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1. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场。设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=36$
C.$x(x-1)=36$
D.$x(x+1)=36$
A
）A.$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=36$
C.$x(x-1)=36$
D.$x(x+1)=36$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先明确赛制为单循环，即每两个参赛队之间仅进行1场比赛。第一步先推导不考虑重复时的总场次：若有x个队，每个队要和除自身外的(x-1)个队各赛1场，此时计算的总场次为x(x-1)；第二步注意该结果中每场比赛被重复计算了2次（如甲队vs乙队的赛事，在计算甲队场次和乙队场次时各统计了1次），因此实际总场次需要除以2；第三步结合题干给出的总比赛场数36场，即可列出对应的方程。
【解析】
设有x个队参赛：
1. 每个队需与其余(x-1)个队各比赛1场，若直接累加所有队的比赛场次，得到总次数为$x(x-1)$；
2. 由于每场比赛会被两个参赛队各统计1次，因此实际总比赛场数为上述结果的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知共比赛36场，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=36$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环场次计算
【点评】
本题是实际问题列方程的基础题型，解题核心是理解单循环赛制的计数规则，避免忽略重复计数的情况而误选错误选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确赛制为单循环，即每两个参赛队之间仅进行1场比赛。第一步先推导不考虑重复时的总场次：若有x个队，每个队要和除自身外的(x-1)个队各赛1场，此时计算的总场次为x(x-1)；第二步注意该结果中每场比赛被重复计算了2次（如甲队vs乙队的赛事，在计算甲队场次和乙队场次时各统计了1次），因此实际总场次需要除以2；第三步结合题干给出的总比赛场数36场，即可列出对应的方程。
【解析】
设有x个队参赛：
1. 每个队需与其余(x-1)个队各比赛1场，若直接累加所有队的比赛场次，得到总次数为$x(x-1)$；
2. 由于每场比赛会被两个参赛队各统计1次，因此实际总比赛场数为上述结果的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 已知共比赛36场，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=36$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环场次计算
【点评】
本题是实际问题列方程的基础题型，解题核心是理解单循环赛制的计数规则，避免忽略重复计数的情况而误选错误选项。
【难度系数】
0.8
2. “凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书. 如果该组共有x名同学，根据题意，列出方程为（
A.$ x(x + 1) = 210 $
B.$ x(x - 1) = 210 $
C.$ \frac{1}{2}x(x + 1) = 210 $
D.$ \frac{1}{2}x(x - 1) = 210 $
B
）A.$ x(x + 1) = 210 $
B.$ x(x - 1) = 210 $
C.$ \frac{1}{2}x(x + 1) = 210 $
D.$ \frac{1}{2}x(x - 1) = 210 $
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的数量关系：首先，组内共有x名同学，每名同学不需要给自己赠送图书，因此每名同学要给其余(x-1)名同学各送1本图书；其次，互赠图书是双向行为，甲赠乙和乙赠甲是两次独立的赠送，不属于重复计数，因此总赠书数等于总人数乘每名同学的赠书数量，代入数值即可列出方程，注意要和单循环握手、比赛类需要除以2的题型做好区分。
【解析】
已知该组共有x名同学：
1. 每名同学仅向除自己外的其他成员赠书，因此每名同学赠送的图书数量为$(x-1)$本；
2. 互赠图书属于双向计数，不存在重复统计的情况，因此全组互赠的总图书数为总人数乘单人赠书数，即$x(x-1)$本；
3. 结合已知总互赠图书数为210本，可列方程：$x(x-1)=210$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、互赠类数量关系
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见基础题型，解题核心是区分双向计数的互赠问题和单向计数的单循环问题的数量差异，避免误用除法导致列式错误。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题目中的数量关系：首先，组内共有x名同学，每名同学不需要给自己赠送图书，因此每名同学要给其余(x-1)名同学各送1本图书；其次，互赠图书是双向行为，甲赠乙和乙赠甲是两次独立的赠送，不属于重复计数，因此总赠书数等于总人数乘每名同学的赠书数量，代入数值即可列出方程，注意要和单循环握手、比赛类需要除以2的题型做好区分。
