登录
1. 如图，在$△ ABC$中，外角$∠ DCA=100°$，$∠ B=55°$，则$∠ A$的度数是
45°
。答案
1. 45°
解析
【分析】
首先观察图形可知∠DCA是△ABC的外角，解题时有两种思路：思路1，直接利用三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知外角度数和其中一个不相邻内角的度数，作差即可求出∠A的度数；思路2，先根据平角的定义求出∠ACB的度数，再利用三角形内角和为180°计算∠A的度数，两种方法都可得到结果，其中利用外角性质计算更简便。
【解析】
方法1：利用三角形外角性质求解
∵ ∠DCA是△ABC的外角
∴ 根据三角形外角的性质可得：$∠ DCA = ∠ A + ∠ B$
已知$∠ DCA=100°$，$∠ B=55°$
∴ $∠ A = ∠ DCA - ∠ B = 100° - 55° = 45°$
方法2：利用平角和三角形内角和求解
∵ 点B、C、D在同一直线上，$∠ DCA=100°$
∴ $∠ ACB = 180° - ∠ DCA = 180° - 100° = 80°$
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$
代入$∠ B=55°$，$∠ ACB=80°$
∴ $∠ A = 180° - 55° - 80° = 45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角形外角性质的理解和应用，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知∠DCA是△ABC的外角，解题时有两种思路：思路1，直接利用三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，已知外角度数和其中一个不相邻内角的度数，作差即可求出∠A的度数；思路2，先根据平角的定义求出∠ACB的度数，再利用三角形内角和为180°计算∠A的度数，两种方法都可得到结果，其中利用外角性质计算更简便。
【解析】
方法1：利用三角形外角性质求解
∵ ∠DCA是△ABC的外角
∴ 根据三角形外角的性质可得：$∠ DCA = ∠ A + ∠ B$
已知$∠ DCA=100°$，$∠ B=55°$
∴ $∠ A = ∠ DCA - ∠ B = 100° - 55° = 45°$
方法2：利用平角和三角形内角和求解
∵ 点B、C、D在同一直线上，$∠ DCA=100°$
∴ $∠ ACB = 180° - ∠ DCA = 180° - 100° = 80°$
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$
代入$∠ B=55°$，$∠ ACB=80°$
∴ $∠ A = 180° - 55° - 80° = 45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角形外角性质的理解和应用，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，外角$∠ ACE=110°$，则外角$∠ 1$的度数是
130°
。答案
2. 130°
解析
【分析】
要计算外角∠1的度数，我们可以按以下思路推导：首先观察已知条件，已知△ABC的内角∠A=60°，外角∠ACE=110°。根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠ACE恰好是与∠A、∠ABC不相邻的外角，因此可以先求出∠ABC的度数；再根据邻补角的性质，∠1和∠ABC组成平角，和为180°，代入∠ABC的度数即可求出∠1。也可以先通过邻补角求出∠ACB，再用三角形内角和定理求∠ABC，两种思路均可行。
【解析】
∵∠ACE是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$
已知$∠ ACE=110°$，$∠ A=60°$，代入得：
$∠ ABC = ∠ ACE - ∠ A = 110° - 60° = 50°$
又
∵∠1与∠ABC互为邻补角，即$∠ 1 + ∠ ABC = 180°$
∴$∠ 1 = 180° - ∠ ABC = 180° - 50° = 130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
三角形外角性质、邻补角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础计算题型，核心考察三角形角的相关性质的应用，解题的关键是准确识别外角对应的不相邻内角，理清各角之间的数量关系，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
要计算外角∠1的度数，我们可以按以下思路推导：首先观察已知条件，已知△ABC的内角∠A=60°，外角∠ACE=110°。根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠ACE恰好是与∠A、∠ABC不相邻的外角，因此可以先求出∠ABC的度数；再根据邻补角的性质，∠1和∠ABC组成平角，和为180°，代入∠ABC的度数即可求出∠1。也可以先通过邻补角求出∠ACB，再用三角形内角和定理求∠ABC，两种思路均可行。
【解析】
∵∠ACE是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ ACE = ∠ A + ∠ ABC$
