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1. (跨学科)(人教九上P₁₃问题改编)根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛(如图),那么物体经过x s后的离地高度(单位:m)为$10x - 4.9x^2$. 根据上述规律,该物体落回地面所需要的时间x为
第1题图 第2题图 第3题图
$\frac{100}{49}$
s.第1题图 第2题图 第3题图
答案
1. $\frac{100}{49}$
解析
【分析】
解题时首先明确“物体落回地面”的实际含义：此时物体的离地高度为0，因此令高度的表达式等于0，即可得到关于x的一元二次方程；接下来解这个一元二次方程，得到的解中x=0对应物体刚抛出的时刻，不符合题意需要舍去，剩下的正解就是物体落回地面需要的时间。
【解析】
当物体落回地面时，离地高度为0，据此列方程：
$10x - 4.9x^2 = 0$
对左边因式分解得：
$x(10 - 4.9x) = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=\frac{10}{4.9}=\frac{100}{49}$
其中$x=0$是物体刚被抛出的时刻，不符合落回地面的题意，舍去。
因此物体落回地面所需时间为$\frac{100}{49}$s。
【答案】
$\frac{100}{49}$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解方程
3. 实际解的合理性判断
【点评】
本题结合物理竖直上抛的实际情景考查一元二次方程的应用，解题的核心是抓住“落回地面时高度为0”的条件列方程，同时要注意结合实际意义筛选方程的解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确“物体落回地面”的实际含义：此时物体的离地高度为0，因此令高度的表达式等于0，即可得到关于x的一元二次方程；接下来解这个一元二次方程，得到的解中x=0对应物体刚抛出的时刻，不符合题意需要舍去，剩下的正解就是物体落回地面需要的时间。
【解析】
当物体落回地面时，离地高度为0，据此列方程：
$10x - 4.9x^2 = 0$
对左边因式分解得：
$x(10 - 4.9x) = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=\frac{10}{4.9}=\frac{100}{49}$
其中$x=0$是物体刚被抛出的时刻，不符合落回地面的题意，舍去。
因此物体落回地面所需时间为$\frac{100}{49}$s。
【答案】
$\frac{100}{49}$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解方程
3. 实际解的合理性判断
【点评】
本题结合物理竖直上抛的实际情景考查一元二次方程的应用，解题的核心是抓住“落回地面时高度为0”的条件列方程，同时要注意结合实际意义筛选方程的解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
2. (数学文化)(人教九上$\mathrm{P}_{18}$阅读与思考改编)如图,点$P$是线段$AB$上一点$(AP＞BP)$,若满足$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$,则称点$P$是$AB$的黄金分割点.黄金分割在日常生活中处处可见,例如:主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好.若舞台长25米,主持人从舞台一侧进入,设他至少走$x$米时恰好站在舞台上靠近后台的黄金分割点上,则$x$满足的方程是 (
A.$(25 - x)^2 = 25x$
B.$x^2 = 25(25 - x)$
C.$x(25 - x) = 25^2$
D.$x(25 - x) = 25x^2$
A
)A.$(25 - x)^2 = 25x$
B.$x^2 = 25(25 - x)$
C.$x(25 - x) = 25^2$
D.$x(25 - x) = 25x^2$
答案
2. A
解析
【分析】
首先理解题意，“至少走x米”说明x是较短的线段长度，对应黄金分割中较短的BP段。先明确各线段的长度表示：AB总长25米，BP=x，则较长段AP=25-x，再根据题目给出的黄金分割比例关系$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，将对应长度代入比例式，交叉相乘即可得到所求方程。
【解析】
解：由题意可知，主持人至少走的x米为较短线段BP的长度，即$BP=x$。
∵$AB=25$米，
∴较长段$AP=AB-BP=25-x$。
根据黄金分割的定义$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，代入对应长度得：
$\frac{x}{25-x}=\frac{25-x}{25}$
交叉相乘得：$(25-x)^2=25x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义；列方程解应用题；线段和差计算
【点评】
本题结合生活实际考查黄金分割的应用，解题核心是准确对应各线段与变量的关系，注意“至少走x米”对应较短的线段，避免混淆长短段导致列式错误，题型贴合生活，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
