登录
5. (2025 厦门月考)某单位组织员工前往大剧院欣赏表演. 表演前,主办方工作人员准备利用 26 m 长的墙为一边,用 48 m 隔栏绳围另外三边,设立一个面积为 300 m² 的矩形等候区. 如图,为了方便群众进出,在两边空出两个各为 1 m 的出入口(出入口不用隔栏绳). 那么围成的这个矩形的边 AB, BC 的长是多少米?
答案
解:设矩形等候区的边 AB 为 x m,则 BC=(48−2x+2)m,
根据题意,得 x(48−2x+2)=300,
解得 x₁=10,x₂=15,
当 x=10 时,BC=30＞26,不合题意,舍去;
当 x=15 时,BC=20＜26,符合题意.
答:矩形等候区的边 AB 为 15 m,BC 为 20 m.
根据题意,得 x(48−2x+2)=300,
解得 x₁=10,x₂=15,
当 x=10 时,BC=30＞26,不合题意,舍去;
当 x=15 时,BC=20＜26,符合题意.
答:矩形等候区的边 AB 为 15 m,BC 为 20 m.
解析
【分析】
这是一道结合几何面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，我们设垂直于墙的边AB长为x m；第二步，结合隔栏绳总长和出入口的设置，推导出平行于墙的边BC的长度表达式；第三步，根据矩形面积=长×宽的公式列方程；第四步，求解一元二次方程，最后结合墙长26m的限制条件，判断解是否符合实际，舍去不合题意的解即可得到最终结果。
【解析】
解：设矩形等候区的边AB长为x m，
由于左右两侧各有1m宽的出入口（不需隔栏绳），因此两侧竖直方向共使用隔栏绳长度为2(x-1)m，已知隔栏绳总长48m，因此平行于墙的边BC的长度为：$48 - 2(x-1) = (50 - 2x)$ m。
根据矩形面积为300 m²，可列方程：
$x(50-2x)=300$
整理得：$x^2 -25x +150=0$
因式分解得：$(x-10)(x-15)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=15$。
接下来检验解的合理性：
当$x=10$时，$BC=50-2×10=30\ \mathrm{m}$，$30＞26$，超过墙的最大长度，不符合实际，舍去；
当$x=15$时，$BC=50-2×15=20\ \mathrm{m}$，$20＜26$，符合题意。
【答案】
围成的矩形等候区的边AB长为15 m，BC长为20 m。
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算，方程解的实际检验
【点评】
本题属于常见的围栏建矩形的应用题，解题的关键点有两个：一是准确结合出入口的设置，正确表示出矩形各边的长度；二是不能忽略墙长的限制条件，要对求出的解进行合理性检验，避免出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
这是一道结合几何面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，我们设垂直于墙的边AB长为x m；第二步，结合隔栏绳总长和出入口的设置，推导出平行于墙的边BC的长度表达式；第三步，根据矩形面积=长×宽的公式列方程；第四步，求解一元二次方程，最后结合墙长26m的限制条件，判断解是否符合实际，舍去不合题意的解即可得到最终结果。
【解析】
解：设矩形等候区的边AB长为x m，
由于左右两侧各有1m宽的出入口（不需隔栏绳），因此两侧竖直方向共使用隔栏绳长度为2(x-1)m，已知隔栏绳总长48m，因此平行于墙的边BC的长度为：$48 - 2(x-1) = (50 - 2x)$ m。
根据矩形面积为300 m²，可列方程：
$x(50-2x)=300$
整理得：$x^2 -25x +150=0$
因式分解得：$(x-10)(x-15)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=15$。
接下来检验解的合理性：
当$x=10$时，$BC=50-2×10=30\ \mathrm{m}$，$30＞26$，超过墙的最大长度，不符合实际，舍去；
当$x=15$时，$BC=50-2×15=20\ \mathrm{m}$，$20＜26$，符合题意。
【答案】
围成的矩形等候区的边AB长为15 m，BC长为20 m。
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算，方程解的实际检验
【点评】
本题属于常见的围栏建矩形的应用题，解题的关键点有两个：一是准确结合出入口的设置，正确表示出矩形各边的长度；二是不能忽略墙长的限制条件，要对求出的解进行合理性检验，避免出现不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7
6. (2025 南京期中)如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ B=90°,AB=4\ \mathrm{cm},BC=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $B$ 移动,到达点 $B$ 时停止移动,点 $P$ 出发几秒后,$PA=\sqrt{3}PC$?
答案
解:设点 P 移动时间为 t s,根据题意,得 PA=t cm,PB=(4−t)cm,
在 Rt△PBC 中,∠B=90°,BC=√2 cm,
根据勾股定理,得 PC²=BC²+PB²=2+(4−t)²=t²−8t+18.
