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5. 已知数轴上的三个点A,B,C所表示的数分别为a,b,c,且C是线段AB的中点。
(1) ①若$a=5,b=3$,则$c=$
②若$a=-5,b=3$,则$c=$
③若$a=-5,b=-3$,则$c=$
(2) 根据(1)中的结果,归纳一个与中点有关的,关于$a,b,c$的真命题。
(1) ①若$a=5,b=3$,则$c=$
4
;②若$a=-5,b=3$,则$c=$
-1
;③若$a=-5,b=-3$,则$c=$
-4
。(2) 根据(1)中的结果,归纳一个与中点有关的,关于$a,b,c$的真命题。
答案
(1) ①4;②−1;③−4
(2) 数轴上的三个点A,B,C所表示的数分别为a,b,c。若C为AB的中点,则$c=\frac{a+b}{2}$。(答案不唯一)
(2) 数轴上的三个点A,B,C所表示的数分别为a,b,c。若C为AB的中点,则$c=\frac{a+b}{2}$。(答案不唯一)
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先回忆数轴上线段中点对应的数的计算方法，线段中点表示的数等于线段两个端点所表示数的平均值，因此只需将对应a、b的值代入求平均值即可得到c的值。
2. 解决第(2)问：观察第(1)问的三组计算结果，找到a、b、c三个数之间的数量关系，结合C是AB中点的前提，归纳出通用的真命题即可。
【解析】
(1) 已知C是线段AB的中点，因此点C对应的数c是点A、B对应数a、b的平均数，即$c=\frac{a+b}{2}$：
① 当$a=5,b=3$时，$c=\frac{5+3}{2}=4$；
② 当$a=-5,b=3$时，$c=\frac{-5+3}{2}=-1$；
③ 当$a=-5,b=-3$时，$c=\frac{-5+(-3)}{2}=-4$。
(2) 观察(1)中的三组计算结果，均可得出$c=\frac{a+b}{2}$的关系，结合C是AB中点的条件，可归纳真命题：数轴上的三个点A、B、C所表示的数分别为a、b、c，若C为AB的中点，则$c=\frac{a+b}{2}$（表述合理即可）。
【答案】
(1) ①4；②−1；③−4
(2) 数轴上的三个点A,B,C所表示的数分别为a,b,c。若C为AB的中点,则$c=\frac{a+b}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
数轴的应用，线段中点性质，规律探究
【点评】
本题立足基础，既考查了数轴上线段中点对应数的计算方法，也考查了从特殊到一般的归纳推理能力，掌握中点对应数的计算规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先回忆数轴上线段中点对应的数的计算方法，线段中点表示的数等于线段两个端点所表示数的平均值，因此只需将对应a、b的值代入求平均值即可得到c的值。
2. 解决第(2)问：观察第(1)问的三组计算结果，找到a、b、c三个数之间的数量关系，结合C是AB中点的前提，归纳出通用的真命题即可。
【解析】
(1) 已知C是线段AB的中点，因此点C对应的数c是点A、B对应数a、b的平均数，即$c=\frac{a+b}{2}$：
① 当$a=5,b=3$时，$c=\frac{5+3}{2}=4$；
② 当$a=-5,b=3$时，$c=\frac{-5+3}{2}=-1$；
③ 当$a=-5,b=-3$时，$c=\frac{-5+(-3)}{2}=-4$。
(2) 观察(1)中的三组计算结果，均可得出$c=\frac{a+b}{2}$的关系，结合C是AB中点的条件，可归纳真命题：数轴上的三个点A、B、C所表示的数分别为a、b、c，若C为AB的中点，则$c=\frac{a+b}{2}$（表述合理即可）。
【答案】
(1) ①4；②−1；③−4
(2) 数轴上的三个点A,B,C所表示的数分别为a,b,c。若C为AB的中点,则$c=\frac{a+b}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
数轴的应用，线段中点性质，规律探究
【点评】
本题立足基础，既考查了数轴上线段中点对应数的计算方法，也考查了从特殊到一般的归纳推理能力，掌握中点对应数的计算规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9