【解析】
已知该组共有x名同学：
1. 每名同学仅向除自己外的其他成员赠书，因此每名同学赠送的图书数量为$(x-1)$本；
2. 互赠图书属于双向计数，不存在重复统计的情况，因此全组互赠的总图书数为总人数乘单人赠书数，即$x(x-1)$本；
3. 结合已知总互赠图书数为210本，可列方程：$x(x-1)=210$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、互赠类数量关系
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见基础题型，解题核心是区分双向计数的互赠问题和单向计数的单循环问题的数量差异，避免误用除法导致列式错误。
【难度系数】
0.7
3. 在某次会议中,每两人都握了一次手,共握手10次,设有x人参加会议,则可列方程为
$\frac{1}{2}x(x-1)=10$
.答案
3. $\frac{1}{2}x(x-1)=10$
解析
【分析】
要列方程需先理清握手次数的计算逻辑：有x人参会时，每个人不会和自己握手，所以每个人要和其余(x-1)人各握手1次，直接计算总次数会得到x(x-1)次，但每一次握手会被参与的两个人各统计1次，即实际握手次数是该数值的一半，结合总握手次数为10即可列出方程。
【解析】
解：设有x人参加会议。
1. 每个人需与除自身外的(x-1)人握手，若直接统计所有人的握手次数总和为$x(x-1)$次；
2. 由于每一次握手由2人共同完成，上述统计中每一次握手都被重复计算了1次，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次；
3. 已知共握手10次，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=10$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=10$
【知识点】
一元二次方程的实际应用、计数重复处理
【点评】
本题属于典型的计数类应用题，解题核心是注意到两两互动类计数存在重复统计的情况，掌握该模型后可快速解决单循环比赛、两两合影等同类型问题。
【难度系数】
0.7
要列方程需先理清握手次数的计算逻辑：有x人参会时，每个人不会和自己握手，所以每个人要和其余(x-1)人各握手1次，直接计算总次数会得到x(x-1)次，但每一次握手会被参与的两个人各统计1次，即实际握手次数是该数值的一半，结合总握手次数为10即可列出方程。
【解析】
解：设有x人参加会议。
1. 每个人需与除自身外的(x-1)人握手，若直接统计所有人的握手次数总和为$x(x-1)$次；
2. 由于每一次握手由2人共同完成，上述统计中每一次握手都被重复计算了1次，因此实际总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$次；
3. 已知共握手10次，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=10$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=10$
【知识点】
一元二次方程的实际应用、计数重复处理
【点评】
本题属于典型的计数类应用题，解题核心是注意到两两互动类计数存在重复统计的情况，掌握该模型后可快速解决单循环比赛、两两合影等同类型问题。
【难度系数】
0.7
4. 学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排了7天，每天安排8场比赛，则比赛组织者应邀请
8
个队.答案
4. 8
解析
【分析】
解题时先计算出赛程安排的总比赛场数，再结合“每两个队之间比赛两场”的规则推导总场数和参赛队数量的等量关系，列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可。第一步：先求总场数，用天数乘每天的比赛场数可得；第二步：设参赛队有x个，每两队赛两场时，总场次可表示为x(x-1)，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设比赛组织者应邀请$x$个队参赛。
1. 计算比赛总场数：
已知赛程安排7天，每天8场，总场数为：$7 × 8 = 56$（场）
2. 根据比赛规则列方程：
每两个队之间比赛两场，总场数可表示为$x(x-1)$，列方程得：
$x(x-1)=56$
整理为标准一元二次方程形式：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
3. 根的取舍：
参赛队数量为正整数，因此舍去负根$x=-7$，得$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程应用；比赛场次计算
【点评】
本题是典型的实际应用类问题，解题核心是准确结合比赛规则推导总场次的表达式，再根据等量关系列方程求解，注意最后要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解题时先计算出赛程安排的总比赛场数，再结合“每两个队之间比赛两场”的规则推导总场数和参赛队数量的等量关系，列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的根即可。第一步：先求总场数，用天数乘每天的比赛场数可得；第二步：设参赛队有x个，每两队赛两场时，总场次可表示为x(x-1)，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设比赛组织者应邀请$x$个队参赛。