∵PA=√3 PC,即 PA²=3PC²,
∴t²=3(t²−8t+18),
解得 t₁=3,t₂=9.
∵0≤t≤4,
∴t=3.
即点 P 出发 3 s 后,PA=√3 PC.
在 Rt△PBC 中,∠B=90°,BC=√2 cm,
根据勾股定理,得 PC²=BC²+PB²=2+(4−t)²=t²−8t+18.
∵PA=√3 PC,即 PA²=3PC²,
∴t²=3(t²−8t+18),
解得 t₁=3,t₂=9.
∵0≤t≤4,
∴t=3.
即点 P 出发 3 s 后,PA=√3 PC.
解析
【分析】
本题是动点结合勾股定理的应用类问题，解题思路可按以下步骤展开：首先设点P的运动时间为t秒，根据P的运动速度，用含t的代数式分别表示PA、PB的长度；其次观察到△PBC为直角三角形，利用勾股定理用含t的式子表示出PC的平方；再根据题目给出的$ PA=\sqrt{3}PC $的等量关系，两边平方去掉根号后列出一元二次方程；最后解方程得到根后，结合点P的运动范围（从A到B总时长为4秒，t的取值范围是$ 0≤ t≤4 $）舍去不符合实际的根，得到最终结果。
【解析】
设点P移动时间为$ t\ \mathrm{s} $，根据题意，得$ PA=t\ \mathrm{cm} $，$ PB=(4-t)\ \mathrm{cm} $，
在$ \mathrm{Rt}△ PBC $中，$ ∠ B=90° $，$ BC=\sqrt{2}\ \mathrm{cm} $，
根据勾股定理，得$ PC^2=BC^2+PB^2=2+(4-t)^2=t^2-8t+18 $。
$\because PA=\sqrt{3} PC$，即$ PA^2=3PC^2 $，
$\therefore t^2=3(t^2-8t+18)$，
解得$ t_1=3 $，$ t_2=9 $。
$\because 0≤ t≤4$，
$\therefore t=9$不符合题意，舍去，故$ t=3 $。
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
勾股定理；动点问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于典型的动点几何计算题，核心解题思路是将动态线段转化为含参数的代数式，结合几何性质建立方程求解，需要注意的是求解后要结合动点的实际运动范围对解进行验证，排除增根。
【难度系数】
0.7
本题是动点结合勾股定理的应用类问题，解题思路可按以下步骤展开：首先设点P的运动时间为t秒，根据P的运动速度，用含t的代数式分别表示PA、PB的长度；其次观察到△PBC为直角三角形，利用勾股定理用含t的式子表示出PC的平方；再根据题目给出的$ PA=\sqrt{3}PC $的等量关系，两边平方去掉根号后列出一元二次方程；最后解方程得到根后，结合点P的运动范围（从A到B总时长为4秒，t的取值范围是$ 0≤ t≤4 $）舍去不符合实际的根，得到最终结果。
【解析】
设点P移动时间为$ t\ \mathrm{s} $，根据题意，得$ PA=t\ \mathrm{cm} $，$ PB=(4-t)\ \mathrm{cm} $，
在$ \mathrm{Rt}△ PBC $中，$ ∠ B=90° $，$ BC=\sqrt{2}\ \mathrm{cm} $，
根据勾股定理，得$ PC^2=BC^2+PB^2=2+(4-t)^2=t^2-8t+18 $。
$\because PA=\sqrt{3} PC$，即$ PA^2=3PC^2 $，
$\therefore t^2=3(t^2-8t+18)$，
解得$ t_1=3 $，$ t_2=9 $。
$\because 0≤ t≤4$，
$\therefore t=9$不符合题意，舍去，故$ t=3 $。
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
勾股定理；动点问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于典型的动点几何计算题，核心解题思路是将动态线段转化为含参数的代数式，结合几何性质建立方程求解，需要注意的是求解后要结合动点的实际运动范围对解进行验证，排除增根。
【难度系数】
0.7
7. (2025 金华期末)用一张长为 40 cm，宽为25 cm 的矩形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒.
