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1.【例1】在元旦庆祝活动中,参加活动的同学互赠贺卡,共送贺卡90张,求参加活动的人数.
2.英语口语小组,每位组员都要和其他组员说一句祝福语,全组共互赠了342句祝福语,求全组有多少名同学.
2.英语口语小组,每位组员都要和其他组员说一句祝福语,全组共互赠了342句祝福语,求全组有多少名同学.
答案
1. 解:设参加活动的人数为x人.
根据题意,得x(x-1)=90.
解得x₁=10,x₂=-9(不合题意,舍去).
答:参加活动的人数为10人.
2. 解:设全组有x名同学.
根据题意,得x(x-1)=342.
解得x₁=19,x₂=-18(不合题意,舍去).
答:全组有19名同学.
根据题意,得x(x-1)=90.
解得x₁=10,x₂=-9(不合题意,舍去).
答:参加活动的人数为10人.
2. 解:设全组有x名同学.
根据题意,得x(x-1)=342.
解得x₁=19,x₂=-18(不合题意,舍去).
答:全组有19名同学.
解析
【分析】
这两道题都属于互赠类实际问题，解题思路统一：首先设总人数为x，由于每个人不需要给自己赠送贺卡/送祝福语，因此单个人的赠送数量为(x-1)份，总共有x人，因此总赠送数量为x(x-1)，再结合题目给出的总赠送数量列出一元二次方程，求解后负数解不符合人数为正的实际要求，舍去后即可得到正确的人数。
【解析】
1. 解：设参加活动的人数为x人。
根据每人赠送(x-1)张贺卡，总贺卡数为90张，列方程得：
$x(x-1)=90$
整理得$x^2-x-90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$（人数不能为负，不合题意，舍去）。
答：参加活动的人数为10人。
2. 解：设全组有x名同学。
根据每人送出(x-1)句祝福语，总祝福语数为342句，列方程得：
$x(x-1)=342$
整理得$x^2-x-342=0$，解得$x_1=19$，$x_2=-18$（人数不能为负，不合题意，舍去）。
答：全组有19名同学。
【答案】
1. 参加活动的人数为10人；
2. 全组有19名同学。
【知识点】
一元二次方程应用、互赠问题建模、一元二次方程求解
【点评】
这两道题是互赠类实际问题的典型考法，解题核心是准确梳理总赠送数量和人数的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，掌握该类模型可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于互赠类实际问题，解题思路统一：首先设总人数为x，由于每个人不需要给自己赠送贺卡/送祝福语，因此单个人的赠送数量为(x-1)份，总共有x人，因此总赠送数量为x(x-1)，再结合题目给出的总赠送数量列出一元二次方程，求解后负数解不符合人数为正的实际要求，舍去后即可得到正确的人数。
【解析】
1. 解：设参加活动的人数为x人。
根据每人赠送(x-1)张贺卡，总贺卡数为90张，列方程得：
$x(x-1)=90$
整理得$x^2-x-90=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$（人数不能为负，不合题意，舍去）。
答：参加活动的人数为10人。
2. 解：设全组有x名同学。
根据每人送出(x-1)句祝福语，总祝福语数为342句，列方程得：
$x(x-1)=342$
整理得$x^2-x-342=0$，解得$x_1=19$，$x_2=-18$（人数不能为负，不合题意，舍去）。
答：全组有19名同学。
【答案】
1. 参加活动的人数为10人；
2. 全组有19名同学。
【知识点】
一元二次方程应用、互赠问题建模、一元二次方程求解
【点评】
这两道题是互赠类实际问题的典型考法，解题核心是准确梳理总赠送数量和人数的等量关系，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，掌握该类模型可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.8
3.【例2】某旅游团旅游结束时,其中一位游客建议大家互相握手道别,细心的小明发现,每两位参加旅游的人互握一次手,共握了55次手,问这个旅游团共有多少位游客？
答案
3. 解:设这个旅游团共有x位游客.
根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=55$.
解得x₁=11,x₂=-10(不合题意,舍去).
答:这个旅游团共有11位游客.
根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=55$.
解得x₁=11,x₂=-10(不合题意,舍去).
答:这个旅游团共有11位游客.
