9. 「2025 河南漯河临颍期中改编，」下列命题中，真命题的个数为()
①同一平面内，不重合的两条直线一定互相平行；
②有一条公共边的角叫邻补角；
③如果 $ a = b $，那么 $ a = b $；
④任何数的平方都大于 0；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离。

A.1
B.2
C.3
D.4

9. A ①同一平面内,不重合的两条直线的位置关系是相交或平行,故原命题是假命题;②邻补角除了有一条公共边,还要满足另一边互为反向延长线,故原命题是假命题;③如果$a = b$,那么$|a| = |b|$,故原命题是真命题;④$0^{2}=0$,故原命题是假命题;⑤垂线段是一条线段,点到直线的距离是这个点到这条直线的垂线段的长度,故原命题是假命题.故选A.

10. 「2025 福建莆田中山中学期中，」如图，已知 $ AB // CD $，直线 $ AD $ 与直线 $ BC $ 有公共点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是()


A.$ ∠ 1 = ∠ 4 $
B.$ ∠ 2 ≠ ∠ 3 $
C.$ ∠ 1 ≠ ∠ 3 $
D.$ ∠ B ≠ ∠ 3 $

10. B A.$\because AB// CD$,$\therefore ∠1 = ∠4$,$\therefore$不能作为反例,故不符合题意;B.虽然$∠2$与$∠3$是内错角,但$AD$与$BC$不平行,$\therefore ∠2≠∠3$,$\therefore$可以作为反例,故符合题意;C.$\because ∠1$与$∠3$是同旁内角,不是内错角,$\therefore$不能作为反例,故不符合题意;D.$\because ∠B$与$∠3$是同旁内角,不是内错角,$\therefore$不能作为反例,故不符合题意.故选B.

11. 「2025 上海黄浦期中，」如图，已知点 $ E $，$ F $ 分别在 $ AB $，$ CD $ 上，连接 $ EC $，$ BF $ 交 $ AD $ 于点 $ G $，$ H $。有以下三个论断：① $ ∠ 1 = ∠ 2 $；② $ ∠ B = ∠ C $；③ $ AB // CD $。
（1）请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题。
（2）选择（1）中的一个真命题加以证明。

11. 解析 (1)命题1:①②为题设,③为结论,该命题是真命题;命题2:①③为题设,②为结论,该命题是真命题;命题3:②③为题设,①为结论,该命题是真命题.
(2)答案不唯一,任选择一个命题加以证明即可.
命题1的证明:$\because ∠1 = ∠2$,$∠1 = ∠CGD$,
$\therefore ∠2 = ∠CGD$.$\therefore CE// BF$,$\therefore ∠C = ∠BFD$.
$\because ∠B = ∠C$,$\therefore ∠B = ∠BFD$,$\therefore AB// CD$.
命题2的证明:$\because ∠1 = ∠2$,$∠1 = ∠CGD$,
$\therefore ∠2 = ∠CGD$,$\therefore CE// BF$,$\therefore ∠C = ∠BFD$.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠B = ∠BFD$,$\therefore ∠B = ∠C$.
命题3的证明:$\because AB// CD$,$\therefore ∠B = ∠BFD$.
$\because ∠B = ∠C$,$\therefore ∠C = ∠BFD$,
$\therefore CE// BF$,$\therefore ∠2 = ∠CGD$,
$\because ∠1 = ∠CGD$,$\therefore ∠1 = ∠2$.

12. 推理能力 如图，直线 $ MN $，$ PQ $ 互相平行，一块含 $ 30° $ 角的直角三角尺 $ ABC $ 放置在图中，直角顶点 $ C $ 在两条平行线之间，$ A $ 在 $ MN $ 上方，$ B $ 在 $ PQ $ 下方，$ AC $，$ AB $ 分别交 $ MN $ 于点 $ D $，$ E $，$ BC $，$ AB $ 分别交 $ PQ $ 于点 $ F $，$ G $。
(1)若 $ ∠ ADE = 43° $，求 $ ∠ CFG $ 的度数。
(2)点 $ H $ 为线段 $ CA $ 上一点，若，求证：。从①②中选择一个题设，③④中选择一个正确的结论，将序号填在横线上，并证明。
① $ ∠ HFC + ∠ CFG = 180° $；② $ 2∠ HFC + ∠ CFG = 180° $；③ $ ∠ HFG - \frac{3}{2}∠ ADE $ 是定值；④ $ \frac{∠ HFG}{∠ ADE} $ 是定值。

12. 解析 (1)如图,过$C$作$CK// MN$,

$\therefore ∠ACK = ∠ADE = 43°$,
$\because ∠ACB = 90°$,
$\therefore ∠KCF = ∠ACF - ∠ACK = 90°-43°= 47°$.
$\because MN// PQ$,$CK// MN$,$\therefore CK// PQ$,
$\therefore ∠CFP = ∠KCF = 47°$,$\therefore ∠CFG = 180°-47°= 133°$.
(2)当选题设①时,结论④正确.
证明:如图,

同(1)得$∠CFP = 90°-∠ADE$,$∠CFG = 90°+∠ADE$,
$\because ∠HFC + ∠CFG = 180°$,
$\therefore ∠HFC = 180°-∠CFG = 90°-∠ADE$,
$\therefore ∠HFG = ∠CFG - ∠HFC = 2∠ADE$,
$\therefore \frac{∠HFG}{∠ADE}=2$,为定值.
当选题设②时,结论③正确.
证明:同(1)得$∠CFP = 90°-∠ADE$,
$\because 2∠HFC + ∠CFG = 180°$,$\therefore 2∠HFC = 180°-∠CFG$,
$\because ∠CFP = 180°-∠CFG$,$\therefore 2∠HFC = ∠CFP$,
$\because ∠CFP = 90°-∠ADE$,$\therefore 2∠HFC = 90°-∠ADE$,
$\therefore ∠HFC = 45°-\frac{1}{2}∠ADE$,
$\therefore ∠HFG = 180°-∠PFC - ∠HFC = 180°-(90°-∠ADE)-(45°-\frac{1}{2}∠ADE)=45°+\frac{3}{2}∠ADE$,$\therefore ∠HFG-\frac{3}{2}∠ADE = 45°$,为定值.