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1.若2是方程$x^2 -3x +k=0$的一个根,则常数k的值为 ()
A.1
B.2
C.-1
D.-2
A.1
B.2
C.-1
D.-2
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知2是给定方程的根，只需将x=2代入原方程，即可得到仅含未知数k的一元一次方程，解该方程就能求出k的取值。
【解析】
解：
∵2是方程$x^2 -3x +k=0$的一个根，
∴将$x=2$代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}2^2 - 3×2 +k &= 0 \\4 -6 +k &=0 \\k -2 &=0 \\k&=2\end{aligned}$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题思路直接，计算量小，主要考查对一元二次方程根的定义的理解与应用，掌握根的性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知2是给定方程的根，只需将x=2代入原方程，即可得到仅含未知数k的一元一次方程，解该方程就能求出k的取值。
【解析】
解：
∵2是方程$x^2 -3x +k=0$的一个根，
∴将$x=2$代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}2^2 - 3×2 +k &= 0 \\4 -6 +k &=0 \\k -2 &=0 \\k&=2\end{aligned}$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题思路直接，计算量小，主要考查对一元二次方程根的定义的理解与应用，掌握根的性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. (2025·北京)若关于x的一元二次方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$有两个相等的实数根,则实数a的值为 ()
A.-4
B.-1
C.1
D.4
A.-4
B.-1
C.1
D.4
答案
C
解析
【分析】
拿到本题首先明确题目给出两个核心条件：一是方程为一元二次方程，二是方程有两个相等的实数根。首先回忆一元二次方程的定义，可得二次项系数a不能为0；其次回忆一元二次方程根的判别式的性质，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，因此我们可以代入对应系数列出关于a的方程，求解即可得到a的值，最后验证a是否满足不为0的条件即可。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ $a ≠ 0$
∵ 该方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数为a，一次项系数b=2，常数项c=1
代入得：$2^2 - 4 × a × 1 = 0$
整理得：$4 - 4a = 0$
解得：$a = 1$，符合$a ≠ 0$的要求
因此a的值为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程根的判别式的相关性质，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先明确题目给出两个核心条件：一是方程为一元二次方程，二是方程有两个相等的实数根。首先回忆一元二次方程的定义，可得二次项系数a不能为0；其次回忆一元二次方程根的判别式的性质，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，因此我们可以代入对应系数列出关于a的方程，求解即可得到a的值，最后验证a是否满足不为0的条件即可。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ $a ≠ 0$
∵ 该方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数为a，一次项系数b=2，常数项c=1
代入得：$2^2 - 4 × a × 1 = 0$
整理得：$4 - 4a = 0$
解得：$a = 1$，符合$a ≠ 0$的要求
因此a的值为1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程根的判别式的相关性质，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
3. (2025·雅安)关于x的一元二次方程$(m-3)x^2+6x+3=0$有两个实数根,则m的取值范围是 ()
A.$m＞6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≥6$
D.$m＜6$且$m≠3$
A.$m＞6$
B.$m≤6$且$m≠3$
C.$m≥6$
D.$m＜6$且$m≠3$
答案
B
解析
【分析】
要确定一元二次方程有两个实数根时参数m的取值范围，需同时满足两个条件：① 一元二次方程的二次项系数不为0（保证方程属于一元二次方程）；② 根的判别式Δ≥0（保证方程有两个实数根，包含两个相等的实数根的情况）。分别求解两个条件对应的不等式，再取公共解集即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-3)x^2+6x+3=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-3≠0$，解得$m≠3$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
其中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$，代入得：
$\Delta=6^2 - 4×(m-3)×3 = 36 - 12(m-3) = 72 - 12m ≥0$
解不等式$72-12m≥0$：
移项得$12m≤72$，两边同除以12得$m≤6$