首先理解题意，“至少走x米”说明x是较短的线段长度，对应黄金分割中较短的BP段。先明确各线段的长度表示：AB总长25米，BP=x，则较长段AP=25-x，再根据题目给出的黄金分割比例关系$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，将对应长度代入比例式，交叉相乘即可得到所求方程。
【解析】
解：由题意可知，主持人至少走的x米为较短线段BP的长度，即$BP=x$。
∵$AB=25$米，
∴较长段$AP=AB-BP=25-x$。
根据黄金分割的定义$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，代入对应长度得：
$\frac{x}{25-x}=\frac{25-x}{25}$
交叉相乘得：$(25-x)^2=25x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义；列方程解应用题；线段和差计算
【点评】
本题结合生活实际考查黄金分割的应用，解题核心是准确对应各线段与变量的关系，注意“至少走x米”对应较短的线段，避免混淆长短段导致列式错误，题型贴合生活，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
3. (人教九上 $\mathrm{P}_{18}$阅读与思考改编) 人们把$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数叫作黄金分割数. 五角星是常见的图案,如图,在正五角星中存在黄金分割数,有$\dfrac{FG}{BF}=\dfrac{BF}{BG}$,已知$BG=2$,则$FG=$
$3-\sqrt{5}$
.答案
3. $3-\sqrt{5}$
解析
【分析】
我们可以通过设未知数列方程的方法求解FG的长度：首先观察线段的组成关系，点F在线段BG上，因此BF=BG-FG，题目已经给出FG、BF、BG三者的比例关系，我们将已知的BG=2和含未知数的BF代入比例式，即可得到关于FG的一元二次方程，求解后结合线段长度为正的实际意义舍去不符合要求的根，就能得到FG的长度。
【解析】
设$FG=x$，
∵ 点F在线段BG上，$BG=2$，
∴ $BF=BG-FG=2-x$，
根据题意$\dfrac{FG}{BF}=\dfrac{BF}{BG}$，代入对应线段长度得：
$\dfrac{x}{2-x}=\dfrac{2-x}{2}$，
交叉相乘得：$2x=(2-x)^2$，
整理得一元二次方程：$x^2-6x+4=0$，
用公式法解得：$x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-16}}{2}=3\pm\sqrt{5}$，
∵ 线段长度为正数，且$FG＜BG=2$，$3+\sqrt{5}＞2$不符合实际，故舍去，
∴ $FG=3-\sqrt{5}$。
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割，比例的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题以正五角星的黄金分割为背景，考查了利用比例关系列方程求解线段长度的能力，解题的关键是准确表示出相关线段的长度，结合已知比例建立方程，同时要注意根据实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数列方程的方法求解FG的长度：首先观察线段的组成关系，点F在线段BG上，因此BF=BG-FG，题目已经给出FG、BF、BG三者的比例关系，我们将已知的BG=2和含未知数的BF代入比例式，即可得到关于FG的一元二次方程，求解后结合线段长度为正的实际意义舍去不符合要求的根，就能得到FG的长度。
【解析】
设$FG=x$，
∵ 点F在线段BG上，$BG=2$，
∴ $BF=BG-FG=2-x$，
根据题意$\dfrac{FG}{BF}=\dfrac{BF}{BG}$，代入对应线段长度得：
$\dfrac{x}{2-x}=\dfrac{2-x}{2}$，
交叉相乘得：$2x=(2-x)^2$，
整理得一元二次方程：$x^2-6x+4=0$，
用公式法解得：$x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-16}}{2}=3\pm\sqrt{5}$，
∵ 线段长度为正数，且$FG＜BG=2$，$3+\sqrt{5}＞2$不符合实际，故舍去，
∴ $FG=3-\sqrt{5}$。
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割，比例的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题以正五角星的黄金分割为背景，考查了利用比例关系列方程求解线段长度的能力，解题的关键是准确表示出相关线段的长度，结合已知比例建立方程，同时要注意根据实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
4. (人教九上$\mathrm{P}_{28}$复习题$\mathrm{T}_{13}$改编)如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第$n$行有$n$个点.