已知$∠ ACE=110°$，$∠ A=60°$，代入得：
$∠ ABC = ∠ ACE - ∠ A = 110° - 60° = 50°$
又
∵∠1与∠ABC互为邻补角，即$∠ 1 + ∠ ABC = 180°$
∴$∠ 1 = 180° - ∠ ABC = 180° - 50° = 130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
三角形外角性质、邻补角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础计算题型，核心考察三角形角的相关性质的应用，解题的关键是准确识别外角对应的不相邻内角，理清各角之间的数量关系，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
3. 如图，AB//CD，DE交AB于点F。若∠D=120°，∠B=50°，则∠E的度数是
70°
。答案
3. 70°
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知AB//CD，利用平行线的内错角相等性质，得到∠D与∠BFD相等；再根据对顶角相等的性质，得到△EFB的外角∠AFE的度数；最后利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知∠B的度数，即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD（已知）
∴ ∠BFD = ∠D = 120°（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠AFE与∠BFD是对顶角
∴ ∠AFE = ∠BFD = 120°（对顶角相等）
又
∵ ∠AFE是△EFB的外角
∴ ∠AFE = ∠E + ∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
∴ ∠E = ∠AFE - ∠B = 120° - 50° = 70°
【答案】
70°
【知识点】
平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理
【点评】
本题是几何基础计算题，是平行线与三角形性质结合的典型考题，解题的关键是准确识别图中的内错角、对顶角和外角，结合性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据已知AB//CD，利用平行线的内错角相等性质，得到∠D与∠BFD相等；再根据对顶角相等的性质，得到△EFB的外角∠AFE的度数；最后利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知∠B的度数，即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD（已知）
∴ ∠BFD = ∠D = 120°（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠AFE与∠BFD是对顶角
∴ ∠AFE = ∠BFD = 120°（对顶角相等）
又
∵ ∠AFE是△EFB的外角
∴ ∠AFE = ∠E + ∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）
∴ ∠E = ∠AFE - ∠B = 120° - 50° = 70°
【答案】
70°
【知识点】
平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理
【点评】
本题是几何基础计算题，是平行线与三角形性质结合的典型考题，解题的关键是准确识别图中的内错角、对顶角和外角，结合性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
4. 证明命题“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角”。请根据题意画出图形，并结合图形，写出已知、求证和证明。
已知:如图，
求证:
证明:
已知:如图，
∠ABD
是△ABC
的外角。求证:
∠ABD＞∠A
，∠ABD＞∠C
。证明:
答案
已知:如图，∠ABD 是△ABC 的外角。
求证:∠ABD＞∠A，∠ABD＞∠C。
证明:因为∠ABD=∠A+∠C，所以∠ABD＞∠A，∠ABD＞∠C。
解析
【分析】
解题时首先结合三角形外角的定义识别图形中的外角：观察图形可得，∠ABD是△ABC的边CB的延长线与边BA组成的角，属于△ABC的外角。接下来明确求证内容是该外角大于任意一个和它不相邻的内角（即∠A和∠C）。证明时可利用已学的三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，再结合正数的和大于其中任意一个正数的性质，即可推出外角大于不相邻内角的结论。
【解析】
1. 填写已知：根据外角定义，可知∠ABD是△ABC的外角，因此已知部分填：∠ABD，△ABC。
2. 填写求证：要证三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，对应本题就是∠ABD＞∠A，∠ABD＞∠C。
3. 证明：根据三角形外角的性质，可得∠ABD等于与它不相邻的两个内角∠A和∠C的和，即∠ABD=∠A+∠C。由于三角形的内角度数均为正数，因此两个正数的和大于其中任意一个加数，可推出∠ABD＞∠A，∠ABD＞∠C，结论得证。
