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9.【数学应用】用一根长为$a$ cm的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图所示的方式向外等距扩1 cm，得到新的正方形，则这根铁丝需增加（
A.4 cm
B.8 cm
C.$(a+4)\mathrm{cm}$
D.$(a+8)\mathrm{cm}$
B
）。A.4 cm
B.8 cm
C.$(a+4)\mathrm{cm}$
D.$(a+8)\mathrm{cm}$
答案
9. B
解析
【分析】
解题时首先根据原正方形周长求出原边长，再结合图形分析向外扩1cm后新正方形的边长变化：向外等距扩1cm意味着原正方形每条边的两侧各向外延伸1cm，因此新边长比原边长多2cm，接着计算新正方形的周长，最后用新周长减去原周长即可得到铁丝需要增加的长度。
【解析】
已知原正方形周长为$a$ cm，根据正方形周长公式，可得原正方形的边长为$\frac{a}{4}$ cm。
由图可知，向外等距扩1 cm后，新正方形的边长为$\frac{a}{4} + 1 + 1 = (\frac{a}{4} + 2)$ cm。
则新正方形的周长为$4×(\frac{a}{4} + 2) = (a + 8)$ cm。
铁丝需要增加的长度 = 新周长 - 原周长 = $(a + 8) - a = 8$ cm。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形周长计算；列代数式；整式加减运算
【点评】
本题结合图形变化考查正方形周长的应用，解题的关键是准确分析出扩边后正方形边长的增量，易错点是容易误认为边长仅增加1cm，误算成周长增加4cm。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据原正方形周长求出原边长，再结合图形分析向外扩1cm后新正方形的边长变化：向外等距扩1cm意味着原正方形每条边的两侧各向外延伸1cm，因此新边长比原边长多2cm，接着计算新正方形的周长，最后用新周长减去原周长即可得到铁丝需要增加的长度。
【解析】
已知原正方形周长为$a$ cm，根据正方形周长公式，可得原正方形的边长为$\frac{a}{4}$ cm。
由图可知，向外等距扩1 cm后，新正方形的边长为$\frac{a}{4} + 1 + 1 = (\frac{a}{4} + 2)$ cm。
则新正方形的周长为$4×(\frac{a}{4} + 2) = (a + 8)$ cm。
铁丝需要增加的长度 = 新周长 - 原周长 = $(a + 8) - a = 8$ cm。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形周长计算；列代数式；整式加减运算
【点评】
本题结合图形变化考查正方形周长的应用，解题的关键是准确分析出扩边后正方形边长的增量，易错点是容易误认为边长仅增加1cm，误算成周长增加4cm。
【难度系数】
0.7
10.若$m$，$n$互为相反数，则$(5m - 3n) - (2m - 6n)=$
0
。答案
10. 0
解析
【分析】
解题时首先根据相反数的性质得出m+n=0，再对所求的整式进行化简：先按照去括号法则去掉括号，再合并同类项，最后将m+n=0整体代入化简后的式子即可求出结果，无需单独计算m、n的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
∵m，n互为相反数，
∴$m + n = 0$，
先化简整式：
$\begin{aligned}(5m - 3n) - (2m - 6n)&=5m - 3n - 2m + 6n\\&=3m + 3n\\&=3(m + n)\end{aligned}$
将$m + n = 0$代入得：$3×0=0$。
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；整式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，结合相反数的性质，运用整体代入的思想可快速解题，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解答本题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时首先根据相反数的性质得出m+n=0，再对所求的整式进行化简：先按照去括号法则去掉括号，再合并同类项，最后将m+n=0整体代入化简后的式子即可求出结果，无需单独计算m、n的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
∵m，n互为相反数，
∴$m + n = 0$，
先化简整式：
$\begin{aligned}(5m - 3n) - (2m - 6n)&=5m - 3n - 2m + 6n\\&=3m + 3n\\&=3(m + n)\end{aligned}$
将$m + n = 0$代入得：$3×0=0$。
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；整式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，结合相反数的性质，运用整体代入的思想可快速解题，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解答本题的关键。
【难度系数】
0.85
11.已知关于$x,y$的多项式$(4x^2 + ax - y + 6)-(2bx^2 - 3x + 5y - 1)$，若多项式的值与字母$x$的取值无关，则$a^b=\_\_\_\_\_\_$。
答案
11. 9
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理解“多项式的值与字母x的取值无关”的含义：即合并同类项后，所有含x的项的系数都为0，此时无论x取何值，含x的项的总结果都是0，不会影响多项式的最终取值。解题时先对给定的多项式去括号、合并同类项，整理出含x²和x的项，分别令它们的系数等于0，即可求出a、b的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
