∴ 整个挂图的长为：原风景画长度 + 左右两边纸边宽度 = $60 + 2x$ cm，
整个挂图的宽为：原风景画宽度 + 上下两边纸边宽度 = $40 + 2x$ cm，
已知整个挂图的面积为2709 cm²，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$(60+2x)(40+2x)=2709$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是几何图形面积类的基础应用题，解题的核心是准确表示出镶边后大矩形的长和宽，需要注意四周都有纸边，所以长和宽都要加2倍的纸边宽度，避免漏算只加1倍x的错误。
【难度系数】
0.8
2.用6 m长的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框(窗框自身宽忽略不计).若窗框的面积为1.5 m²,则窗框的长AB为 
(
A.1 m
B.1.5 m
C.1.6 m
D.1.8 m
(B
)A.1 m
B.1.5 m
C.1.6 m
D.1.8 m
答案
2. B
解析
【分析】
首先分析窗框的铝材组成：该窗框包含2条长度等于AB的竖直边，3条等长的水平边，铝材总长度为6m。解题时先设AB的长度为未知数，结合总长度表示出水平边的长度，再根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义取舍即可得到AB的长度。
【解析】
设AB的长度为$x$ m，由窗框结构可知，竖直方向2条边总长度为$2x$ m，因此每条水平边的长度为$\frac{6-2x}{3}$ m。
根据窗框面积为$1.5\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x·\frac{6-2x}{3}=1.5$
整理方程：
两边同乘3得 $x(6-2x)=4.5$，
展开移项得 $2x^2-6x+4.5=0$，
化简得 $(x-1.5)^2=0$，
解得 $x=1.5$。
经检验，$x=1.5$符合实际几何意义。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于几何面积类的方程应用题，解题核心是准确分析图形的边长构成，找到周长、面积对应的等量关系列方程，求解后注意验证结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
首先分析窗框的铝材组成：该窗框包含2条长度等于AB的竖直边，3条等长的水平边，铝材总长度为6m。解题时先设AB的长度为未知数，结合总长度表示出水平边的长度，再根据“矩形面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义取舍即可得到AB的长度。
【解析】
设AB的长度为$x$ m，由窗框结构可知，竖直方向2条边总长度为$2x$ m，因此每条水平边的长度为$\frac{6-2x}{3}$ m。
根据窗框面积为$1.5\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x·\frac{6-2x}{3}=1.5$
整理方程：
两边同乘3得 $x(6-2x)=4.5$，
展开移项得 $2x^2-6x+4.5=0$，
化简得 $(x-1.5)^2=0$，
解得 $x=1.5$。
经检验，$x=1.5$符合实际几何意义。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于几何面积类的方程应用题，解题核心是准确分析图形的边长构成，找到周长、面积对应的等量关系列方程，求解后注意验证结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
3. 如图，一块矩形绿地长 90 m、宽 60 m. 在绿地中开辟两条道路，两条道路的宽分别为 a m，b m，使得$a:b=2:3$，开辟道路后剩余的绿地面积为$5046\ \mathrm{m}^2$，则 b 的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3. C
解析
【分析】
解决这类道路占地的面积问题，可采用平移法简化计算：将四块阴影绿地向中间平移拼接，剩余绿地会形成一个规则的新矩形，新矩形的长为原矩形长减去斜向道路的宽b，宽为原矩形宽减去水平道路的宽a。结合已知的a与b的比例关系，将a用含b的式子表示，再根据剩余绿地面积列一元二次方程求解即可，最后要检验根是否符合实际意义。
【解析】
将绿地中的四块阴影部分平移拼接，可得剩余绿地是长为$(90 - b)\ \mathrm{m}$、宽为$(60 - a)\ \mathrm{m}$的矩形。
已知$a:b=2:3$，因此$a=\frac{2}{3}b$。
根据剩余绿地面积为$5046\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(90 - b)(60 - \frac{2}{3}b) = 5046$
展开并整理方程：
$5400 - 60b - 60b + \frac{2}{3}b^2 = 5046$
$\frac{2}{3}b^2 - 120b + 354 = 0$
两边同乘3并化简得：
$b^2 - 180b + 531 = 0$
因式分解得：
$(b - 3)(b - 177) = 0$
解得$b_1=3$，$b_2=177$。
因为道路宽不可能超过原矩形的长90m，因此$b=177$不符合实际，舍去，故$b=3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；平移法求面积；矩形面积计算
【点评】