6. 要说明一个命题是假命题，通常可以用举反例的方法。
（1）（多选题）下列例子中，可以作为说明命题“若 $ x＞y $，则 $ x^2＞y^2 $”为假命题的反例的是(
A. $ x=-1,y=-2 $
B. $ x=1,y=2 $
C. $ x=2,y=-1 $
D. $ x=2,y=-3 $
（2）请再举一个反例说明命题“若 $ x＞y $，则 $ x^2＞y^2 $”为假命题。（要求：所举反例的类型与上题的不同）
（1）（多选题）下列例子中，可以作为说明命题“若 $ x＞y $，则 $ x^2＞y^2 $”为假命题的反例的是(
AD
)。A. $ x=-1,y=-2 $
B. $ x=1,y=2 $
C. $ x=2,y=-1 $
D. $ x=2,y=-3 $
（2）请再举一个反例说明命题“若 $ x＞y $，则 $ x^2＞y^2 $”为假命题。（要求：所举反例的类型与上题的不同）
答案
（1）AD
（2）例如，$x=0,y=-1$。
（2）例如，$x=0,y=-1$。
解析
【分析】
要判断假命题的反例，首先明确反例的核心要求：既要满足命题的条件（本题为$x＞y$），又要不符合命题的结论（本题为$x^2＞y^2$）。解题时第一问可对每个选项逐一验证：先判断是否满足$x＞y$，不满足的直接排除；满足的再计算$x^2、y^2$的大小，若$x^2≤ y^2$即为符合要求的反例。第二问要求反例类型和上题不同，上题反例为两个负数、正数加负整数的组合，我们可选取含0的组合，满足要求即可。
【解析】
（1）逐个分析选项：
选项A：$x=-1,y=-2$，$-1＞-2$，满足$x＞y$的条件；计算得$x^2=(-1)^2=1$，$y^2=(-2)^2=4$，$1＜4$即$x^2＜y^2$，不满足结论，是反例，符合要求。
选项B：$x=1,y=2$，$1＜2$，不满足$x＞y$的条件，不是反例，排除。
选项C：$x=2,y=-1$，$2＞-1$，满足$x＞y$的条件；计算得$x^2=4$，$y^2=1$，$4＞1$满足结论，不是反例，排除。
选项D：$x=2,y=-3$，$2＞-3$，满足$x＞y$的条件；计算得$x^2=4$，$y^2=(-3)^2=9$，$4＜9$即$x^2＜y^2$，不满足结论，是反例，符合要求。
综上，选AD。
（2）我们可以选取含0的反例：取$x=0,y=-1$，此时$0＞-1$满足$x＞y$的条件，计算得$x^2=0^2=0$，$y^2=(-1)^2=1$，$0＜1$即$x^2＜y^2$，不满足结论，且该反例含0，和第一问的反例类型不同，符合要求（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
（1）AD
（2）示例：$x=0,y=-1$（答案不唯一）
【知识点】
假命题的判定、举反例的应用、有理数乘方运算
【点评】
本题考查对反例定义的理解与应用，解题的关键是明确反例需要同时满足“符合命题条件、不符合命题结论”两个要求，举反例时要注意题目对反例类型的特殊要求。
【难度系数】
0.8
要判断假命题的反例，首先明确反例的核心要求：既要满足命题的条件（本题为$x＞y$），又要不符合命题的结论（本题为$x^2＞y^2$）。解题时第一问可对每个选项逐一验证：先判断是否满足$x＞y$，不满足的直接排除；满足的再计算$x^2、y^2$的大小，若$x^2≤ y^2$即为符合要求的反例。第二问要求反例类型和上题不同，上题反例为两个负数、正数加负整数的组合，我们可选取含0的组合，满足要求即可。
【解析】
（1）逐个分析选项：
选项A：$x=-1,y=-2$，$-1＞-2$，满足$x＞y$的条件；计算得$x^2=(-1)^2=1$，$y^2=(-2)^2=4$，$1＜4$即$x^2＜y^2$，不满足结论，是反例，符合要求。
选项B：$x=1,y=2$，$1＜2$，不满足$x＞y$的条件，不是反例，排除。
选项C：$x=2,y=-1$，$2＞-1$，满足$x＞y$的条件；计算得$x^2=4$，$y^2=1$，$4＞1$满足结论，不是反例，排除。
选项D：$x=2,y=-3$，$2＞-3$，满足$x＞y$的条件；计算得$x^2=4$，$y^2=(-3)^2=9$，$4＜9$即$x^2＜y^2$，不满足结论，是反例，符合要求。
综上，选AD。
