8.「2025 浙江金华义乌期中」某景区电动升降栏杆的示意图如图所示，BA 垂直地面 AE 于 A，当 CD 平行于地面 AE 时，∠ABC + ∠BCD =()


A.180°
B.210°
C.250°
D.270°

8. D　过点B作BF//AE,如图,

∵CD//AE,
∴BF//CD,
∴∠BCD+∠CBF=180°.
∵AB⊥AE,BF//AE,
∴AB⊥BF.
∴∠ABF=90°.
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=90°+180°=270°.故选D.

9.(1)如图①，∠CEF = 90°，点 B 在射线 EF 上，AB//CD.若∠ABE = 130°，求∠C 的度数.
(2)如图②，∠CEF = 120°，点 B 在射线 EF 上，AB//CD.猜想∠ABE 与∠C 的数量关系，并说明理由.
(3)如图③，在(2)的条件下，作 GC⊥CE，垂足为 C，反向延长 CD 至 H，若∠GCH = θ，则∠ABE 的度数为(请用含θ的式子表示).

9. 解析　(1)如图①,过E作EK//AB,
则∠ABE+∠1=180°,
∴∠1=180°−∠ABE=50°,
∵∠CEF=90°,
∴∠2=90°−∠1=40°,
∵AB//CD,EK//AB,
∴EK//CD
∴∠C=∠2=40°.
　
(2)∠ABE−∠C=60°,
理由:如图②,过E作EK//AB,
则∠ABE+∠1=180°,
∴∠1=180°−∠ABE,
∵AB//CD,EK//AB,
∴EK//CD,
∴∠C=∠2.
∵∠CEF=∠1+∠2=120°,
∴180°−∠ABE+∠C=120°,
∴∠ABE−∠C=180°−120°=60°.
(3)150°−θ.

10.「2025 江苏镇江模拟」在数学活动课上，小丽同学将含 30°角的直角三角尺的一个顶点按如图所示的方式放置在直尺的一边上，测得∠1 = 36°，则∠2 的度数是()

A.56°
B.64°
C.72°
D.66°

10. D　如图,过点E作EM//AB,

∵AB//CD,
∴AB//EM//CD,
∴∠3=∠1=36°,∠MEG=∠2.
∵∠FEH=30°,
∴∠MEG=∠3+∠FEH=36°+30°=66°.
∴∠2=∠MEG=66°.故选D.

11.「2025 天津滨海新区期中」如图，已知 AB//CD，E，F 是直线 AB 上方两点，连接 AE，CE，AF，CF，已知 AF 平分∠BAE，且∠ECF = $\frac{1}{3}$∠ECD.若∠E = 15°，∠ECD = 75°，则∠F 的度数为()

A.10°
B.15°
C.20°
D.30°

11. C　如图,过点E作EM//AB,过点F作FN//AB.

∵∠ECD=75°,∠ECF=$\frac{1}{3}$∠ECD,
∴∠1=50°.
∵AB//CD,
∴AB//CD//EM//FN.
∴∠4+∠AEC=∠ECD=75°.
∵∠AEC=15°,
∴∠4=75°−15°=60°.
∵EM//AB,
∴∠EAB=∠4=60°.
∵AF平分∠BAE,
∴∠3=$\frac{1}{2}$∠EAB=30°.
∵FN//AB,
∴∠2=∠3=30°.
∵FN//CD,
∴∠2+∠AFC=∠1=50°.
∴∠AFC=50°−30°=20°.故选C.

12.已知 AB//CD，点 E，F 分别在 AB，CD 上.
（1）如图 1，点 P 在 AB 的上方，则∠PEA，∠PFC，∠EPF 之间有何数量关系？请说明理由.
（2）如图 2，在（1）的条件下，若∠EPF = 60°，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点 G，求∠G 的度数.

12. 解析　(1)∠PFC=∠PEA+∠EPF.理由如下:
如图,过点P作PN//AB,

因为AB//CD,所以AB//PN//CD,
所以∠PEA=∠NPE,∠FPN=∠PFC,
所以∠PFC=∠FPN=∠NPE+∠EPF=∠PEA+∠EPF,即∠PFC=∠PEA+∠EPF.
(2)如图,过点G作AB的平行线GH,

因为GH//AB,AB//CD,所以GH//AB//CD,
所以∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG,
又因为∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,所以∠HGE=∠AEG=$\frac{1}{2}$∠PEA,∠HGF=∠CFG=$\frac{1}{2}$∠PFC,
由(1)知∠PFC=∠EPF+∠PEA,
所以∠HGF=$\frac{1}{2}$(∠EPF+∠PEA),
所以∠EGF=∠HGF−∠HGE=$\frac{1}{2}$(∠EPF+∠PEA)−$\frac{1}{2}$∠PEA=$\frac{1}{2}$∠EPF,
因为∠EPF=60°,所以∠EGF=30°.