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1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象特征如下：
（1）反比例函数的图象由
（2）当$k＞0$时，
（1）反比例函数的图象由
两条曲线
组成，它是双曲线
。（2）当$k＞0$时，
双曲线
的两支分别位于第一、第三
象限；当$k＜0$时，双曲线
的两支分别位于第二、第四
象限。答案
1. (1) 两条曲线 双曲线 (2) 双曲线 第一、第三 双曲线 第二、第四
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象与基本性质，属于基础识记类题目，解题时只需回忆反比例函数图象的相关概念和性质，逐一对应填空即可：首先回忆反比例函数图象的形状与名称，再结合$k$的正负判断图象所在的象限。
【解析】
（1）反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）中自变量$x$不为0，函数值$y$也不为0，图象与坐标轴无交点，由两条曲线组成，这两条曲线叫做双曲线。
（2）当$k＞0$时，$x$与$y$的乘积为正，即$x$、$y$同号，因此双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，$x$与$y$的乘积为负，即$x$、$y$异号，因此双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
【答案】
(1) 两条曲线 双曲线 (2) 双曲线 第一、第三 双曲线 第二、第四
【知识点】
反比例函数的图象特征；反比例函数的象限性质
【点评】
本题是对反比例函数基础性质的考查，内容偏识记，熟练掌握反比例函数图象的相关概念和性质即可快速解答，是学习反比例函数相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的图象与基本性质，属于基础识记类题目，解题时只需回忆反比例函数图象的相关概念和性质，逐一对应填空即可：首先回忆反比例函数图象的形状与名称，再结合$k$的正负判断图象所在的象限。
【解析】
（1）反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）中自变量$x$不为0，函数值$y$也不为0，图象与坐标轴无交点，由两条曲线组成，这两条曲线叫做双曲线。
（2）当$k＞0$时，$x$与$y$的乘积为正，即$x$、$y$同号，因此双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，$x$与$y$的乘积为负，即$x$、$y$异号，因此双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
【答案】
(1) 两条曲线 双曲线 (2) 双曲线 第一、第三 双曲线 第二、第四
【知识点】
反比例函数的图象特征；反比例函数的象限性质
【点评】
本题是对反比例函数基础性质的考查，内容偏识记，熟练掌握反比例函数图象的相关概念和性质即可快速解答，是学习反比例函数相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.9
·练习1 反比例函数 $y=\frac{2}{x}$的图象大致是(
D
). 答案
练习1 D
解析
【分析】
要判断反比例函数的图象，首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象性质：$k$的符号决定了双曲线所在的象限，$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限。首先确定本题中$k$的值，再根据性质判断图象所在象限，最后逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
① 确定$k$的取值：本题中函数为$y=\frac{2}{x}$，因此$k=2＞0$，根据性质，它的图象是双曲线，两支分别位于第一象限和第三象限；
② 逐一判断选项：
选项A：仅第一象限有图象，缺少第三象限的分支，不符合要求，错误；
选项B：图象分布在第二、第四象限，是$k＜0$时的图象特征，不符合本题$k＞0$的情况，错误；
选项C：仅第四象限有图象，不符合要求，错误；
选项D：图象的两支分别在第一、第三象限，符合反比例函数的性质，正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数图象的基础考查题，解题关键是牢记$k$的符号和图象所在象限的对应关系，熟练掌握性质即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断反比例函数的图象，首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象性质：$k$的符号决定了双曲线所在的象限，$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限。首先确定本题中$k$的值，再根据性质判断图象所在象限，最后逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
① 确定$k$的取值：本题中函数为$y=\frac{2}{x}$，因此$k=2＞0$，根据性质，它的图象是双曲线，两支分别位于第一象限和第三象限；
② 逐一判断选项：
选项A：仅第一象限有图象，缺少第三象限的分支，不符合要求，错误；
选项B：图象分布在第二、第四象限，是$k＜0$时的图象特征，不符合本题$k＞0$的情况，错误；
选项C：仅第四象限有图象，不符合要求，错误；
选项D：图象的两支分别在第一、第三象限，符合反比例函数的性质，正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数图象的基础考查题，解题关键是牢记$k$的符号和图象所在象限的对应关系，熟练掌握性质即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.8
2.反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质如下：
当$k＞0$时，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而
当$k＞0$时，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而
减小
；当$k＜0$时，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大
。答案
2. 减小 增大
解析
【分析】
这道题考查反比例函数的增减性，解题可结合图象或举例验证的思路推导：①先明确k的符号对应反比例函数图象的分布：k＞0时图象位于第一、三象限，可举例如k=1，x取1、2时，对应y值为1、0.5，可见x增大时y减小；②k＜0时图象位于第二、四象限，举例如k=-1，x取1、2时，对应y值为-1、-0.5，可见x增大时y增大，同时注意性质的限定条件为“在每一个象限内”，避免跨象限比较出错。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与性质：