1. 计算比赛总场数：
已知赛程安排7天，每天8场，总场数为：$7 × 8 = 56$（场）
2. 根据比赛规则列方程：
每两个队之间比赛两场，总场数可表示为$x(x-1)$，列方程得：
$x(x-1)=56$
整理为标准一元二次方程形式：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
3. 根的取舍：
参赛队数量为正整数，因此舍去负根$x=-7$，得$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程应用；比赛场次计算
【点评】
本题是典型的实际应用类问题，解题核心是准确结合比赛规则推导总场次的表达式，再根据等量关系列方程求解，注意最后要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
5.(易错题)北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站(包括北京站、上海站)，针对此动车有20种不同行程的火车票，则共有
5
个火车停靠站.答案
5. 5
解析
【分析】
本题是排列类实际应用问题，解题思路如下：首先明确往返火车票是不同的，比如甲站到乙站和乙站到甲站属于两种不同的行程票，因此计算车票种类时属于有序的排列问题。我们可以设共有n个停靠站，从n个站中选1个作为起点，再从剩余(n-1)个站中选1个作为终点，即可得到1种不同的车票，因此总车票数为n(n-1)，结合题目给出的总车票数为20，列方程求解正整数解即可。
【解析】
设共有$ n $个火车停靠站。
因为往返的火车票属于不同的行程票，因此任意两个站之间对应2种不同的车票，总车票种类数为从$ n $个站中任选2个站的排列数，即$ n(n-1) $。
根据题意列方程：
$ n(n-1)=20 $
整理得：$ n^2 - n - 20 = 0 $
因式分解得：$ (n-5)(n+4)=0 $
解得：$ n_1=5 $，$ n_2=-4 $
因为停靠站数量不能为负数，故舍去$ n=-4 $，所以$ n=5 $。
【答案】
5
【知识点】
排列的应用；一元二次方程的解法；实际问题与一元二次方程
【点评】
本题易错点在于容易混淆排列与组合的适用场景，误将往返车票视为同一种，按组合公式计算导致结果错误，解题时需注意火车票具有方向性，属于有序排列问题；另外求解一元二次方程后要注意检验根是否符合实际意义，不符合的根要舍去。
【难度系数】
0.6
本题是排列类实际应用问题，解题思路如下：首先明确往返火车票是不同的，比如甲站到乙站和乙站到甲站属于两种不同的行程票，因此计算车票种类时属于有序的排列问题。我们可以设共有n个停靠站，从n个站中选1个作为起点，再从剩余(n-1)个站中选1个作为终点，即可得到1种不同的车票，因此总车票数为n(n-1)，结合题目给出的总车票数为20，列方程求解正整数解即可。
【解析】
设共有$ n $个火车停靠站。
因为往返的火车票属于不同的行程票，因此任意两个站之间对应2种不同的车票，总车票种类数为从$ n $个站中任选2个站的排列数，即$ n(n-1) $。
根据题意列方程：
$ n(n-1)=20 $
整理得：$ n^2 - n - 20 = 0 $
因式分解得：$ (n-5)(n+4)=0 $
解得：$ n_1=5 $，$ n_2=-4 $
因为停靠站数量不能为负数，故舍去$ n=-4 $，所以$ n=5 $。
【答案】
5
【知识点】
排列的应用；一元二次方程的解法；实际问题与一元二次方程
【点评】
本题易错点在于容易混淆排列与组合的适用场景，误将往返车票视为同一种，按组合公式计算导致结果错误，解题时需注意火车票具有方向性，属于有序排列问题；另外求解一元二次方程后要注意检验根是否符合实际意义，不符合的根要舍去。
【难度系数】
0.6
6.（规律探究）如图1，从四边形ABCD的一个顶点能引1条对角线，四边形ABCD共有2条对角线；如图2，从五边形ABCDE的一个顶点能引2条对角线，五边形ABCDE共有5条对角线；如图3，从六边形ABCDEF的一个顶点能引3条对角线，六边形ABCDEF共有9条对角线……
（1）根据上述规律，从n边形的一个顶点能引
（2）若一个多边形共有35条对角线，求这个多边形的边数；
（3）若n边形的边数增加1，对角线总数增加7，求边数n.
（1）根据上述规律，从n边形的一个顶点能引
$(n-3)$
条对角线，n边形共有$\frac{n(n-3)}{2}$
条对角线；（用含n的式子表示）（2）若一个多边形共有35条对角线，求这个多边形的边数；
（3）若n边形的边数增加1，对角线总数增加7，求边数n.
答案
6. 解:(1) $(n-3)$ $\frac{n(n-3)}{2}$
(2)设这个多边形的边数是x.
根据题意,得$\frac{x(x-3)}{2}=35$,即$x^2 - 3x - 70 = 0$.
解得$x_1 = 10$,$x_2 = -7$(不合题意,舍去).
答:这个多边形的边数是10.
(3)根据题意,得$\frac{(n+1)(n-2)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=7$,即$2n=16$.
解得$n=8$.
∴边数n为8.
(2)设这个多边形的边数是x.
根据题意,得$\frac{x(x-3)}{2}=35$,即$x^2 - 3x - 70 = 0$.
解得$x_1 = 10$,$x_2 = -7$(不合题意,舍去).
