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12. 若$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-6x-2026=0$的两个实数根，则代数式$x^{2}_{1}-4x_{1}+2x_{2}$的值等于
2 038
.答案
∵ $x_1,x_2$是方程$x^{2}-6x-2026=0$的两个实数根，
∴ $x_1+x_2=6$，$x_1^2-6x_1-2026=0$。
∴ $x_1^2=6x_1+2026$。
∴ $x_1^2-4x_1+2x_2=6x_1+2026-4x_1+2x_2=2026+2(x_1+x_2)=2026+2×6=2038$。
解析
【分析】
这道题如果直接求解方程的两个根再代入代数式计算，数值会非常复杂，因此优先选用整体代换的思路解题：
1. 首先利用一元二次方程根的定义：因为$x_1$是方程的根，将$x_1$代入原方程可以得到$x_1^2$和$x_1$一次项的等量关系，把所求代数式里的二次项$x_1^2$替换为一次式，实现降次；
2. 降次后整理代数式，可凑出含$x_1+x_2$的整体形式，再通过韦达定理（根与系数的关系）直接得到两根之和的数值，整体代入即可快速算出结果，无需单独求出两个根的具体值。
【解析】
∵ $x_1,x_2$是方程$x^{2}-6x-2026=0$的两个实数根，
∴ ① 根据方程根的定义，将$x_1$代入原方程得：$x_1^2 -6x_1 -2026=0$，变形可得$x_1^2=6x_1+2026$；
② 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6$。
将$x_1^2=6x_1+2026$代入所求代数式：
$\begin{aligned}x_1^2 -4x_1 +2x_2&=6x_1 +2026 -4x_1 +2x_2\\&=2x_1 +2x_2 +2026\\&=2(x_1+x_2)+2026\end{aligned}$
把$x_1+x_2=6$代入上式，得：
原式$=2×6 +2026=12+2026=2038$。
【答案】
2038
【知识点】
一元二次方程根的性质；根与系数的关系；整体代入求值
【点评】
本题属于一元二次方程的典型求值题型，核心考查降次思想与整体代换技巧，避免了直接求解复杂无理根的繁琐运算，解题时要注意优先利用根的定义对高次项降次，再结合韦达定理整体代入，可大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
这道题如果直接求解方程的两个根再代入代数式计算，数值会非常复杂，因此优先选用整体代换的思路解题：
1. 首先利用一元二次方程根的定义：因为$x_1$是方程的根，将$x_1$代入原方程可以得到$x_1^2$和$x_1$一次项的等量关系，把所求代数式里的二次项$x_1^2$替换为一次式，实现降次；
2. 降次后整理代数式，可凑出含$x_1+x_2$的整体形式，再通过韦达定理（根与系数的关系）直接得到两根之和的数值，整体代入即可快速算出结果，无需单独求出两个根的具体值。
【解析】
∵ $x_1,x_2$是方程$x^{2}-6x-2026=0$的两个实数根，
∴ ① 根据方程根的定义，将$x_1$代入原方程得：$x_1^2 -6x_1 -2026=0$，变形可得$x_1^2=6x_1+2026$；
② 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6$。
将$x_1^2=6x_1+2026$代入所求代数式：
$\begin{aligned}x_1^2 -4x_1 +2x_2&=6x_1 +2026 -4x_1 +2x_2\\&=2x_1 +2x_2 +2026\\&=2(x_1+x_2)+2026\end{aligned}$
把$x_1+x_2=6$代入上式，得：
原式$=2×6 +2026=12+2026=2038$。
【答案】
2038
【知识点】
一元二次方程根的性质；根与系数的关系；整体代入求值
【点评】
本题属于一元二次方程的典型求值题型，核心考查降次思想与整体代换技巧，避免了直接求解复杂无理根的繁琐运算，解题时要注意优先利用根的定义对高次项降次，再结合韦达定理整体代入，可大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-a-2=0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$，且$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=16$，则$a$的值为
-1
。答案
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-a-2=0$有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta=[-2(a-1)]^2-4×1×(a^2-a-2)＞0$。
∴ $a＜3$。
∵ $x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-a-2=0$的两个实数根，
∴ $x_1+x_2=2(a-1)$，$x_1x_2=a^2-a-2$。
∴ $x_1^2+x_2^2-x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$，即$[2(a-1)]^2-3(a^2-a-2)=16$。整理，得$a^2-5a-6=0$，解得$a_1=-1$，$a_2=6$(不合题意，舍去)。
∴ $a=-1$。