1. 当$k＞0$时，函数图象为分布在第一、三象限的双曲线，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$k＜0$时，函数图象为分布在第二、四象限的双曲线，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
因此两个空依次填入减小、增大。
【答案】
减小 增大
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对反比例函数增减性规律的掌握，结合图象记忆性质会更清晰，要注意增减性成立的前提是“在每一个象限内”，避免跨象限判断增减出现错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查反比例函数的增减性，解题可结合图象或举例验证的思路推导：①先明确k的符号对应反比例函数图象的分布：k＞0时图象位于第一、三象限，可举例如k=1，x取1、2时，对应y值为1、0.5，可见x增大时y减小；②k＜0时图象位于第二、四象限，举例如k=-1，x取1、2时，对应y值为-1、-0.5，可见x增大时y增大，同时注意性质的限定条件为“在每一个象限内”，避免跨象限比较出错。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与性质：
1. 当$k＞0$时，函数图象为分布在第一、三象限的双曲线，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
2. 当$k＜0$时，函数图象为分布在第二、四象限的双曲线，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
因此两个空依次填入减小、增大。
【答案】
减小 增大
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对反比例函数增减性规律的掌握，结合图象记忆性质会更清晰，要注意增减性成立的前提是“在每一个象限内”，避免跨象限判断增减出现错误。
【难度系数】
0.9
•练习2 在反比例函数 $y=-\dfrac{1}{x}$ 的图象上有三点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$。若 $x_1＞x_2＞0＞x_3$，则下列各式正确的是（
A. $y_3＞y_1＞y_2$
B. $y_3＞y_2＞y_1$
C. $y_1＞y_2＞y_3$
D. $y_1＞y_3＞y_2$
温馨提示 (1)切勿主观断定三点在反比例函数图象的同一分支上。
(2)只有在同一分支上的点才能利用增减性比较函数值的大小。
(3)可以通过画出函数图象比较函数值的大小。
A
）。A. $y_3＞y_1＞y_2$
B. $y_3＞y_2＞y_1$
C. $y_1＞y_2＞y_3$
D. $y_1＞y_3＞y_2$
温馨提示 (1)切勿主观断定三点在反比例函数图象的同一分支上。
(2)只有在同一分支上的点才能利用增减性比较函数值的大小。
(3)可以通过画出函数图象比较函数值的大小。
答案
练习2 A
解析
【分析】
解题时先根据反比例函数的k值判断图象所在象限及增减性，再结合三个点横坐标的正负，先区分不同象限的点的y值正负，确定最大的函数值，再对同一象限内的两个点，利用同一象限内的增减性比较剩余两个函数值的大小，最终完成排序。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$，其中$k=-1＜0$，因此函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知$x_1＞x_2＞0＞x_3$：
1. 横坐标为正的点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在第四象限，第四象限内所有点的纵坐标均小于0，即$y_1＜0$，$y_2＜0$；横坐标为负的点$(x_3,y_3)$在第二象限，第二象限内所有点的纵坐标均大于0，即$y_3＞0$，因此$y_3$是三个值中最大的。
2. 第四象限内$x_1＞x_2$，结合“同一象限内$y$随$x$增大而增大”的性质，可得$y_1＞y_2$。
综上，三者大小关系为$y_3＞y_1＞y_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，函数值大小比较，象限坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，易错点是忽略不同象限的点不能直接套用增减性比较函数值大小，解题时需先按象限判断函数值的正负，再对同象限的点用增减性比较，可有效避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先根据反比例函数的k值判断图象所在象限及增减性，再结合三个点横坐标的正负，先区分不同象限的点的y值正负，确定最大的函数值，再对同一象限内的两个点，利用同一象限内的增减性比较剩余两个函数值的大小，最终完成排序。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$，其中$k=-1＜0$，因此函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知$x_1＞x_2＞0＞x_3$：
1. 横坐标为正的点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在第四象限，第四象限内所有点的纵坐标均小于0，即$y_1＜0$，$y_2＜0$；横坐标为负的点$(x_3,y_3)$在第二象限，第二象限内所有点的纵坐标均大于0，即$y_3＞0$，因此$y_3$是三个值中最大的。
2. 第四象限内$x_1＞x_2$，结合“同一象限内$y$随$x$增大而增大”的性质，可得$y_1＞y_2$。
综上，三者大小关系为$y_3＞y_1＞y_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，函数值大小比较，象限坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，易错点是忽略不同象限的点不能直接套用增减性比较函数值大小，解题时需先按象限判断函数值的正负，再对同象限的点用增减性比较，可有效避免出错。
【难度系数】
0.7
·练习3 如图,在平面直角坐标系中,点A是反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象上一点,$AB⊥x$轴的正半轴,垂足为B,C是OB的中点.一次函数$y_2=ax+b$的图象经过A,C两点,并交y轴于点$D(0,-2)$,若$S_{△ AOD}=4$.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)观察图象,请指出在y轴的右侧,当$y_1＞y_2$时,x的取值范围.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)观察图象,请指出在y轴的右侧,当$y_1＞y_2$时,x的取值范围.