答:这个多边形的边数是10.
(3)根据题意,得$\frac{(n+1)(n-2)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=7$,即$2n=16$.
解得$n=8$.
∴边数n为8.
解析
【分析】
首先观察给出的多边形对角线实例，归纳规律：从多边形一个顶点引对角线时，不能连接自身和相邻的2个顶点，因此n边形一个顶点可引对角线的数量为总边数减3；计算总对角线时，每条对角线会被两个顶点各统计1次，因此总条数为单顶点对角线数乘总边数再除以2。第二问已知总对角线数量，直接代入总对角线公式列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可。第三问先表示出边数增加1后的对角线总数，与原n边形对角线总数作差等于7，列方程化简求解即可。
【解析】
(1) 推导规律：
四边形$n=4$，单顶点对角线数：$4-3=1$，总对角线：$\frac{4×(4-3)}{2}=2$，符合题意；
五边形$n=5$，单顶点对角线数：$5-3=2$，总对角线：$\frac{5×(5-3)}{2}=5$，符合题意；
六边形$n=6$，单顶点对角线数：$6-3=3$，总对角线：$\frac{6×(6-3)}{2}=9$，符合题意；
因此n边形从一个顶点能引$\boldsymbol{(n-3)}$条对角线，共有$\boldsymbol{\frac{n(n-3)}{2}}$条对角线。
(2) 设这个多边形的边数是$x$，根据对角线总数公式列方程：
$\frac{x(x-3)}{2}=35$
整理得$x^2 - 3x - 70 = 0$，因式分解得$(x-10)(x+7)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-7$。
由于多边形边数为正整数，因此$x_2=-7$不合题意，舍去。
(3) 边数为$n+1$的多边形对角线总数为$\frac{(n+1)(n+1-3)}{2}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}$，根据题意列方程：
$\frac{(n+1)(n-2)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=7$
左边化简得$\frac{(n^2-n-2)-(n^2-3n)}{2}=n-1$，
即$n-1=7$，解得$n=8$。
【答案】
(1) $(n-3)$；$\frac{n(n-3)}{2}$
(2) 10
(3) 8
【知识点】
多边形对角线规律、一元二次方程应用、规律探究
【点评】
本题考查学生归纳总结的能力，以及利用方程解决几何问题的能力，解题时需注意多边形边数为正整数，要对求解出的根进行实际意义的检验。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的多边形对角线实例，归纳规律：从多边形一个顶点引对角线时，不能连接自身和相邻的2个顶点，因此n边形一个顶点可引对角线的数量为总边数减3；计算总对角线时，每条对角线会被两个顶点各统计1次，因此总条数为单顶点对角线数乘总边数再除以2。第二问已知总对角线数量，直接代入总对角线公式列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可。第三问先表示出边数增加1后的对角线总数，与原n边形对角线总数作差等于7，列方程化简求解即可。
【解析】
(1) 推导规律：
四边形$n=4$，单顶点对角线数：$4-3=1$，总对角线：$\frac{4×(4-3)}{2}=2$，符合题意；
五边形$n=5$，单顶点对角线数：$5-3=2$，总对角线：$\frac{5×(5-3)}{2}=5$，符合题意；
六边形$n=6$，单顶点对角线数：$6-3=3$，总对角线：$\frac{6×(6-3)}{2}=9$，符合题意；
因此n边形从一个顶点能引$\boldsymbol{(n-3)}$条对角线，共有$\boldsymbol{\frac{n(n-3)}{2}}$条对角线。
(2) 设这个多边形的边数是$x$，根据对角线总数公式列方程：
$\frac{x(x-3)}{2}=35$
整理得$x^2 - 3x - 70 = 0$，因式分解得$(x-10)(x+7)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-7$。
由于多边形边数为正整数，因此$x_2=-7$不合题意，舍去。
(3) 边数为$n+1$的多边形对角线总数为$\frac{(n+1)(n+1-3)}{2}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}$，根据题意列方程：
$\frac{(n+1)(n-2)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=7$
左边化简得$\frac{(n^2-n-2)-(n^2-3n)}{2}=n-1$，
即$n-1=7$，解得$n=8$。
【答案】
(1) $(n-3)$；$\frac{n(n-3)}{2}$
(2) 10
(3) 8
【知识点】
多边形对角线规律、一元二次方程应用、规律探究
【点评】
本题考查学生归纳总结的能力，以及利用方程解决几何问题的能力，解题时需注意多边形边数为正整数，要对求解出的根进行实际意义的检验。
【难度系数】
0.7
