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1.二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象与x轴的交点个数有三种情况：
有两个交点
、有一个交点
、没有交点
。与此相对应，一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根也有三种情况：有两个不相等的实数根
、有两个相等的实数根
、没有实数根
。答案
1. 有两个交点
2. 有一个交点
3. 没有交点
4. 有两个不相等的实数根
5. 有两个相等的实数根
6. 没有实数根
2. 有一个交点
3. 没有交点
4. 有两个不相等的实数根
5. 有两个相等的实数根
6. 没有实数根
2.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的
横坐标
就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。答案
2. 横坐标
3.二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴的交点情况与$b^2-4ac$的关系：
(1)$b^2-4ac＞0⇔$抛物线与x轴
(2)$b^2-4ac=0⇔$抛物线与x轴
(3)$b^2-4ac＜0⇔$抛物线与x轴
(1)$b^2-4ac＞0⇔$抛物线与x轴
有两个
交点；(2)$b^2-4ac=0⇔$抛物线与x轴
有一个
交点；(3)$b^2-4ac＜0⇔$抛物线与x轴
没有
交点.答案
3. (1) 有两个
(2) 有一个
(3) 没有
(2) 有一个
(3) 没有
例1 下列抛物线与$x$轴只有一个公共点的是(
A.$y=4x^2+2x+1$
B.$y=3x^2+1$
C.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
D.$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+3$
思路提示 要想判断抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交点的个数，只需判定方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的情况，即$b^2-4ac$与$0$的大小关系。
C
).A.$y=4x^2+2x+1$
B.$y=3x^2+1$
C.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
D.$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+3$
思路提示 要想判断抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交点的个数，只需判定方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的情况，即$b^2-4ac$与$0$的大小关系。
答案
例1 C
变式训练 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图5-4-1，利用图象解答下列各题：
(1) 方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根是
(2) 方程 $ ax^2 + bx + c = -3 $ 的根是
(3) 方程 $ ax^2 + bx + c = 5 $ 的根是
(4) 方程 $ ax^2 + bx + c = -4 $ 的根是
(1) 方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根是
-1或3
；(2) 方程 $ ax^2 + bx + c = -3 $ 的根是
0或2
；(3) 方程 $ ax^2 + bx + c = 5 $ 的根是
4或-2
；(4) 方程 $ ax^2 + bx + c = -4 $ 的根是
1
；答案
(1) -1或3
(2) 0或2
(3) 4或-2
(4) 1
(2) 0或2
(3) 4或-2
(4) 1