解析
【分析】
这是典型的单循环计数类实际问题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 设旅游团总人数为x；2. 推导握手总次数的等量关系：每个人需要和除自己外的(x-1)人握手，若直接计算x(x-1)，每一次握手会被双方各统计1次，存在重复计算，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；3. 结合题干给出的总握手次数55次列方程；4. 求解一元二次方程，结合人数为正整数的实际要求舍去不合题意的负根，即可得到结果。
【解析】
解：设这个旅游团共有x位游客。
根据单循环握手的计数规律，总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理得$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得$(x-11)(x+10)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$
由于人数不能为负数，因此$x_2=-10$不符合实际意义，舍去。
答：这个旅游团共有11位游客。
【答案】
11位
【知识点】
一元二次方程应用，单循环计数，方程验根
【点评】
本题是贴近生活的计数类应用题，解题核心是准确把握单循环计数的规律，避免重复计算，同时要注意方程的解需要符合实际情境，主动舍去不符合要求的根，同类问题还可延伸到比赛场次、互送礼物等场景。
【难度系数】
0.8
这是典型的单循环计数类实际问题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 设旅游团总人数为x；2. 推导握手总次数的等量关系：每个人需要和除自己外的(x-1)人握手，若直接计算x(x-1)，每一次握手会被双方各统计1次，存在重复计算，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$；3. 结合题干给出的总握手次数55次列方程；4. 求解一元二次方程，结合人数为正整数的实际要求舍去不合题意的负根，即可得到结果。
【解析】
解：设这个旅游团共有x位游客。
根据单循环握手的计数规律，总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合题意列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=55$
整理得$x^2 - x - 110 = 0$
因式分解得$(x-11)(x+10)=0$
解得$x_1=11$，$x_2=-10$
由于人数不能为负数，因此$x_2=-10$不符合实际意义，舍去。
答：这个旅游团共有11位游客。
【答案】
11位
【知识点】
一元二次方程应用，单循环计数，方程验根
【点评】
本题是贴近生活的计数类应用题，解题核心是准确把握单循环计数的规律，避免重复计算，同时要注意方程的解需要符合实际情境，主动舍去不符合要求的根，同类问题还可延伸到比赛场次、互送礼物等场景。
【难度系数】
0.8
4. (人教九上 $\mathrm{P}_{28}$ 复习题 $\mathrm{T}_{9}$ 改编)某市要开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都比赛一场).现计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参赛？
答案
4. 解:设应邀请x支球队参赛.
根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=21$.
解得x₁=7,x₂=-6(不合题意,舍去).
答:应邀请7支球队参赛.
根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=21$.
解得x₁=7,x₂=-6(不合题意,舍去).
答:应邀请7支球队参赛.
解析
【分析】首先明确单循环赛制的场数计算逻辑：若有x支球队参赛，每支球队要和其余(x-1)支球队各赛1场，此时计算的x(x-1)场里，每两队的比赛都被重复统计了1次，因此实际总场数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场数21即可列方程求解，最后根据球队数量为正整数的实际要求舍去不合理的解。
【解析】解：设应邀请x支球队参赛。
根据单循环赛制的总场数计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理得$x^2-x-42=0$，因式分解得$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$
球队数量不能为负数，因此$x=-6$不合题意，舍去。
答：应邀请7支球队参赛。
【答案】7支
【知识点】一元二次方程应用；单循环计数；解的取舍
【点评】本题是生活场景结合数学知识的典型应用题，解题核心是准确理解单循环赛制的计数规则，避免漏除以2的错误，同时要注意方程的解需要符合实际意义，主动舍去不符合要求的解。
【难度系数】0.7
【解析】解：设应邀请x支球队参赛。
根据单循环赛制的总场数计算规则，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=21$
整理得$x^2-x-42=0$，因式分解得$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$
球队数量不能为负数，因此$x=-6$不合题意，舍去。
答：应邀请7支球队参赛。
【答案】7支
【知识点】一元二次方程应用；单循环计数；解的取舍
【点评】本题是生活场景结合数学知识的典型应用题，解题核心是准确理解单循环赛制的计数规则，避免漏除以2的错误，同时要注意方程的解需要符合实际意义，主动舍去不符合要求的解。
【难度系数】0.7