【答案】
已知:如图，∠ABD 是△ABC 的外角。
求证:∠ABD＞∠A，∠ABD＞∠C。
证明:因为∠ABD=∠A+∠C，所以∠ABD＞∠A，∠ABD＞∠C。
【知识点】
三角形外角性质；角的大小比较
【点评】
本题是几何证明的基础题型，主要考查对三角形外角定义、性质的理解和简单逻辑推理能力，掌握该性质是后续解决复杂角度计算和证明题的基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合三角形外角的定义识别图形中的外角：观察图形可得，∠ABD是△ABC的边CB的延长线与边BA组成的角，属于△ABC的外角。接下来明确求证内容是该外角大于任意一个和它不相邻的内角（即∠A和∠C）。证明时可利用已学的三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，再结合正数的和大于其中任意一个正数的性质，即可推出外角大于不相邻内角的结论。
【解析】
1. 填写已知：根据外角定义，可知∠ABD是△ABC的外角，因此已知部分填：∠ABD，△ABC。
2. 填写求证：要证三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，对应本题就是∠ABD＞∠A，∠ABD＞∠C。
3. 证明：根据三角形外角的性质，可得∠ABD等于与它不相邻的两个内角∠A和∠C的和，即∠ABD=∠A+∠C。由于三角形的内角度数均为正数，因此两个正数的和大于其中任意一个加数，可推出∠ABD＞∠A，∠ABD＞∠C，结论得证。
【答案】
已知:如图，∠ABD 是△ABC 的外角。
求证:∠ABD＞∠A，∠ABD＞∠C。
证明:因为∠ABD=∠A+∠C，所以∠ABD＞∠A，∠ABD＞∠C。
【知识点】
三角形外角性质；角的大小比较
【点评】
本题是几何证明的基础题型，主要考查对三角形外角定义、性质的理解和简单逻辑推理能力，掌握该性质是后续解决复杂角度计算和证明题的基础。
【难度系数】
0.9
5. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠B=∠D。求证:∠E=∠F。
答案
5. 因为 AB //CD,所以∠EAB=∠D。因为∠B=∠D,所以∠EAB=∠B,所以 DE//BF,所以∠E=∠F。
解析
【分析】
要证明∠E=∠F，可通过证明DE//BF，利用“两直线平行，内错角相等”推导得到。首先根据已知AB//CD，由平行线的同位角相等可得∠EAB=∠D；再结合已知∠B=∠D，通过等量代换得到∠EAB=∠B，这组角是DE、BF被AB所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”可推出DE//BF，最后由平行线的性质即可得∠E=∠F。
【解析】
证明：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠EAB = ∠D（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠B = ∠D（已知），
∴ ∠EAB = ∠B（等量代换），
∴ DE//BF（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠E = ∠F（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
∠E=∠F
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题属于基础证明题，主要考查平行线的性质与判定的综合应用，解题时需理清逻辑顺序，先由平行线得角相等，再由角相等推平行线，最终得到待证的角相等，能帮助学生巩固平行线相关定理的应用，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明∠E=∠F，可通过证明DE//BF，利用“两直线平行，内错角相等”推导得到。首先根据已知AB//CD，由平行线的同位角相等可得∠EAB=∠D；再结合已知∠B=∠D，通过等量代换得到∠EAB=∠B，这组角是DE、BF被AB所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”可推出DE//BF，最后由平行线的性质即可得∠E=∠F。
【解析】
证明：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠EAB = ∠D（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠B = ∠D（已知），
∴ ∠EAB = ∠B（等量代换），
∴ DE//BF（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠E = ∠F（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
∠E=∠F
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题属于基础证明题，主要考查平行线的性质与判定的综合应用，解题时需理清逻辑顺序，先由平行线得角相等，再由角相等推平行线，最终得到待证的角相等，能帮助学生巩固平行线相关定理的应用，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