综上，m的取值范围是$m≤6$且$m≠3$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常考基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”隐含的二次项系数不为0的限制，仅通过判别式求解范围导致错选，解题时需先明确方程的类型要求，再结合根的情况计算参数范围。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程有两个实数根时参数m的取值范围，需同时满足两个条件：① 一元二次方程的二次项系数不为0（保证方程属于一元二次方程）；② 根的判别式Δ≥0（保证方程有两个实数根，包含两个相等的实数根的情况）。分别求解两个条件对应的不等式，再取公共解集即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-3)x^2+6x+3=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-3≠0$，解得$m≠3$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
其中$a=m-3$，$b=6$，$c=3$，代入得：
$\Delta=6^2 - 4×(m-3)×3 = 36 - 12(m-3) = 72 - 12m ≥0$
解不等式$72-12m≥0$：
移项得$12m≤72$，两边同除以12得$m≤6$
综上，m的取值范围是$m≤6$且$m≠3$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常考基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”隐含的二次项系数不为0的限制，仅通过判别式求解范围导致错选，解题时需先明确方程的类型要求，再结合根的情况计算参数范围。
【难度系数】
0.7
4. (2025·河北)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于 ()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
要解这道题可按三步思路推导：第一步先将给定的一元二次方程整理为标准一般形式，确定对应系数a、b、c的取值；第二步运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别计算出两根之和m、两根之积n的数值；第三步结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点(m,n)所在的象限即可。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
$\begin{aligned}x(x+2)-3&=0\\x^2+2x-3&=0\end{aligned}$
可得该方程中$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
因此点的坐标为$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数的点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.象限的坐标特征 3.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础综合类题目，将一元二次方程和平面直角坐标系的基础知识点结合考查，解题核心是先正确化简方程，再准确运用韦达定理求出两根的和与积，最后结合象限坐标符号特点判断即可。
【难度系数】
0.8
要解这道题可按三步思路推导：第一步先将给定的一元二次方程整理为标准一般形式，确定对应系数a、b、c的取值；第二步运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别计算出两根之和m、两根之积n的数值；第三步结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点(m,n)所在的象限即可。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
$\begin{aligned}x(x+2)-3&=0\\x^2+2x-3&=0\end{aligned}$
可得该方程中$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
因此点的坐标为$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数的点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.象限的坐标特征 3.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础综合类题目，将一元二次方程和平面直角坐标系的基础知识点结合考查，解题核心是先正确化简方程，再准确运用韦达定理求出两根的和与积，最后结合象限坐标符号特点判断即可。
【难度系数】
0.8
5. (2025·乐山)若方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，则$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$的值为（）
A.-1
B.1
C.-2
D.2
A.-1
B.1
C.-2
D.2
答案
C
解析
【分析】
本题要求代数式$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$的值，首先可对所求代数式因式分解，转化为含有两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系直接求出原方程的两根之和与两根之积，代入计算即可，无需解方程求出具体的根，可简化计算过程。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1$，
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2$。
对所求代数式因式分解得：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$，
将$x_1 + x_2=1$、$x_1x_2=-2$代入上式得：
