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【例1】如图，有一张长6 cm、宽5 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余部分可制成底面积为6 cm²的有盖长方体铁盒. 求剪去的正方形的边长.
答案
解:设剪去的正方形的边长为 x cm,则底面的长为(5−2x)cm,宽为(3−x)cm.
根据题意,得(5−2x)(3−x)=6,
整理,得 2x²−11x+9=0,
解得 x₁=1,x₂=9/2.
当 x=1 时,5−2x=3,3−x=2,符合题意;
当 x=9/2 时,5−2x=−4＜0,不合题意,舍去.
答:剪去的正方形的边长为 1 cm.
根据题意,得(5−2x)(3−x)=6,
整理,得 2x²−11x+9=0,
解得 x₁=1,x₂=9/2.
当 x=1 时,5−2x=3,3−x=2,符合题意;
当 x=9/2 时,5−2x=−4＜0,不合题意,舍去.
答:剪去的正方形的边长为 1 cm.
解析
【分析】
解题时先设剪去的正方形边长为x cm，结合原矩形的尺寸和裁剪方式推导长方体底面的长和宽：原矩形宽为5cm，上下各剪去边长为x的正方形，因此底面的长为(5-2x)cm；原矩形长为6cm，左右剪去两个边长为x的正方形后，剩余部分平均分为2个底面的宽，因此底面的宽为(3-x)cm。再根据底面积为6cm²的等量关系列一元二次方程，求解后需检验根是否符合实际几何意义（边长为正数），舍去不符合题意的根即可得到结果。
【解析】
解：设剪去的正方形的边长为x cm，则制成的长方体铁盒底面的长为$(5-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$\frac{6-2x}{2}=(3-x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$(5-2x)(3-x)=6$
展开整理得：
$2x^2-11x+9=0$
解得：
$x_1=1,\ x_2=\frac{9}{2}$
检验：当$x=1$时，$5-2x=3＞0$，$3-x=2＞0$，符合题意；
当$x=\frac{9}{2}$时，$5-2x=-4＜0$，边长不能为负，不符合实际，舍去。
【答案】
剪去的正方形的边长为1 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题是几何面积与方程结合的典型题型，解题核心是准确根据裁剪方式表示出底面的长和宽，同时要注意解一元二次方程后必须结合实际情况验根，避免出现不符合几何意义的解。
【难度系数】
0.7
解题时先设剪去的正方形边长为x cm，结合原矩形的尺寸和裁剪方式推导长方体底面的长和宽：原矩形宽为5cm，上下各剪去边长为x的正方形，因此底面的长为(5-2x)cm；原矩形长为6cm，左右剪去两个边长为x的正方形后，剩余部分平均分为2个底面的宽，因此底面的宽为(3-x)cm。再根据底面积为6cm²的等量关系列一元二次方程，求解后需检验根是否符合实际几何意义（边长为正数），舍去不符合题意的根即可得到结果。
【解析】
解：设剪去的正方形的边长为x cm，则制成的长方体铁盒底面的长为$(5-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$\frac{6-2x}{2}=(3-x)\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$(5-2x)(3-x)=6$
展开整理得：
$2x^2-11x+9=0$
解得：
$x_1=1,\ x_2=\frac{9}{2}$
检验：当$x=1$时，$5-2x=3＞0$，$3-x=2＞0$，符合题意；
当$x=\frac{9}{2}$时，$5-2x=-4＜0$，边长不能为负，不符合实际，舍去。
【答案】
剪去的正方形的边长为1 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题是几何面积与方程结合的典型题型，解题核心是准确根据裁剪方式表示出底面的长和宽，同时要注意解一元二次方程后必须结合实际情况验根，避免出现不符合几何意义的解。
【难度系数】
0.7
【变式1】(2026南阳月考)一块矩形菜地的面积是150 m²，如果它的长减少5 m，那么它就成为正方形菜地.求这个矩形菜地的长和宽.