（2）我们可以选取含0的反例：取$x=0,y=-1$，此时$0＞-1$满足$x＞y$的条件，计算得$x^2=0^2=0$，$y^2=(-1)^2=1$，$0＜1$即$x^2＜y^2$，不满足结论，且该反例含0，和第一问的反例类型不同，符合要求（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
（1）AD
（2）示例：$x=0,y=-1$（答案不唯一）
【知识点】
假命题的判定、举反例的应用、有理数乘方运算
【点评】
本题考查对反例定义的理解与应用，解题的关键是明确反例需要同时满足“符合命题条件、不符合命题结论”两个要求，举反例时要注意题目对反例类型的特殊要求。
【难度系数】
0.8
7.（1）根据图甲，判断下列命题的真假：
①长颈鹿有四条腿；(
②有四条腿的动物一定是长颈鹿。(
（2）在理解（1）的基础上，根据图乙各写出一个真命题、假命题。
①长颈鹿有四条腿；(
真
)②有四条腿的动物一定是长颈鹿。(
假
)（2）在理解（1）的基础上，根据图乙各写出一个真命题、假命题。
答案
（1）①真；②假。
（2）真命题:对顶角相等;假命题:两个相等的角一定是对顶角。
（2）真命题:对顶角相等;假命题:两个相等的角一定是对顶角。
解析
【分析】
（1）判断命题真假的核心是验证命题描述是否符合实际或相关定理：①观察图甲的长颈鹿，可见其有四条腿，描述符合事实，可判断为真命题；②图甲中除长颈鹿外，小狗、山羊、老虎、马都有四条腿，说明“有四条腿的动物一定是长颈鹿”的描述不成立，可判断为假命题。
（2）真命题是描述正确、有事实或定理支撑的命题，假命题是描述错误、可找到反例的命题。结合图乙的相交线等几何图形，可从对顶角的性质出发举例：对顶角相等是已学的定理，属于真命题；反过来“两个相等的角一定是对顶角”是错误的，比如图乙中角平分线分成的两个角、三角形的两个底角都相等但不是对顶角，可作为假命题，符合要求。
【解析】
（1）①观察图甲，长颈鹿确实有四条腿，命题描述符合实际，因此是真命题；
②图甲中的小狗、山羊、老虎、马都有四条腿，说明有四条腿的动物不一定是长颈鹿，命题描述不成立，因此是假命题。
（2）结合图乙中的相交线图形，根据对顶角的性质可写出真命题：对顶角相等；
相等的角不一定是对顶角（如图乙中角平分线分成的两个角相等、三角形的两个底角相等都不属于对顶角），因此可写出假命题：两个相等的角一定是对顶角。（本小问答案不唯一，合理即可）
【答案】
（1）①真；②假。
（2）真命题:对顶角相等;假命题:两个相等的角一定是对顶角。（答案不唯一）
【知识点】
真假命题判断、对顶角的性质
【点评】
本题通过生活图形和几何图形考查真假命题的判断，解题关键是明确真命题需要有事实或定理作为依据，假命题只需举出一个反例即可推翻，有助于锻炼学生的观察能力和逻辑判断能力。
【难度系数】
0.8
（1）判断命题真假的核心是验证命题描述是否符合实际或相关定理：①观察图甲的长颈鹿，可见其有四条腿，描述符合事实，可判断为真命题；②图甲中除长颈鹿外，小狗、山羊、老虎、马都有四条腿，说明“有四条腿的动物一定是长颈鹿”的描述不成立，可判断为假命题。
（2）真命题是描述正确、有事实或定理支撑的命题，假命题是描述错误、可找到反例的命题。结合图乙的相交线等几何图形，可从对顶角的性质出发举例：对顶角相等是已学的定理，属于真命题；反过来“两个相等的角一定是对顶角”是错误的，比如图乙中角平分线分成的两个角、三角形的两个底角都相等但不是对顶角，可作为假命题，符合要求。
【解析】
（1）①观察图甲，长颈鹿确实有四条腿，命题描述符合实际，因此是真命题；
②图甲中的小狗、山羊、老虎、马都有四条腿，说明有四条腿的动物不一定是长颈鹿，命题描述不成立，因此是假命题。
（2）结合图乙中的相交线图形，根据对顶角的性质可写出真命题：对顶角相等；
相等的角不一定是对顶角（如图乙中角平分线分成的两个角相等、三角形的两个底角相等都不属于对顶角），因此可写出假命题：两个相等的角一定是对顶角。（本小问答案不唯一，合理即可）
【答案】
（1）①真；②假。
（2）真命题:对顶角相等;假命题:两个相等的角一定是对顶角。（答案不唯一）
【知识点】
真假命题判断、对顶角的性质
【点评】
本题通过生活图形和几何图形考查真假命题的判断，解题关键是明确真命题需要有事实或定理作为依据，假命题只需举出一个反例即可推翻，有助于锻炼学生的观察能力和逻辑判断能力。
【难度系数】
0.8