本题考查几何图形面积与一元二次方程的结合应用，核心技巧是通过平移将不规则的剩余绿地转化为规则矩形，降低计算难度，求解后需注意根据实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解决这类道路占地的面积问题，可采用平移法简化计算：将四块阴影绿地向中间平移拼接，剩余绿地会形成一个规则的新矩形，新矩形的长为原矩形长减去斜向道路的宽b，宽为原矩形宽减去水平道路的宽a。结合已知的a与b的比例关系，将a用含b的式子表示，再根据剩余绿地面积列一元二次方程求解即可，最后要检验根是否符合实际意义。
【解析】
将绿地中的四块阴影部分平移拼接，可得剩余绿地是长为$(90 - b)\ \mathrm{m}$、宽为$(60 - a)\ \mathrm{m}$的矩形。
已知$a:b=2:3$，因此$a=\frac{2}{3}b$。
根据剩余绿地面积为$5046\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(90 - b)(60 - \frac{2}{3}b) = 5046$
展开并整理方程：
$5400 - 60b - 60b + \frac{2}{3}b^2 = 5046$
$\frac{2}{3}b^2 - 120b + 354 = 0$
两边同乘3并化简得：
$b^2 - 180b + 531 = 0$
因式分解得：
$(b - 3)(b - 177) = 0$
解得$b_1=3$，$b_2=177$。
因为道路宽不可能超过原矩形的长90m，因此$b=177$不符合实际，舍去，故$b=3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；平移法求面积；矩形面积计算
【点评】
本题考查几何图形面积与一元二次方程的结合应用，核心技巧是通过平移将不规则的剩余绿地转化为规则矩形，降低计算难度，求解后需注意根据实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
4.在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张矩形纸片，如图所示. 
在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为80 mm和60 mm，圆的半径为x mm，根据题意列方程为
在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为80 mm和60 mm，圆的半径为x mm，根据题意列方程为$2π x^2=\frac{1}{2}(80× 60-2π x^2)$
.答案
4. $2π x^2=\frac{1}{2}(80× 60-2π x^2)$
解析
【分析】
解这道题的核心是先找准题目中的等量关系，再分别表示出对应量代入即可。首先找到关键描述：两圆的面积和是剩余面积的一半。接下来先计算矩形的总面积，再表示出两个圆的面积和，剩余面积等于矩形总面积减去两个圆的面积和，最后把对应的量代入等量关系就能列出方程。
【解析】
第一步：计算矩形的面积，矩形面积=长×宽，即$S_{矩形}=80×60\ \mathrm{mm}^2$。
第二步：计算两个圆的面积和，已知圆的半径为$x\ \mathrm{mm}$，单个圆的面积为$π x^2\ \mathrm{mm}^2$，则两个圆的面积和为$2π x^2\ \mathrm{mm}^2$。
第三步：表示剩余面积，剩余面积=矩形面积-两个圆的面积和，即$80×60 - 2π x^2\ \mathrm{mm}^2$。
第四步：根据等量关系“两圆的面积和是剩余面积的一半”列方程，可得$2π x^2=\frac{1}{2}(80× 60-2π x^2)$。
【答案】
$2π x^2=\frac{1}{2}(80× 60-2π x^2)$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 面积和差计算
【点评】
本题属于基础的方程实际应用类题目，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，正确计算各部分图形的面积，理清各数量之间的关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
解这道题的核心是先找准题目中的等量关系，再分别表示出对应量代入即可。首先找到关键描述：两圆的面积和是剩余面积的一半。接下来先计算矩形的总面积，再表示出两个圆的面积和，剩余面积等于矩形总面积减去两个圆的面积和，最后把对应的量代入等量关系就能列出方程。
【解析】
第一步：计算矩形的面积，矩形面积=长×宽，即$S_{矩形}=80×60\ \mathrm{mm}^2$。
第二步：计算两个圆的面积和，已知圆的半径为$x\ \mathrm{mm}$，单个圆的面积为$π x^2\ \mathrm{mm}^2$，则两个圆的面积和为$2π x^2\ \mathrm{mm}^2$。
第三步：表示剩余面积，剩余面积=矩形面积-两个圆的面积和，即$80×60 - 2π x^2\ \mathrm{mm}^2$。
第四步：根据等量关系“两圆的面积和是剩余面积的一半”列方程，可得$2π x^2=\frac{1}{2}(80× 60-2π x^2)$。
【答案】
$2π x^2=\frac{1}{2}(80× 60-2π x^2)$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 面积和差计算
【点评】
本题属于基础的方程实际应用类题目，解题的关键是准确提取题干中的等量关系，正确计算各部分图形的面积，理清各数量之间的关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
