24.新考法 新定义问题(8分)定义一种新运算“☆”，观察下列式子：
1☆4=1×3+4×2=11；
3☆(-1)=3×3+(-1)×2=7；
5☆4=5×3+4×2=23；
4☆(-2)=4×3+(-2)×2=8；
……
若a,b符合上述式子的规律，根据上述信息，回答下列问题.
(1)a☆b=;(用含a,b的代数式表示)
(2)已知a☆b=2,求(a−2b)☆(3a+6b)的值.

24. 解:(1)$3a+2b$ ............................ 2分
(2)因为$a☆b=2$,
所以$3a+2b=2$, ............................ 3分
所以$(a-2b)☆(3a+6b)=3(a-2b)+2(3a+6b)$ ... 5分
$=3a-6b+6a+12b$
$=9a+6b$ ............................ 6分
$=3(3a+2b)$ ............................ 7分
$=6$. .................................... 8分

25. 新考法 代数推理(10分)小敏和小华对四位数$\overline{abcd}$($a,b,c,d$均为不超过9的正整数)进行了观察、猜想,请你帮助他们一起完成探究.
(1)这个四位数可用含$a,b,c,d$的代数式表示为.
(2)小敏尝试将一些四位数倒排后,再与原数相加,发现和都为11的倍数.例如,$1\ 234+4\ 321=5\ 555=505× 11$,$4\ 258+8\ 524=12\ 782=1\ 162× 11$.
你认为上述结论对于一般的$\overline{abcd}+\overline{dcba}$也成立吗?请说明理由.
(3)小华猜想:若一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.
例如,判断491 678能否被11整除.
因为奇数位数字之和为$9+6+8=23$,偶数位数字之和为$4+1+7=12$,$23-12=11$,所以491 678能被11整除.这种方法叫作奇偶位差法.
请你帮小华验证猜想:对于一个四位数$\overline{abcd}$($a,b,c,d$均为不超过9的正整数),若满足$(b+d)-(a+c)=22$,则四位数$\overline{abcd}$能被11整除.

25. 解:(1)$1000a+100b+10c+d$ ..................... 3分
(2)成立.理由如下:
因为四位数$\overline{abcd}$可表示为$1000a+100b+10c+d$,
四位数$\overline{dcba}$可表示为$1000d+100c+10b+a$, ... 4分
所以$\overline{abcd}+\overline{dcba}=1000a+100b+10c+d+1000d+100c+10b+a$
$=1001a+110b+110c+1001d$
$=11(91a+10b+10c+91d)$, ..................... 5分
所以一般的$\overline{abcd}+\overline{dcba}$也能被 11 整除. ........ 6分
(3)$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$
$=a·(1001-1)+b·(99+1)+c·(11-1)+d$
$=(1001a+99b+11c)+(-a+b-c+d)$
$=11(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$. ............ 8分
因为$(b+d)-(a+c)=22=11×2$,
所以$\overline{abcd}=11(91a+9b+c)+11×2=11(91a+9b+c+2)$, ........ 9分
所以四位数$\overline{abcd}$能被 11 整除. ................ 10分