设原菜地的宽为x m，则可列方程为（
A.$x(x+5)=150$
B.$x(x-5)=150$
C.$x+5=150$
D.$x-5=150$
设原菜地的宽为x m，则可列方程为（
A
）A.$x(x+5)=150$
B.$x(x-5)=150$
C.$x+5=150$
D.$x-5=150$
答案
A
解析
【分析】
首先从题目给出的条件提取等量关系：第一步，“长减少5m就成为正方形”，说明原矩形的长比宽大5m，且正方形的边长等于原矩形的宽；第二步，已知设宽为x m，即可用含x的代数式表示出原矩形的长；第三步，结合矩形面积=长×宽、已知面积为150m²的条件，代入即可列出对应方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵长减少5m后菜地变为正方形，说明原矩形的长比宽多5m，
已知设原菜地的宽为x m，
∴原菜地的长为(x+5)m，
又
∵矩形面积=长×宽，且菜地面积为150m²，
∴列方程得：$x(x+5)=150$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何图形面积类应用题，解题的核心是先根据正方形的特征推出原矩形长和宽的数量关系，再结合面积公式列方程即可，解题时注意不要混淆长和宽的大小关系。
【难度系数】
0.8
首先从题目给出的条件提取等量关系：第一步，“长减少5m就成为正方形”，说明原矩形的长比宽大5m，且正方形的边长等于原矩形的宽；第二步，已知设宽为x m，即可用含x的代数式表示出原矩形的长；第三步，结合矩形面积=长×宽、已知面积为150m²的条件，代入即可列出对应方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵长减少5m后菜地变为正方形，说明原矩形的长比宽多5m，
已知设原菜地的宽为x m，
∴原菜地的长为(x+5)m，
又
∵矩形面积=长×宽，且菜地面积为150m²，
∴列方程得：$x(x+5)=150$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何图形面积类应用题，解题的核心是先根据正方形的特征推出原矩形长和宽的数量关系，再结合面积公式列方程即可，解题时注意不要混淆长和宽的大小关系。
【难度系数】
0.8
【变式2】如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2 m宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x m，矩形的长为AB（且AB＞AD）。
(1)若所用铁栅栏的长为40 m，用含x的代数式表示矩形的长AB；
(2)在(1)的条件下，若使矩形场地面积为192 m²，则AD，AB的长应分别为多少米？
(1)若所用铁栅栏的长为40 m，用含x的代数式表示矩形的长AB；
(2)在(1)的条件下，若使矩形场地面积为192 m²，则AD，AB的长应分别为多少米？
答案
解:(1)
∵AD+BC−2+AB−2=40,AD=BC=x,
∴AB=−2x+44.
(2)根据题意,得(−2x+44)·x=192,
解得 x₁=6,x₂=16,又 AB＞AD,得 −2x+44＞x,即 x＜44/3.
∵x₂=16＞44/3(舍去),
∴AD=6,
∴AB=−2×6+44=32.
答:AD 的长为 6 m,AB 的长为 32 m.
∵AD+BC−2+AB−2=40,AD=BC=x,
∴AB=−2x+44.
(2)根据题意,得(−2x+44)·x=192,
解得 x₁=6,x₂=16,又 AB＞AD,得 −2x+44＞x,即 x＜44/3.
∵x₂=16＞44/3(舍去),
∴AD=6,
∴AB=−2×6+44=32.
答:AD 的长为 6 m,AB 的长为 32 m.
解析
【分析】
(1) 首先明确铁栅栏的组成：靠墙的CD边无需铁栅栏，铁栅栏总长为AD的全长、BC减去小门的长度、AB减去小门的长度之和。已知AD=BC=x m，结合铁栅栏总长度为40m列等量关系，整理即可得到AB关于x的代数式。
(2) 依据矩形面积=长×宽的公式，将(1)中得到的AB表达式和AD=x代入面积为192 m²的条件，列一元二次方程求解，再结合题目给出的AB＞AD的约束，舍去不符合题意的解，即可得到最终边长。
【解析】
(1) 由题意得，铁栅栏总长度满足等量关系：$AD + (BC-2) + (AB-2) = 40$，
∵$AD=BC=x\ \mathrm{m}$，代入得：$x + (x-2) + AB -2 = 40$，
整理得：$AB = -2x + 44$。
(2) 根据矩形面积公式列方程：$(-2x + 44)· x = 192$，
整理得：$x^2 -22x +96 = 0$，
因式分解得：$(x-6)(x-16)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=16$。
由$AB＞AD$得：$-2x +44 ＞x$，解得$x＜\frac{44}{3}\approx14.67$，
∵$x_2=16＞\frac{44}{3}$，不符合题意，舍去，
∴$AD=6\ \mathrm{m}$，$AB=-2×6 +44=32\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $AB=-2x+44$；
(2) AD的长为6 m，AB的长为32 m。
【知识点】
列代数式，一元二次方程应用，矩形面积计算
【点评】
本题是和实际生活结合的几何面积类应用题，解题关键是准确梳理栅栏长度的构成关系，求解方程后要注意结合题目给出的边长约束或实际意义舍去不合理的解，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确铁栅栏的组成：靠墙的CD边无需铁栅栏，铁栅栏总长为AD的全长、BC减去小门的长度、AB减去小门的长度之和。已知AD=BC=x m，结合铁栅栏总长度为40m列等量关系，整理即可得到AB关于x的代数式。
(2) 依据矩形面积=长×宽的公式，将(1)中得到的AB表达式和AD=x代入面积为192 m²的条件，列一元二次方程求解，再结合题目给出的AB＞AD的约束，舍去不符合题意的解，即可得到最终边长。
【解析】
(1) 由题意得，铁栅栏总长度满足等量关系：$AD + (BC-2) + (AB-2) = 40$，
∵$AD=BC=x\ \mathrm{m}$，代入得：$x + (x-2) + AB -2 = 40$，
整理得：$AB = -2x + 44$。
(2) 根据矩形面积公式列方程：$(-2x + 44)· x = 192$，
整理得：$x^2 -22x +96 = 0$，
因式分解得：$(x-6)(x-16)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=16$。
由$AB＞AD$得：$-2x +44 ＞x$，解得$x＜\frac{44}{3}\approx14.67$，
∵$x_2=16＞\frac{44}{3}$，不符合题意，舍去，
∴$AD=6\ \mathrm{m}$，$AB=-2×6 +44=32\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $AB=-2x+44$；
(2) AD的长为6 m，AB的长为32 m。
【知识点】
列代数式，一元二次方程应用，矩形面积计算
【点评】
本题是和实际生活结合的几何面积类应用题，解题关键是准确梳理栅栏长度的构成关系，求解方程后要注意结合题目给出的边长约束或实际意义舍去不合理的解，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
【例2】如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°,AB=6\ \mathrm{cm},BC=10\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$开始沿$AB$边向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度移动.点$Q$到达点$C$后,点$P,Q$停止运动.设$P,Q$两点分别从点$A,B$同时出发,经过多少秒后,$△ PBQ$的面积是$10\ \mathrm{cm}^2$?