(1)容易发现,10是三角点阵中前4行的点数和.你能发现300是前多少行的点数的和吗?
(2)三角点阵前$n$行的点数和能是600吗?如果能,求出$n$;如果不能,试用一元二次方程说明理由.
中考新题型》》》综合与实践 一元二次方程的应用
项目式学习
|项目主题|草坪设计|
|项目情境|同学们正在参与一块长为40米,宽为30米的矩形草坪方案设计的项目学习,以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程.|
|活动任务一|请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边,小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案.
甲:直径简洁型 乙:斜径笔直型 丙:曲径通幽型 丁:弧径优美型|
|驱动问题一|(1)项目小组设计出来的四种方案小路面积$S_甲,S_乙,S_丙,S_丁$的大小有何关系?|
|活动任务二|为施工方便,学校选择甲种方案设计,并要求除小路外草坪面积为1 064平方米.|
|驱动问题二|(2)请计算小路的宽度是多少.|
|活动任务三|同学们打算建一个面积为$6000\ \mathrm{m}^2$的矩形油菜花田$ABCD$(如图),花田一面靠墙(墙足够长),另外三面用篱笆围成.
|
|驱动问题三|(3)数学之星小明查阅资料发现:短边与长边的比值约为0.618的矩形称为黄金矩形,黄金矩形能够给画面带来美感,令人愉悦.
为了使长220米的篱笆恰好用完的同时围住花田的三面,且矩形的形状更接近黄金矩形,$AB$应设计成多少米?(结果取整数)|
(1)容易发现,10是三角点阵中前4行的点数和.你能发现300是前多少行的点数的和吗?
(2)三角点阵前$n$行的点数和能是600吗?如果能,求出$n$;如果不能,试用一元二次方程说明理由.
中考新题型》》》综合与实践 一元二次方程的应用
项目式学习
|项目主题|草坪设计|
|项目情境|同学们正在参与一块长为40米,宽为30米的矩形草坪方案设计的项目学习,以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程.|
|活动任务一|请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边,小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案.
甲:直径简洁型 乙:斜径笔直型 丙:曲径通幽型 丁:弧径优美型|
|驱动问题一|(1)项目小组设计出来的四种方案小路面积$S_甲,S_乙,S_丙,S_丁$的大小有何关系?|
|活动任务二|为施工方便,学校选择甲种方案设计,并要求除小路外草坪面积为1 064平方米.|
|驱动问题二|(2)请计算小路的宽度是多少.|
|活动任务三|同学们打算建一个面积为$6000\ \mathrm{m}^2$的矩形油菜花田$ABCD$(如图),花田一面靠墙(墙足够长),另外三面用篱笆围成.
||驱动问题三|(3)数学之星小明查阅资料发现:短边与长边的比值约为0.618的矩形称为黄金矩形,黄金矩形能够给画面带来美感,令人愉悦.
为了使长220米的篱笆恰好用完的同时围住花田的三面,且矩形的形状更接近黄金矩形,$AB$应设计成多少米?(结果取整数)|
答案
4. 解:(1)根据题意,得$\frac{n(1+n)}{2}=300$.
整理,得$n^2 + n - 600 = 0$. 解得$n_1 = -25$,$n_2 = 24$.
∵n为正整数,
∴n=24.
答:300是前24行的点数的和.
(2)不能. 理由如下:
根据题意,得$\frac{n(1+n)}{2}=600$.
整理,得$n^2 + n - 1200 = 0$.
∴$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1200) = 4801 ＞ 0$.
∴$n = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-1\pm\sqrt{4801}}{2}$.
∵n为正整数,
∴三角点阵前n行的点数和不能是600.
中考新题型
解:(1)设小路的宽度为a米,则$S_甲 = 40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a$,$S_乙 = 40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a$,
$S_丙 = 40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a$,$S_丁 = 40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a$.