原式$= -2 × 1 = -2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查韦达定理的灵活应用，通过因式分解将所求代数式转化为两根和与两根积的组合形式，避免求解方程的具体根，降低计算量，解题时需注意符号计算不要出错。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$的值，首先可对所求代数式因式分解，转化为含有两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系直接求出原方程的两根之和与两根之积，代入计算即可，无需解方程求出具体的根，可简化计算过程。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1} = 1$，
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2$。
对所求代数式因式分解得：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$，
将$x_1 + x_2=1$、$x_1x_2=-2$代入上式得：
原式$= -2 × 1 = -2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查韦达定理的灵活应用，通过因式分解将所求代数式转化为两根和与两根积的组合形式，避免求解方程的具体根，降低计算量，解题时需注意符号计算不要出错。
【难度系数】
0.8
6. 已知关于x的一元二次方程$x^2+2x+m-2=0$有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）
A.6
B.5
C.4
D.3
A.6
B.5
C.4
D.3
答案
B
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：第一步，根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用根的判别式Δ≥0求出参数m的取值范围；第二步，结合m是正整数的条件，列出所有可能的m候选值；第三步，将每个候选m代入原方程求解，判断根是否为整数，筛选出符合条件的m，最后计算符合条件的m的和即可。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2+2x+m-2=0$有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×(m-2) ≥ 0$
计算得：$4 - 4(m-2) ≥ 0$，化简得$12 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ 3$
∵ m为正整数，
∴ m的可能取值为1、2、3
逐一验证：
① 当$m=1$时，原方程为$x^2+2x-1=0$，解得$x = \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = -1\pm\sqrt{2}$，根不是整数，不符合条件，舍去；
② 当$m=2$时，原方程为$x^2+2x=0$，因式分解得$x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，根均为整数，符合条件；
③ 当$m=3$时，原方程为$x^2+2x+1=0$，即$(x+1)^2=0$，解得$x_1=x_2=-1$，根为整数，符合条件；
∴ 符合条件的正整数m为2和3，其和为$2+3=5$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解法
3. 整数解筛选
【点评】
本题属于一元二次方程的综合应用类题目，解题核心是先通过判别式限定参数的取值范围，再结合题目给定的限制条件逐一验证，解题时要注意不要遗漏对参数取值的验证，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路推导：第一步，根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用根的判别式Δ≥0求出参数m的取值范围；第二步，结合m是正整数的条件，列出所有可能的m候选值；第三步，将每个候选m代入原方程求解，判断根是否为整数，筛选出符合条件的m，最后计算符合条件的m的和即可。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2+2x+m-2=0$有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1×(m-2) ≥ 0$
计算得：$4 - 4(m-2) ≥ 0$，化简得$12 - 4m ≥ 0$，解得$m ≤ 3$
∵ m为正整数，
∴ m的可能取值为1、2、3
逐一验证：
① 当$m=1$时，原方程为$x^2+2x-1=0$，解得$x = \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2} = -1\pm\sqrt{2}$，根不是整数，不符合条件，舍去；
② 当$m=2$时，原方程为$x^2+2x=0$，因式分解得$x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，根均为整数，符合条件；
③ 当$m=3$时，原方程为$x^2+2x+1=0$，即$(x+1)^2=0$，解得$x_1=x_2=-1$，根为整数，符合条件；
∴ 符合条件的正整数m为2和3，其和为$2+3=5$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解法
3. 整数解筛选
【点评】
本题属于一元二次方程的综合应用类题目，解题核心是先通过判别式限定参数的取值范围，再结合题目给定的限制条件逐一验证，解题时要注意不要遗漏对参数取值的验证，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
7. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程$x^2 -14x +m=0$的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（）
A.3与11
B.4与10
C.2与10
D.5与8
A.3与11
B.4与10
C.2与10
D.5与8
答案
