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(5)方程$ax^2+bx+c=-6$的根的情况怎样？
例2 已知抛物线$y=x^2-2(k-1)x+k^2-7$与$x$轴有两个不同的交点.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若抛物线与$x$轴的交点为$A,B$,且点$B$的坐标为$(3,0)$,求点$A$的坐标.
思路提示 (1)抛物线与$x$轴有两个不同的交点,即$b^2-4ac＞0$.
(2)抛物线与$x$轴的交点的横坐标,即当$y=0$时,一元二次方程的解.
尝试解答
小结反思 本题主要考查二次函数与一元二次方程的内在联系,以及抛物线的对称轴和顶点坐标的求法.要求与$x$轴的交点的横坐标,实际上就是求当$y$的值为$0$时方程的解.
例2 已知抛物线$y=x^2-2(k-1)x+k^2-7$与$x$轴有两个不同的交点.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若抛物线与$x$轴的交点为$A,B$,且点$B$的坐标为$(3,0)$,求点$A$的坐标.
思路提示 (1)抛物线与$x$轴有两个不同的交点,即$b^2-4ac＞0$.
(2)抛物线与$x$轴的交点的横坐标,即当$y=0$时,一元二次方程的解.
尝试解答
小结反思 本题主要考查二次函数与一元二次方程的内在联系,以及抛物线的对称轴和顶点坐标的求法.要求与$x$轴的交点的横坐标,实际上就是求当$y$的值为$0$时方程的解.
答案
(5) 从图象看,函数 $y=ax^2+bx+c$ 和 $y=-6$ 没有交点,即方程 $ax^2+bx+c=-6$ 无解.
例2 (1) k＜4.
(2) 点 A 的坐标为(-1,0).
例2 (1) k＜4.
(2) 点 A 的坐标为(-1,0).
1.二次函数$y=x^2 -4x +3$的图象与x轴的交点个数为(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1. C
2.(2024·湖北中考)已知抛物线$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$为常数，$a≠0$)的顶点坐标为$(-1,-2)$，与$y$轴的交点在$x$轴上方，下列结论正确的是(
A.$a＜0$
B.$c＜0$
C.$a-b+c=-2$
D.$b^2-4ac=0$
C
).A.$a＜0$
B.$c＜0$
C.$a-b+c=-2$
D.$b^2-4ac=0$
答案
2. C
3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的最小值为2，则(
A.$a＞0,b^2-4ac=0$
B.$a＞0,b^2-4ac＜0$
C.$a＜0,b^2-4ac=0$
D.$a＜0,b^2-4ac＞0$
B
).A.$a＞0,b^2-4ac=0$
B.$a＞0,b^2-4ac＜0$
C.$a＜0,b^2-4ac=0$
D.$a＜0,b^2-4ac＞0$
答案
3. B
4.若函数$y=ax^2 - x + 1$（$a$为常数）的图象与$x$轴只有一个交点，那么$a$满足（
A.$a=\frac{1}{4}$
B.$a≤\frac{1}{4}$
C.$a=0$或$a=-\frac{1}{4}$
D.$a=0$或$a=\frac{1}{4}$
D
）.A.$a=\frac{1}{4}$
B.$a≤\frac{1}{4}$
C.$a=0$或$a=-\frac{1}{4}$
D.$a=0$或$a=\frac{1}{4}$
答案
4. D
5.已知经过$A(2-3b,m)$，$B(4b+c-1,m)$两点的抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx-b^2+2c$（$x$为自变量）与$x$轴有交点，则线段$AB$的长为（
A.10
B.12
C.13
D.15
B
）。A.10
B.12
C.13
D.15
答案
5. B