∴$S_甲 = S_乙 = S_丙 = S_丁$.
(2)设小路的宽为x m.
根据题意,得$(40 - x)(30 - x) = 1064$.
解得$x_1 = 2$,$x_2 = 68$(不合题意,舍去).
答:小路的宽为2 m.
(3)设矩形的宽$AB = z$ m,长$BC = y$ m,则$2z + y = 220$.
∵$z = 0.618y$,
∴$2×0.618y + y = 220$. 解得$y\approx98$.
∴$z\approx61$.
答:AB应设计成61米.
整理,得$n^2 + n - 600 = 0$. 解得$n_1 = -25$,$n_2 = 24$.
∵n为正整数,
∴n=24.
答:300是前24行的点数的和.
(2)不能. 理由如下:
根据题意,得$\frac{n(1+n)}{2}=600$.
整理,得$n^2 + n - 1200 = 0$.
∴$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-1200) = 4801 ＞ 0$.
∴$n = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-1\pm\sqrt{4801}}{2}$.
∵n为正整数,
∴三角点阵前n行的点数和不能是600.
中考新题型
解:(1)设小路的宽度为a米,则$S_甲 = 40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a$,$S_乙 = 40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a$,
$S_丙 = 40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a$,$S_丁 = 40a + 30a - a^2 = -a^2 +70a$.
∴$S_甲 = S_乙 = S_丙 = S_丁$.
(2)设小路的宽为x m.
根据题意,得$(40 - x)(30 - x) = 1064$.
解得$x_1 = 2$,$x_2 = 68$(不合题意,舍去).
答:小路的宽为2 m.
(3)设矩形的宽$AB = z$ m,长$BC = y$ m,则$2z + y = 220$.
∵$z = 0.618y$,
∴$2×0.618y + y = 220$. 解得$y\approx98$.
∴$z\approx61$.
答:AB应设计成61米.
解析
【分析】
1. 三角点阵问题：前n行的点数和是首项为1、末项为n的等差数列求和，公式为$S=\frac{n(n+1)}{2}$。(1)令和为300列一元二次方程，求解后取正整数根即可；(2)令和为600列方程，判断解是否为正整数即可得出结论。
2. 项目式学习问题：(1)四种方案的小路均可通过割补法计算：横向小路面积为$40a$，纵向小路面积为$30a$，交叉重叠部分为$a^2$，因此四个小路面积表达式完全相同；(2)甲方案中，剩余草坪可拼接成长$(40-x)$、宽$(30-x)$的矩形，根据草坪面积列方程求解，舍去不符合实际的根；(3)设宽AB为z m，长BC为y m，根据篱笆总长得$2z+y=220$，结合黄金矩形宽长比为0.618的条件联立求解，结果取整数即可。
【解析】
三角点阵问题
(1) 设前n行的点数和为300，根据求和公式列方程：
$\frac{n(1+n)}{2}=300$
整理得：$n^2 + n - 600 = 0$
解得：$n_1=-25$，$n_2=24$
∵n表示行数，为正整数，
∴舍去负根，取$n=24$。
(2) 假设前n行点数和能为600，列方程：
$\frac{n(1+n)}{2}=600$
整理得：$n^2 + n - 1200 = 0$
计算判别式：$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1200)=4801＞0$
求根得：$n=\frac{-1\pm\sqrt{4801}}{2}$
∵$\sqrt{4801}$不是整数，方程的根不是正整数，不符合行数的实际意义，故前n行的点数和不能是600。
中考新题型
(1) 设小路宽度为a米：
四种方案的小路面积均为横向面积加纵向面积减去重叠部分，即$S=40a+30a-a^2=-a^2+70a$，故$S_甲=S_乙=S_丙=S_丁$。
