1.多解法 如图，AB//CD，P 为 AB，CD 之间的一点，已知∠2 = 28°，∠BPC = 58°，则∠1 的度数为()

A.20°
B.30°
C.40°
D.35°

1. B　【解法一】作辅助线构造内错角相等:过点P作射线PN//AB,如图①.
∵PN//AB,AB//CD,
∴PN//CD,
∴∠4=∠2=28°,
∴∠3=∠BPC−∠4=58°−28°=30°,
∵PN//AB,
∴∠3=∠1,
∴∠1=30°.故选B.
　
【解法二】作辅助线构造同旁内角互补:过点P作射线PM//AB,如图②.
∵PM//AB,AB//CD,
∴PM//CD,
∴∠4=180°−∠2=180°−28°=152°,
∵∠4+∠BPC+∠3=360°,
∴∠3=360°−∠BPC−∠4=360°−58°−152°=150°,
∵AB//PM,
∴∠1=180°−∠3=180°−150°=30°.
故选B.

2.「2025 安徽阜阳临泉模拟」如图所示的是某型号支架的示意图，EO 可以绕点 O 上下转动，OA⊥BC，∠B = 25°，∠O = 30°，当 EO//AB 时，EO 需向上转动()

A.25°
B.30°
C.35°
D.40°

2. C　如图,过点O作OD//AB,过点C作CF//AB.

∵OA⊥BC,
∴∠OCB=90°,即∠2+∠3=90°.
∵CF//AB,
∴∠2=∠B=25°.
∴∠3=90°−∠2=90°−25°=65°.
∵OD//AB,CF//AB,
∴OD//CF;
∴∠DOA=∠3=65°,即∠1+∠4=65°.
∵∠1=30°,
∴∠4=65°−∠1=35°,
即∠DOE=35°,
∴当EO//AB时,EO需向上转动35°,故选C.

3.「2025 河南周口项城月考」如图，已知 AB//CD，BE 和 DF 分别平分∠ABF 和∠CDE，若∠ABF = 60°，∠CDE = 50°，则∠E 和∠F 的大小关系为()

A.∠E ＞ ∠F
B.∠E ＜ ∠F
C.∠E = ∠F
D.无法判断

3. B
∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE,
∴∠ABE=∠FBE=$\frac{1}{2}$∠ABF=30°,∠CDF=∠EDF=$\frac{1}{2}$∠CDE=25°,
如图,过点E作EG//AB,过点F作FH//AB,

∵AB//CD,
∴EG//FH//AB//CD,
∴∠BEG=∠ABE=30°,∠BFH=∠ABF=60°,∠CDF =∠HFD=25°,∠CDE=∠DEG=50°,
∴∠BED=∠BEG+∠DEG=80°,∠BFD=∠BFH+∠DFH=85°,
∴∠BED＜∠BFD.故选B.

4.「2025 河南郑州桐柏一中期中」如图，AB//CD，ME⊥EF，则α，β，γ之间的关系是()

A.β = α + γ
B.α + β + γ = 180°
C.α + β - γ = 90°
D.β + γ - α = 90°

4. C　过点E作EH//AB,过点F作FN//AB,如图所示，

∵AB//CD,
∴EH//AB//CD//FN,
∴∠MEH=∠BME=α,∠FEH=∠EFN,∠NFG=∠FGC=γ.
∵ME⊥EF,
∴∠MEF=90°,
∴∠FEH=∠MEF−∠MEH=90°−α.
∵∠EFG=β,
∴∠EFN=∠EFG−∠NFG=β−γ,
∵∠FEH=∠EFN,
∴90°−α=β−γ,
∴α+β−γ=90°.
故选C.

5.整体思想 如图所示，AB//CD，3∠ABF = 2∠ABE，3∠CDF = 2∠CDE，则∠E : ∠F =.

5. 答案　3:2
解析　如图,过点F作l₂//CD,过点E作l₁//CD,

∵AB//CD,
∴l₁//l₂//AB//CD
∴　∠1=∠CDF,∠2=∠ABF,∠3=∠CDE,∠4 =∠ABE,
∴∠DFB=∠1+∠2=∠CDF+∠ABF,∠BED=∠3+∠4=∠CDE+∠ABE,
∵3∠ABF=2∠ABE,3∠CDF=2∠CDE,
∴∠ABF=$\frac{2}{3}$∠ABE,∠CDF=$\frac{2}{3}$∠CDE,
∴∠BFD=∠1+∠2=∠CDF+∠ABF=$\frac{2}{3}$(∠CDE+∠ABE)=$\frac{2}{3}$∠BED,
即∠BED:∠BFD=3:2.

6.「2025 江苏徐州西苑中学期末」
（1）如图①，AB//CD，试问∠2 与∠1 + ∠3 的关系是什么？并说明理由.
（2）如图②，AB//CD，试问∠2 + ∠4 与∠1 + ∠3 + ∠5 的关系是什么？请直接写出结论.
（3）如图③，AB//CD，试问∠2 + ∠4 + ∠6 与∠1 + ∠3 + ∠5 + ∠7 的关系是什么？请直接写出结论.

6. 解析　(1)∠2=∠1+∠3.理由如下:
如图,过点E作EF//AB,

∵AB//CD,
∴AB//EF//CD,
∴∠1=∠BEF,∠3=∠CEF,
∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3.
(2)∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.
详解:如图,分别过点E,G,M作EF//AB,GH//AB,MN //AB,

∵AB//CD,
∴AB//CD//EF//GH//MN;
∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠CMN=∠5,
∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5.
(3)∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
详解:如图,分别过点E,G,M,K,P作EF//AB,GH//AB,MN//AB,KL//AB,PQ//AB,

∵AB//CD,
∴AB//CD//EF//GH//MN//KL//PQ,
∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠KMN=∠LKM,∠LKP=∠KPQ,∠QPC=∠7,
∴∠2+∠4+∠6=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠KMN+∠KPQ+∠QPC=∠1+∠EGH+∠HGM+∠LKM+∠LKP +∠7=∠1+∠3+∠5+∠7.

7.多解法「2025 山东青岛二十六中 期 中」如图所示的是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1 = 29°，∠2 = 50°，则∠3 的度数为()


A.139°
B.149°
C.159°
D.169°

7. C　如图,过点E作EF//AB.

【解法一】
∵AB//CD,
∴CD//EF,
∴∠DEF=∠1=29°.
∵∠2=50°,
∴∠BEF=∠2−∠DEF=50°−29°=21°.
∵EF//AB,
∴∠3=180°−∠BEF=180°−21°=159°,
故选C.
【解法二】
∵EF//AB,
∴∠3+∠BEF=180°.
∵AB//CD,
∴CD//EF,
∴∠4+∠DEF=180°.
∴∠3+∠BEF+∠4+∠DEF=360°,
即∠3+∠2+∠4=360°.
∵∠2=50°,
∴∠3+∠4=360°−50°=310°,
∵∠1=29°,
∴∠4=180°−∠1=180°−29°=151°.
∴∠3=310°−∠4=310°−151°=159°.
故选C.