先对多项式进行化简：
$\begin{aligned}&(4x^2 + ax - y + 6)-(2bx^2 - 3x + 5y - 1)\\=&4x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x - 5y + 1\\=&(4 - 2b)x^2 + (a + 3)x - 6y + 7\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数均为0：
1. 令$x^2$项的系数为0：$4 - 2b = 0$，解得$b = 2$
2. 令$x$项的系数为0：$a + 3 = 0$，解得$a = -3$
将$a=-3$、$b=2$代入$a^b$得：
$a^b = (-3)^2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
整式的加减，代数式求值，多项式的系数
【点评】
本题是整式章节的典型题型，核心是理解“多项式的值与某字母取值无关”等价于该字母的所有同类项的系数均为0，掌握去括号、合并同类项的化简方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要理解“多项式的值与字母x的取值无关”的含义：即合并同类项后，所有含x的项的系数都为0，此时无论x取何值，含x的项的总结果都是0，不会影响多项式的最终取值。解题时先对给定的多项式去括号、合并同类项，整理出含x²和x的项，分别令它们的系数等于0，即可求出a、b的值，最后代入计算$a^b$即可。
【解析】
先对多项式进行化简：
$\begin{aligned}&(4x^2 + ax - y + 6)-(2bx^2 - 3x + 5y - 1)\\=&4x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x - 5y + 1\\=&(4 - 2b)x^2 + (a + 3)x - 6y + 7\end{aligned}$
因为多项式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数均为0：
1. 令$x^2$项的系数为0：$4 - 2b = 0$，解得$b = 2$
2. 令$x$项的系数为0：$a + 3 = 0$，解得$a = -3$
将$a=-3$、$b=2$代入$a^b$得：
$a^b = (-3)^2 = 9$
【答案】
9
【知识点】
整式的加减，代数式求值，多项式的系数
【点评】
本题是整式章节的典型题型，核心是理解“多项式的值与某字母取值无关”等价于该字母的所有同类项的系数均为0，掌握去括号、合并同类项的化简方法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
12.【数学应用】小梅用3天看完了一本书，第一天看了x页，第二天看的比第一天多50页，第三天看的比第二天少85页，用含x的代数式表示这本书的页数为
3x+15
；当$x=100$时，这本书的页数是315
。答案
12. 3x+15 315
解析
【分析】
解题时先明确总页数为三天所看页数之和，第一步先根据题目给出的数量关系，分别用含x的代数式表示出第二天、第三天看的页数，再将三天的页数相加，通过合并同类项化简得到总页数的代数式；之后将x=100代入化简后的代数式计算，就能得到对应的总页数。
【解析】
1. 分别表示三天看的页数：
第一天看了x页；
第二天看的页数比第一天多50页，因此第二天看了$ x+50 $页；
第三天看的页数比第二天少85页，因此第三天看了$ (x+50)-85 = x-35 $页。
2. 计算总页数的代数式：
总页数 = 三天所看页数之和，代入得：
$\begin{aligned}&x+(x+50)+(x-35)\\=&x+x+x+50-35\\=&3x+15\end{aligned}$
3. 代入$ x=100 $求值：
把$ x=100 $代入$ 3x+15 $得：
$ 3×100 + 15 = 315 $
【答案】
$ 3x+15 $；315
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确梳理不同天数看书页数的数量关系，正确列代数式并合并同类项，代入求值时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题时先明确总页数为三天所看页数之和，第一步先根据题目给出的数量关系，分别用含x的代数式表示出第二天、第三天看的页数，再将三天的页数相加，通过合并同类项化简得到总页数的代数式；之后将x=100代入化简后的代数式计算，就能得到对应的总页数。
【解析】
1. 分别表示三天看的页数：
第一天看了x页；
第二天看的页数比第一天多50页，因此第二天看了$ x+50 $页；
第三天看的页数比第二天少85页，因此第三天看了$ (x+50)-85 = x-35 $页。
2. 计算总页数的代数式：
总页数 = 三天所看页数之和，代入得：
$\begin{aligned}&x+(x+50)+(x-35)\\=&x+x+x+50-35\\=&3x+15\end{aligned}$
3. 代入$ x=100 $求值：
把$ x=100 $代入$ 3x+15 $得：
$ 3×100 + 15 = 315 $
【答案】
$ 3x+15 $；315
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确梳理不同天数看书页数的数量关系，正确列代数式并合并同类项，代入求值时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
13.先化简，再求值：$5a^2 + [a^2 + (5a^2 - 2a) - 2(a^2 - 3a)]$，其中$a=-\dfrac{1}{2}$。
答案