(2) 设小路宽为x m，剩余草坪可拼接为长$(40-x)$m、宽$(30-x)$m的矩形，根据题意列方程：
$(40-x)(30-x)=1064$
整理得：$x^2-70x+136=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=68$
∵$x=68$大于草坪的宽30m，不符合实际，舍去，故$x=2$。
(3) 设矩形宽$AB=z$ m，长$BC=y$ m，根据篱笆总长得：$2z+y=220$
根据黄金矩形定义$z=0.618y$，代入得：
$2×0.618y + y = 220$
解得：$y\approx98$，则$z=0.618×98\approx61$。
【答案】
(1) 300是前24行的点数的和；
(2) 三角点阵前n行的点数和不能是600；
中考新题型：
(1) $S_甲=S_乙=S_丙=S_丁$；
(2) 小路的宽度为2m；
(3) AB应设计成61米。
【知识点】
一元二次方程的应用，图形面积计算，黄金矩形的概念
【点评】
本题结合课本基础题与实际生活场景，融合考察代数计算、几何应用、概念理解能力，既要求掌握一元二次方程的求解与实际根的取舍规则，又需要灵活运用割补法解决不规则图形面积问题，贴合生活实际，注重知识的迁移运用。
【难度系数】
0.7
1. 三角点阵问题：前n行的点数和是首项为1、末项为n的等差数列求和，公式为$S=\frac{n(n+1)}{2}$。(1)令和为300列一元二次方程，求解后取正整数根即可；(2)令和为600列方程，判断解是否为正整数即可得出结论。
2. 项目式学习问题：(1)四种方案的小路均可通过割补法计算：横向小路面积为$40a$，纵向小路面积为$30a$，交叉重叠部分为$a^2$，因此四个小路面积表达式完全相同；(2)甲方案中，剩余草坪可拼接成长$(40-x)$、宽$(30-x)$的矩形，根据草坪面积列方程求解，舍去不符合实际的根；(3)设宽AB为z m，长BC为y m，根据篱笆总长得$2z+y=220$，结合黄金矩形宽长比为0.618的条件联立求解，结果取整数即可。
【解析】
三角点阵问题
(1) 设前n行的点数和为300，根据求和公式列方程：
$\frac{n(1+n)}{2}=300$
整理得：$n^2 + n - 600 = 0$
解得：$n_1=-25$，$n_2=24$
∵n表示行数，为正整数，
∴舍去负根，取$n=24$。
(2) 假设前n行点数和能为600，列方程：
$\frac{n(1+n)}{2}=600$
整理得：$n^2 + n - 1200 = 0$
计算判别式：$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1200)=4801＞0$
求根得：$n=\frac{-1\pm\sqrt{4801}}{2}$
∵$\sqrt{4801}$不是整数，方程的根不是正整数，不符合行数的实际意义，故前n行的点数和不能是600。
中考新题型
(1) 设小路宽度为a米：
四种方案的小路面积均为横向面积加纵向面积减去重叠部分，即$S=40a+30a-a^2=-a^2+70a$，故$S_甲=S_乙=S_丙=S_丁$。
(2) 设小路宽为x m，剩余草坪可拼接为长$(40-x)$m、宽$(30-x)$m的矩形，根据题意列方程：
$(40-x)(30-x)=1064$
整理得：$x^2-70x+136=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=68$
∵$x=68$大于草坪的宽30m，不符合实际，舍去，故$x=2$。
(3) 设矩形宽$AB=z$ m，长$BC=y$ m，根据篱笆总长得：$2z+y=220$
根据黄金矩形定义$z=0.618y$，代入得：
$2×0.618y + y = 220$
解得：$y\approx98$，则$z=0.618×98\approx61$。
【答案】
(1) 300是前24行的点数的和；
(2) 三角点阵前n行的点数和不能是600；
中考新题型：
(1) $S_甲=S_乙=S_丙=S_丁$；
(2) 小路的宽度为2m；
(3) AB应设计成61米。
【知识点】
一元二次方程的应用，图形面积计算，黄金矩形的概念
【点评】
本题结合课本基础题与实际生活场景，融合考察代数计算、几何应用、概念理解能力，既要求掌握一元二次方程的求解与实际根的取舍规则，又需要灵活运用割补法解决不规则图形面积问题，贴合生活实际，注重知识的迁移运用。
【难度系数】
0.7