B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先设菱形的两条对角线长为方程的两个实数根$a$、$b$，用到两个核心知识点：一是菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，二是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$x^2+px+q=0$，两根之和为$-p$，两根之积为$q$。第一步先根据韦达定理得出两根之和$a+b=14$，第二步根据菱形面积公式列等式求出两根之积$ab$的值，最后通过解一元二次方程或验证选项得到两对角线的长度。
【解析】
设该菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$。
∵$a$、$b$是一元二次方程$x^2 -14x +m=0$的两个实数根，根据韦达定理可得：
$a + b = 14$，$ab = m$。
∵菱形的面积为对角线乘积的一半，已知面积为20，
∴$\frac{1}{2}ab = 20$，解得$ab = 40$，即$m=40$。
将$m=40$代入原方程得：$x^2 -14x +40 = 0$，
因式分解得：$(x-4)(x-10)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=10$。
即该菱形两条对角线长为4和10。
【答案】
B
【知识点】
菱形面积计算，韦达定理，解一元二次方程
【点评】
本题是几何性质与代数方程的基础综合题，解题核心是熟练运用菱形面积公式和一元二次方程根与系数的关系，也可直接结合选项用排除法快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先设菱形的两条对角线长为方程的两个实数根$a$、$b$，用到两个核心知识点：一是菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，二是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$x^2+px+q=0$，两根之和为$-p$，两根之积为$q$。第一步先根据韦达定理得出两根之和$a+b=14$，第二步根据菱形面积公式列等式求出两根之积$ab$的值，最后通过解一元二次方程或验证选项得到两对角线的长度。
【解析】
设该菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$。
∵$a$、$b$是一元二次方程$x^2 -14x +m=0$的两个实数根，根据韦达定理可得：
$a + b = 14$，$ab = m$。
∵菱形的面积为对角线乘积的一半，已知面积为20，
∴$\frac{1}{2}ab = 20$，解得$ab = 40$，即$m=40$。
将$m=40$代入原方程得：$x^2 -14x +40 = 0$，
因式分解得：$(x-4)(x-10)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=10$。
即该菱形两条对角线长为4和10。
【答案】
B
【知识点】
菱形面积计算，韦达定理，解一元二次方程
【点评】
本题是几何性质与代数方程的基础综合题，解题核心是熟练运用菱形面积公式和一元二次方程根与系数的关系，也可直接结合选项用排除法快速得出结果。
【难度系数】
0.7
8. (2026·山西)某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器,能高度还原蝴蝶飞行动作.今年3月份此款飞行器产量为1 200台,5月份的产量为1 600台.若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x,则下列方程正确的是 ()
A.1 200(1+x)=1 600
B.1 200(1+2x)=1 600
C.1 200(1+x)^2=1 600$$
$D.1 600(1-x)^2=1 200$
A.1 200(1+x)=1 600
B.1 200(1+2x)=1 600
C.1 200(1+x)^2=1 600$$
$D.1 600(1-x)^2=1 200$
答案
C
解析
【分析】
这是一道增长率类的一元二次方程实际应用题，解题时首先明确平均增长率的计算逻辑：若初始量为a，月平均增长率为x，那么经过n次增长后的量为$a(1+x)^n$。本题中初始量是3月份的产量1200台，从3月到5月经过了2次增长（3月到4月1次，4月到5月1次），最终量是5月份的产量1600台，对应代入公式即可列出正确方程。
【解析】
已知3月份产量为1200台，月平均增长率为x：
1. 4月份是在3月份产量基础上增长x，因此4月份产量为$1200(1+x)$台；
2. 5月份是在4月份产量基础上再增长x，因此5月份产量为$1200(1+x) × (1+x) = 1200(1+x)^2$台；
3. 结合题干给出的5月份产量为1600台，可列方程：$1200(1+x)^2=1600$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查增长率公式的应用，解题的关键是明确增长的次数，找准初始量和最终量，代入对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道增长率类的一元二次方程实际应用题，解题时首先明确平均增长率的计算逻辑：若初始量为a，月平均增长率为x，那么经过n次增长后的量为$a(1+x)^n$。本题中初始量是3月份的产量1200台，从3月到5月经过了2次增长（3月到4月1次，4月到5月1次），最终量是5月份的产量1600台，对应代入公式即可列出正确方程。
【解析】
已知3月份产量为1200台，月平均增长率为x：
1. 4月份是在3月份产量基础上增长x，因此4月份产量为$1200(1+x)$台；
2. 5月份是在4月份产量基础上再增长x，因此5月份产量为$1200(1+x) × (1+x) = 1200(1+x)^2$台；
3. 结合题干给出的5月份产量为1600台，可列方程：$1200(1+x)^2=1600$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查增长率公式的应用，解题的关键是明确增长的次数，找准初始量和最终量，代入对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
