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8. 如图，AB，CD，BE，CF 被 BC 所截。下面有三个论断：①$AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$；②$BE // CF$；③$∠ 1 = ∠ 2$。任选其中两个论断作为条件，另一个作为结论，一共可以组成三个命题。
（1）请在这三个命题中选择一个真命题，用“如果……那么……”的形式写出这个命题。
（2）请用推理的方法说明第（1）题所写命题是真命题。
（1）请在这三个命题中选择一个真命题，用“如果……那么……”的形式写出这个命题。
（2）请用推理的方法说明第（1）题所写命题是真命题。
答案
（1）以下两个命题任写一个均可。
命题1:如果$AB ⊥ BC$,$CD ⊥ BC$,$BE// CF$,那么$∠1=∠2$。
命题2:如果$AB ⊥ BC$,$CD ⊥ BC$,$∠1=∠2$,那么$BE// CF$。
（2）命题1是真命题的理由:因为$CD ⊥ BC$,$AB ⊥ BC$,所以$∠DCB=∠ABC=90°$。又因为$BE// CF$,所以$∠FCB=∠EBC$,所以$∠ABC−∠EBC=∠DCB−∠FCB$,即$∠1=∠2$。命题2是真命题的理由略。
命题1:如果$AB ⊥ BC$,$CD ⊥ BC$,$BE// CF$,那么$∠1=∠2$。
命题2:如果$AB ⊥ BC$,$CD ⊥ BC$,$∠1=∠2$,那么$BE// CF$。
（2）命题1是真命题的理由:因为$CD ⊥ BC$,$AB ⊥ BC$,所以$∠DCB=∠ABC=90°$。又因为$BE// CF$,所以$∠FCB=∠EBC$,所以$∠ABC−∠EBC=∠DCB−∠FCB$,即$∠1=∠2$。命题2是真命题的理由略。
解析
【分析】
解决第（1）问时，先明确三个论断的组合逻辑：任选两个作为条件，剩余一个作为结论，结合图形特征可知“以①②为条件推③”“以①③为条件推②”均为真命题，选择其中一个按照“如果……那么……”的规范形式表述即可。解决第（2）问时，先根据垂直的定义得到$∠ ABC=∠ DCB=90°$，若选①②推③，就结合平行线的性质得到$∠ EBC=∠ FCB$，再通过角的和差推导得到$∠1=∠2$；若选①③推②，就结合$∠1=∠2$推出$∠ EBC=∠ FCB$，再根据内错角相等判定$BE// CF$。
【解析】
（1）选择真命题：如果$AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$，$BE // CF$，那么$∠ 1 = ∠ 2$。
（2）推理证明：
$\because AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$（已知）
$\therefore ∠ ABC = ∠ DCB = 90°$（垂直的定义）
$\because BE // CF$（已知）
$\therefore ∠ EBC = ∠ FCB$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ ABC - ∠ EBC = ∠ DCB - ∠ FCB$（等式的性质）
即$∠ 1 = ∠ 2$，故该命题为真命题。
（若选择另一命题，推理过程为：$\because AB ⊥ BC,CD⊥ BC,\therefore ∠ ABC=∠ DCB=90°$，$\because ∠1=∠2,\therefore ∠ ABC-∠1=∠ DCB-∠2$，即$∠ EBC=∠ FCB$，$\therefore BE// CF$）
【答案】
（1）如果$AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$，$BE // CF$，那么$∠1 = ∠2$（或如果$AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$，$∠1=∠2$，那么$BE // CF$）
（2）以第一个命题为例：$\because AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$，$\therefore ∠ ABC = ∠ DCB = 90°$，又$\because BE // CF$，$\therefore ∠ EBC = ∠ FCB$，$\therefore ∠ ABC - ∠ EBC = ∠ DCB - ∠ FCB$，即$∠1 = ∠2$。
【知识点】
垂直的定义，平行线的性质，等式的性质