答案
练习3 (1) $y_1=\frac{8}{x},y_2=x-2.$ (2)$0＜x＜4$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1)要求两个函数的解析式，需要先求出点A的坐标：首先根据D点坐标得到OD的长度，结合△AOD的面积可求出点A的横坐标；再由C是OB中点得到点C的坐标，将C、D两点代入一次函数表达式即可求出一次函数解析式；将点A横坐标代入一次函数得到A点纵坐标，再代入反比例函数即可求出k值，得到反比例函数解析式。
(2)要求y轴右侧$y_1＞y_2$时x的取值范围，只需观察y轴右侧（$x＞0$）的图像，找到反比例函数图像在一次函数图像上方对应的x范围即可。
【解析】
(1) ①求一次函数解析式：
已知点$D(0,-2)$，则$OD=2$。
$\because S_{△ AOD}=4$，$△ AOD$中以OD为底，点A到y轴的距离（即点A的横坐标$x_A$）为高，
$\therefore \frac{1}{2} × OD × x_A =4$，代入$OD=2$得：$\frac{1}{2} × 2 × x_A=4$，解得$x_A=4$。
$\because AB ⊥ x$轴，垂足为B，$\therefore OB=x_A=4$，
$\because C$是OB的中点，$\therefore OC=\frac{1}{2}OB=2$，即点C坐标为$(2,0)$。
将$C(2,0)$、$D(0,-2)$代入$y_2=ax+b$得：
$\begin{cases} 0=2a+b \\ -2=b \end{cases}$，将$b=-2$代入第一个方程得$2a-2=0$，解得$a=1$，
$\therefore$一次函数解析式为$y_2=x-2$。
②求反比例函数解析式：
$\because$点A横坐标为4，且在一次函数$y_2=x-2$的图像上，
$\therefore$点A的纵坐标$y_A=4-2=2$，即$A(4,2)$。
将$A(4,2)$代入$y_1=\frac{k}{x}$得：$2=\frac{k}{4}$，解得$k=8$，
$\therefore$反比例函数解析式为$y_1=\frac{8}{x}$。
(2) 观察图像，在y轴右侧（$x＞0$），两个函数交点为$A(4,2)$：
当$0＜x＜4$时，反比例函数图像在一次函数图像上方，即$y_1＞y_2$，
$\therefore x$的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
(1) $y_1=\frac{8}{x}$，$y_2=x-2$；(2) $0＜x＜4$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数综合，函数图像与不等式
【点评】
本题是函数综合的常规题型，解题核心是利用三角形面积和中点性质求出关键点坐标，再用待定系数法求解函数解析式，结合图像判断不等式解集的过程体现了数形结合思想的应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1)要求两个函数的解析式，需要先求出点A的坐标：首先根据D点坐标得到OD的长度，结合△AOD的面积可求出点A的横坐标；再由C是OB中点得到点C的坐标，将C、D两点代入一次函数表达式即可求出一次函数解析式；将点A横坐标代入一次函数得到A点纵坐标，再代入反比例函数即可求出k值，得到反比例函数解析式。
(2)要求y轴右侧$y_1＞y_2$时x的取值范围，只需观察y轴右侧（$x＞0$）的图像，找到反比例函数图像在一次函数图像上方对应的x范围即可。
【解析】
(1) ①求一次函数解析式：
已知点$D(0,-2)$，则$OD=2$。
$\because S_{△ AOD}=4$，$△ AOD$中以OD为底，点A到y轴的距离（即点A的横坐标$x_A$）为高，
$\therefore \frac{1}{2} × OD × x_A =4$，代入$OD=2$得：$\frac{1}{2} × 2 × x_A=4$，解得$x_A=4$。
$\because AB ⊥ x$轴，垂足为B，$\therefore OB=x_A=4$，
$\because C$是OB的中点，$\therefore OC=\frac{1}{2}OB=2$，即点C坐标为$(2,0)$。
将$C(2,0)$、$D(0,-2)$代入$y_2=ax+b$得：
$\begin{cases} 0=2a+b \\ -2=b \end{cases}$，将$b=-2$代入第一个方程得$2a-2=0$，解得$a=1$，
$\therefore$一次函数解析式为$y_2=x-2$。
②求反比例函数解析式：
$\because$点A横坐标为4，且在一次函数$y_2=x-2$的图像上，
$\therefore$点A的纵坐标$y_A=4-2=2$，即$A(4,2)$。
将$A(4,2)$代入$y_1=\frac{k}{x}$得：$2=\frac{k}{4}$，解得$k=8$，
$\therefore$反比例函数解析式为$y_1=\frac{8}{x}$。
(2) 观察图像，在y轴右侧（$x＞0$），两个函数交点为$A(4,2)$：
当$0＜x＜4$时，反比例函数图像在一次函数图像上方，即$y_1＞y_2$，
$\therefore x$的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
(1) $y_1=\frac{8}{x}$，$y_2=x-2$；(2) $0＜x＜4$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数综合，函数图像与不等式
【点评】
本题是函数综合的常规题型，解题核心是利用三角形面积和中点性质求出关键点坐标，再用待定系数法求解函数解析式，结合图像判断不等式解集的过程体现了数形结合思想的应用，难度适中。
【难度系数】
0.7