易错提醒 在实际问题中,由一元二次方程求得的两个根可能只有一个是符合题意的,因此要注意检验所得到的根是否符合实际意义.
易错提醒 在实际问题中,由一元二次方程求得的两个根可能只有一个是符合题意的,因此要注意检验所得到的根是否符合实际意义.
答案
解:设 x s 后,△PBQ 的面积是 10 cm²,
根据题意,得 4x(6−x)×1/2=10,其中 0≤x≤2.5,
解得 x₁=1,x₂=5(不合题意,舍去).
答:经过 1 s 后,△PBQ 的面积是 10 cm².
根据题意,得 4x(6−x)×1/2=10,其中 0≤x≤2.5,
解得 x₁=1,x₂=5(不合题意,舍去).
答:经过 1 s 后,△PBQ 的面积是 10 cm².
解析
【分析】
这是动点结合面积的一元二次方程应用问题，解题思路如下：第一步先确定运动时间的取值范围：点Q速度为4cm/s，BC长10cm，因此Q最多运动$10÷4=2.5\mathrm{s}$就停止，即时间x的范围是$0≤ x≤2.5$；第二步用含时间x的代数式表示$△ PBQ$的两条直角边长度：点P速度1cm/s，x秒走了x cm，因此$PB=AB-AP=6-x$（cm），点Qx秒走了4x cm，因此$BQ=4x$（cm）；第三步结合直角三角形面积公式，根据“$△ PBQ$面积是$10\mathrm{cm}^2$”的等量关系列方程；第四步求解方程后，结合x的取值范围检验根是否符合实际意义，舍去不合题意的根即可得到结果。
【解析】
解：设经过x s后，$△ PBQ$的面积是$10\ \mathrm{cm}^2$，由点Q的运动上限可知x的取值范围为$0≤ x≤2.5$。
根据直角三角形面积公式，列方程得：
$\frac{1}{2} × 4x × (6-x) = 10$
整理得$x^2-6x+5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=5$
∵$x_2=5＞2.5$，不符合运动实际，故舍去
∴$x=1$
答：经过1 s后，$△ PBQ$的面积是$10\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
经过$\boldsymbol{1\ \mathrm{s}}$后，$△ PBQ$的面积是$10\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程的应用，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何动点类方程应用题，解题核心是将动点运动的路程转化为对应线段的长度，结合面积公式建立方程求解，易错点是容易忽略动点的运动边界，未对求得的根进行实际意义的检验，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是动点结合面积的一元二次方程应用问题，解题思路如下：第一步先确定运动时间的取值范围：点Q速度为4cm/s，BC长10cm，因此Q最多运动$10÷4=2.5\mathrm{s}$就停止，即时间x的范围是$0≤ x≤2.5$；第二步用含时间x的代数式表示$△ PBQ$的两条直角边长度：点P速度1cm/s，x秒走了x cm，因此$PB=AB-AP=6-x$（cm），点Qx秒走了4x cm，因此$BQ=4x$（cm）；第三步结合直角三角形面积公式，根据“$△ PBQ$面积是$10\mathrm{cm}^2$”的等量关系列方程；第四步求解方程后，结合x的取值范围检验根是否符合实际意义，舍去不合题意的根即可得到结果。
【解析】
解：设经过x s后，$△ PBQ$的面积是$10\ \mathrm{cm}^2$，由点Q的运动上限可知x的取值范围为$0≤ x≤2.5$。
根据直角三角形面积公式，列方程得：
$\frac{1}{2} × 4x × (6-x) = 10$
整理得$x^2-6x+5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=5$
∵$x_2=5＞2.5$，不符合运动实际，故舍去
∴$x=1$
答：经过1 s后，$△ PBQ$的面积是$10\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
经过$\boldsymbol{1\ \mathrm{s}}$后，$△ PBQ$的面积是$10\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程的应用，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何动点类方程应用题，解题核心是将动点运动的路程转化为对应线段的长度，结合面积公式建立方程求解，易错点是容易忽略动点的运动边界，未对求得的根进行实际意义的检验，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.7