解:原式=$9a^2+4a$,当$a=-\dfrac{1}{2}$时,原式=$9a^2+4a=9×(-\dfrac{1}{2})^2+4×(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}$。
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，按照先去小括号、再去中括号的顺序操作，去括号时注意两点：一是如果括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；二是括号前有系数时，系数要乘括号内的每一项，不能漏乘。去完括号后合并同类项，仅把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。第二步将a的取值代入化简后的式子，按照有理数运算规则计算即可，注意负数的偶次幂为正数。
【解析】
解：先去小括号，再合并中括号内的同类项：
$\begin{aligned}原式&=5a^2 + [a^2 + 5a^2 - 2a - 2a^2 + 6a]\\&=5a^2 + [4a^2 + 4a]\\&=5a^2 + 4a^2 + 4a\\&=9a^2+4a\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=9×(-\dfrac{1}{2})^2 + 4×(-\dfrac{1}{2})\\&=9×\dfrac{1}{4} - 2\\&=\dfrac{9}{4}-\dfrac{8}{4}\\&=\dfrac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
整式的化简求值、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查去括号和合并同类项的运算规则，运算时要格外注意符号变化和系数分配，避免出现漏乘、符号错误的问题。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，按照先去小括号、再去中括号的顺序操作，去括号时注意两点：一是如果括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；二是括号前有系数时，系数要乘括号内的每一项，不能漏乘。去完括号后合并同类项，仅把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。第二步将a的取值代入化简后的式子，按照有理数运算规则计算即可，注意负数的偶次幂为正数。
【解析】
解：先去小括号，再合并中括号内的同类项：
$\begin{aligned}原式&=5a^2 + [a^2 + 5a^2 - 2a - 2a^2 + 6a]\\&=5a^2 + [4a^2 + 4a]\\&=5a^2 + 4a^2 + 4a\\&=9a^2+4a\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=9×(-\dfrac{1}{2})^2 + 4×(-\dfrac{1}{2})\\&=9×\dfrac{1}{4} - 2\\&=\dfrac{9}{4}-\dfrac{8}{4}\\&=\dfrac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
整式的化简求值、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查去括号和合并同类项的运算规则，运算时要格外注意符号变化和系数分配，避免出现漏乘、符号错误的问题。
【难度系数】
0.8
14.【数学应用】用一根铁丝正好围成一个长是$2a+3b$、宽是$a+b$的长方形，把这根铁丝剪开，其中一部分可围成一个长是$a$、宽是$b$的长方形（均不计接缝），求另一部分铁丝的长。
答案
4a+6b
解析
【分析】
解题时首先明确铁丝总长度等于原长方形的周长，剩余部分铁丝长度=铁丝总长度-剪去的小长方形周长。首先回忆长方形周长公式：长方形周长=2×(长+宽)，第一步先计算原大长方形的周长得到铁丝总长，第二步计算剪去的小长方形的周长，最后通过整式的加减运算求出剩余铁丝长度即可。
【解析】
第一步：计算原长方形的周长，即铁丝总长度：
$\begin{aligned}2×[(2a+3b)+(a+b)]&=2×(2a+3b+a+b)\\&=2×(3a+4b)\\&=6a+8b\end{aligned}$
第二步：计算剪去的小长方形的周长：
$2×(a+b)=2a+2b$
第三步：计算剩余部分铁丝的长度：
$\begin{aligned}(6a+8b)-(2a+2b)&=6a+8b-2a-2b\\&=4a+6b\end{aligned}$
【答案】
4a+6b
【知识点】
长方形周长计算；整式的加减运算
【点评】
本题结合几何周长场景考查代数运算能力，解题的核心是理清不同部分铁丝长度对应的几何含义，计算整式加减时要注意去括号的符号规则，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确铁丝总长度等于原长方形的周长，剩余部分铁丝长度=铁丝总长度-剪去的小长方形周长。首先回忆长方形周长公式：长方形周长=2×(长+宽)，第一步先计算原大长方形的周长得到铁丝总长，第二步计算剪去的小长方形的周长，最后通过整式的加减运算求出剩余铁丝长度即可。
【解析】
第一步：计算原长方形的周长，即铁丝总长度：
$\begin{aligned}2×[(2a+3b)+(a+b)]&=2×(2a+3b+a+b)\\&=2×(3a+4b)\\&=6a+8b\end{aligned}$
第二步：计算剪去的小长方形的周长：
$2×(a+b)=2a+2b$
第三步：计算剩余部分铁丝的长度：
$\begin{aligned}(6a+8b)-(2a+2b)&=6a+8b-2a-2b\\&=4a+6b\end{aligned}$
【答案】
4a+6b
【知识点】
长方形周长计算；整式的加减运算
【点评】
本题结合几何周长场景考查代数运算能力，解题的核心是理清不同部分铁丝长度对应的几何含义，计算整式加减时要注意去括号的符号规则，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