【点评】
本题考查命题的构造与几何初步证明，需要熟练掌握平行线的判定、性质以及垂直的定义，结合角的和差关系完成推导，是几何证明的基础典型题。
【难度系数】
0.8
解决第（1）问时，先明确三个论断的组合逻辑：任选两个作为条件，剩余一个作为结论，结合图形特征可知“以①②为条件推③”“以①③为条件推②”均为真命题，选择其中一个按照“如果……那么……”的规范形式表述即可。解决第（2）问时，先根据垂直的定义得到$∠ ABC=∠ DCB=90°$，若选①②推③，就结合平行线的性质得到$∠ EBC=∠ FCB$，再通过角的和差推导得到$∠1=∠2$；若选①③推②，就结合$∠1=∠2$推出$∠ EBC=∠ FCB$，再根据内错角相等判定$BE// CF$。
【解析】
（1）选择真命题：如果$AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$，$BE // CF$，那么$∠ 1 = ∠ 2$。
（2）推理证明：
$\because AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$（已知）
$\therefore ∠ ABC = ∠ DCB = 90°$（垂直的定义）
$\because BE // CF$（已知）
$\therefore ∠ EBC = ∠ FCB$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ ABC - ∠ EBC = ∠ DCB - ∠ FCB$（等式的性质）
即$∠ 1 = ∠ 2$，故该命题为真命题。
（若选择另一命题，推理过程为：$\because AB ⊥ BC,CD⊥ BC,\therefore ∠ ABC=∠ DCB=90°$，$\because ∠1=∠2,\therefore ∠ ABC-∠1=∠ DCB-∠2$，即$∠ EBC=∠ FCB$，$\therefore BE// CF$）
【答案】
（1）如果$AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$，$BE // CF$，那么$∠1 = ∠2$（或如果$AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$，$∠1=∠2$，那么$BE // CF$）
（2）以第一个命题为例：$\because AB ⊥ BC$，$CD ⊥ BC$，$\therefore ∠ ABC = ∠ DCB = 90°$，又$\because BE // CF$，$\therefore ∠ EBC = ∠ FCB$，$\therefore ∠ ABC - ∠ EBC = ∠ DCB - ∠ FCB$，即$∠1 = ∠2$。
【知识点】
垂直的定义，平行线的性质，等式的性质
【点评】
本题考查命题的构造与几何初步证明，需要熟练掌握平行线的判定、性质以及垂直的定义，结合角的和差关系完成推导，是几何证明的基础典型题。
【难度系数】
0.8
9. 有这样一类自然数，它的特征是正读、倒读都一样，称之为“回文数”。例如，11，343，2 552。请回答下列问题：
（1）12 321
（2）所有两位数中，一共有多少个“回文数”？
（3）小明先将三个四位数的“回文数”分别除以11：
2 552÷11=232，7 117÷11=647，8 888÷11=808。
于是归纳得到一个命题：四位数的“回文数”是11的整数倍。请对这个命题的真假作出判断，并说明理由。
（1）12 321
是
（填“是”或“不是”）“回文数”。（2）所有两位数中，一共有多少个“回文数”？
（3）小明先将三个四位数的“回文数”分别除以11：
2 552÷11=232，7 117÷11=647，8 888÷11=808。
于是归纳得到一个命题：四位数的“回文数”是11的整数倍。请对这个命题的真假作出判断，并说明理由。
答案
（1）是
（2）一共有9个:11,22,33,44,55,66,77,88,99。
（3）真命题。理由如下:设任意四位数的“回文数”中的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a(a≠0),b,b,a,则p=1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11×(91a+10b),所以四位数的“回文数”是11的整数倍。
（2）一共有9个:11,22,33,44,55,66,77,88,99。