(1)如图①，裁去角上四个小正方形之后，折成如图②的无盖纸盒. 若纸盒底面积为450 cm²，则纸盒的高是多少？
(2)如图③，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个矩形后，将剩下的纸片(空白部分)折成一个有盖的纸盒. 若折成纸盒的表面积为912 cm²，则裁去的正方形的边长是多少？
(1)如图①，裁去角上四个小正方形之后，折成如图②的无盖纸盒. 若纸盒底面积为450 cm²，则纸盒的高是多少？
(2)如图③，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个矩形后，将剩下的纸片(空白部分)折成一个有盖的纸盒. 若折成纸盒的表面积为912 cm²，则裁去的正方形的边长是多少？
答案
7.解:(1)设纸盒的高为 x cm,则纸盒的底面是长为(40−2x)cm,宽为(25−2x)cm 的矩形,
根据题意,得(40−2x)(25−2x)=450,
解得 x₁=5,x₂=27.5(不合题意,舍去).
答:纸盒的高为 5 cm.
(2)设裁去的正方形的边长为 y cm,
根据题意,得 40×25−2y²−2×20y=912,
解得 y₁=2,y₂=−22(不合题意,舍去).
答:裁去的正方形的边长为 2 cm.
根据题意,得(40−2x)(25−2x)=450,
解得 x₁=5,x₂=27.5(不合题意,舍去).
答:纸盒的高为 5 cm.
(2)设裁去的正方形的边长为 y cm,
根据题意,得 40×25−2y²−2×20y=912,
解得 y₁=2,y₂=−22(不合题意,舍去).
答:裁去的正方形的边长为 2 cm.
解析
【分析】
(1) 裁去的四个小正方形的边长就是无盖纸盒的高，设为x cm，折成纸盒后，底面的长等于原矩形长减去2个x，底面的宽等于原矩形宽减去2个x，根据“底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义（边长不能为负，且2x要小于原矩形的宽25cm）舍去不符合题意的根即可。
(2) 设裁去的正方形边长为y cm，折成有盖纸盒的表面积等于原矩形硬纸片的总面积减去裁去的2个正方形和2个矩形的面积，观察图形可知裁去的矩形一边长为y，另一边长为40÷2=20cm，据此列方程求解，再舍去负根即可。
【解析】
(1) 设纸盒的高为$ x \, \mathrm{cm} $，则折成的无盖纸盒底面长为$ (40-2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (25-2x) \, \mathrm{cm} $。
根据底面积为$ 450 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$(40-2x)(25-2x)=450$
解得：$ x_1=5 $，$ x_2=27.5 $
当$ x=27.5 $时，$ 2x=55＞25 $，不符合实际，舍去。
(2) 设裁去的正方形的边长为$ y \, \mathrm{cm} $，折成纸盒的表面积等于原矩形面积减去裁去部分的面积，根据题意列方程：
$40 × 25 - 2y^2 - 2 × 20y = 912$
解得：$ y_1=2 $，$ y_2=-22 $（边长不能为负，舍去）。
【答案】
(1) 纸盒的高是$\boxed{5\,\mathrm{cm}}$；
(2) 裁去的正方形的边长是$\boxed{2\,\mathrm{cm}}$。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，图形折叠问题
【点评】
本题结合图形折叠考查面积类实际问题的求解，解题关键是结合图形找准各边的数量关系，根据面积等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，能够锻炼学生的图形分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 裁去的四个小正方形的边长就是无盖纸盒的高，设为x cm，折成纸盒后，底面的长等于原矩形长减去2个x，底面的宽等于原矩形宽减去2个x，根据“底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义（边长不能为负，且2x要小于原矩形的宽25cm）舍去不符合题意的根即可。
(2) 设裁去的正方形边长为y cm，折成有盖纸盒的表面积等于原矩形硬纸片的总面积减去裁去的2个正方形和2个矩形的面积，观察图形可知裁去的矩形一边长为y，另一边长为40÷2=20cm，据此列方程求解，再舍去负根即可。
【解析】
(1) 设纸盒的高为$ x \, \mathrm{cm} $，则折成的无盖纸盒底面长为$ (40-2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (25-2x) \, \mathrm{cm} $。
根据底面积为$ 450 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$(40-2x)(25-2x)=450$
解得：$ x_1=5 $，$ x_2=27.5 $
当$ x=27.5 $时，$ 2x=55＞25 $，不符合实际，舍去。
(2) 设裁去的正方形的边长为$ y \, \mathrm{cm} $，折成纸盒的表面积等于原矩形面积减去裁去部分的面积，根据题意列方程：
$40 × 25 - 2y^2 - 2 × 20y = 912$
解得：$ y_1=2 $，$ y_2=-22 $（边长不能为负，舍去）。
【答案】
(1) 纸盒的高是$\boxed{5\,\mathrm{cm}}$；
(2) 裁去的正方形的边长是$\boxed{2\,\mathrm{cm}}$。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，图形折叠问题
【点评】
本题结合图形折叠考查面积类实际问题的求解，解题关键是结合图形找准各边的数量关系，根据面积等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，能够锻炼学生的图形分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