（3）真命题。理由如下:设任意四位数的“回文数”中的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a(a≠0),b,b,a,则p=1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11×(91a+10b),所以四位数的“回文数”是11的整数倍。
解析
【分析】
（1）判断回文数只需验证正读和倒读是否完全相同，直接对比12321正读、倒读的结果即可得出结论；
（2）两位数的回文数需满足十位数字与个位数字相等，且十位数字不能为0，由此计数即可得到数量；
（3）要判断四位数回文数是否为11的倍数，可先根据回文数特征用字母表示出四位数的千位、百位数字，再写出四位数的代数表达式，通过化简整理看是否能分解出因数11，若能则命题为真，反之为假。
【解析】
（1）12321正读为一万二千三百二十一，倒读依然是一万二千三百二十一，正读倒读完全相同，因此是回文数。
（2）两位数的结构为“十位数字+个位数字”，若为回文数则十位数字=个位数字，其中十位数字不能为0，可取1~9共9种取值，对应个位数字与十位一致，得到的回文数为11、22、33、44、55、66、77、88、99，共9个。
（3）该命题是真命题，理由如下：
设任意四位数回文数的千位数字为$a(a≠0)$，百位数字为$b$，根据回文数特征，十位数字为$b$，个位数字为$a$，因此这个四位数可表示为：
$\begin{aligned}p&=1000a + 100b + 10b + a\\&=1001a + 110b\\&=11×(91a + 10b)\end{aligned}$
因为$a、b$均为整数，所以$91a+10b$是整数，因此$p$是11的整数倍，故命题为真。
【答案】
（1）是
（2）一共有9个：11,22,33,44,55,66,77,88,99。
（3）真命题。理由如下:设任意四位数的“回文数”中的千位、百位、十位、个位上的数字分别为$a(a≠0),b,b,a$，则$p=1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11×(91a+10b)$，所以四位数的“回文数”是11的整数倍。
【知识点】
回文数的定义，整式的化简，命题真假判断
【点评】
本题结合新定义“回文数”考查了数字规律探究、代数表示与化简以及命题判断的相关能力，既包含基础的概念理解题，也涉及简单的逻辑推理论证，能有效训练用代数方法解决数字类问题的思维。
【难度系数】
0.75
（1）判断回文数只需验证正读和倒读是否完全相同，直接对比12321正读、倒读的结果即可得出结论；
（2）两位数的回文数需满足十位数字与个位数字相等，且十位数字不能为0，由此计数即可得到数量；
（3）要判断四位数回文数是否为11的倍数，可先根据回文数特征用字母表示出四位数的千位、百位数字，再写出四位数的代数表达式，通过化简整理看是否能分解出因数11，若能则命题为真，反之为假。
【解析】
（1）12321正读为一万二千三百二十一，倒读依然是一万二千三百二十一，正读倒读完全相同，因此是回文数。
（2）两位数的结构为“十位数字+个位数字”，若为回文数则十位数字=个位数字，其中十位数字不能为0，可取1~9共9种取值，对应个位数字与十位一致，得到的回文数为11、22、33、44、55、66、77、88、99，共9个。
（3）该命题是真命题，理由如下：
设任意四位数回文数的千位数字为$a(a≠0)$，百位数字为$b$，根据回文数特征，十位数字为$b$，个位数字为$a$，因此这个四位数可表示为：
$\begin{aligned}p&=1000a + 100b + 10b + a\\&=1001a + 110b\\&=11×(91a + 10b)\end{aligned}$
因为$a、b$均为整数，所以$91a+10b$是整数，因此$p$是11的整数倍，故命题为真。
【答案】
（1）是
（2）一共有9个：11,22,33,44,55,66,77,88,99。
（3）真命题。理由如下:设任意四位数的“回文数”中的千位、百位、十位、个位上的数字分别为$a(a≠0),b,b,a$，则$p=1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11×(91a+10b)$，所以四位数的“回文数”是11的整数倍。
【知识点】
回文数的定义，整式的化简，命题真假判断
【点评】
本题结合新定义“回文数”考查了数字规律探究、代数表示与化简以及命题判断的相关能力，既包含基础的概念理解题，也涉及简单的逻辑推理论证，能有效训练用代数方法解决数字类问题的思维。
【难度系数】
0.75