解析
【分析】
解题思路可以按三步梳理：第一，题目明确该一元二次方程有两个不相等的实数根，首先要利用根的判别式Δ＞0求出参数a的初步取值范围，这是后续所有计算的前提，避免得到不符合实根要求的无效解。第二，题目给出的关于两根的代数式$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=16$，可以通过完全平方恒等变形，转化为仅含两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的形式，也就是$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$。第三，根据韦达定理直接写出两根和、两根积关于a的表达式，代入变形后的等式得到关于a的一元二次方程，求解得到a的候选值后，结合第一步得到的a的取值范围舍去不符合条件的解，就能得到最终正确的a值。
【解析】
解：
1. 由方程有两个不相等的实数根，计算判别式：
对于方程$x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-a-2=0$，有：
$\Delta=[-2(a-1)]^2-4×1×(a^2-a-2)＞0$
展开化简得：$4a^2-8a+4-4a^2+4a+8＞0$，即$-4a+12＞0$，解得$a＜3$。
2. 根据韦达定理（根与系数的关系），可得：
两根之和$x_1+x_2=2(a-1)$，两根之积$x_1x_2=a^2-a-2$。
3. 对给定的两根关系式做恒等变形代入：
已知$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=16$，变形得：
$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$
将$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式代入上式：
$[2(a-1)]^2-3(a^2-a-2)=16$
展开整理得：$a^2-5a-6=0$，因式分解解得$a_1=-1$，$a_2=6$。
4. 结合$a＜3$的取值范围，$a=6$不满足方程有两个不等实根的要求，舍去该无效解。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程判别式；韦达定理；完全平方恒等变形
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的经典常规题，最容易出错的点是忽略“方程有两个不相等的实数根”的前提，跳过判别式的计算，直接保留求解得到的两个a值，出现多解错误。要牢记：使用韦达定理处理实根相关问题时，必须先通过判别式确定参数的取值范围，最终得到的参数解都要满足实根的前提要求。
【难度系数】
0.6
解题思路可以按三步梳理：第一，题目明确该一元二次方程有两个不相等的实数根，首先要利用根的判别式Δ＞0求出参数a的初步取值范围，这是后续所有计算的前提，避免得到不符合实根要求的无效解。第二，题目给出的关于两根的代数式$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=16$，可以通过完全平方恒等变形，转化为仅含两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的形式，也就是$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$。第三，根据韦达定理直接写出两根和、两根积关于a的表达式，代入变形后的等式得到关于a的一元二次方程，求解得到a的候选值后，结合第一步得到的a的取值范围舍去不符合条件的解，就能得到最终正确的a值。
【解析】
解：
1. 由方程有两个不相等的实数根，计算判别式：
对于方程$x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-a-2=0$，有：
$\Delta=[-2(a-1)]^2-4×1×(a^2-a-2)＞0$
展开化简得：$4a^2-8a+4-4a^2+4a+8＞0$，即$-4a+12＞0$，解得$a＜3$。
2. 根据韦达定理（根与系数的关系），可得：
两根之和$x_1+x_2=2(a-1)$，两根之积$x_1x_2=a^2-a-2$。
3. 对给定的两根关系式做恒等变形代入：
已知$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=16$，变形得：
$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=16$
将$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式代入上式：
$[2(a-1)]^2-3(a^2-a-2)=16$
展开整理得：$a^2-5a-6=0$，因式分解解得$a_1=-1$，$a_2=6$。
4. 结合$a＜3$的取值范围，$a=6$不满足方程有两个不等实根的要求，舍去该无效解。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程判别式；韦达定理；完全平方恒等变形
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的经典常规题，最容易出错的点是忽略“方程有两个不相等的实数根”的前提，跳过判别式的计算，直接保留求解得到的两个a值，出现多解错误。要牢记：使用韦达定理处理实根相关问题时，必须先通过判别式确定参数的取值范围，最终得到的参数解都要满足实根的前提要求。
【难度系数】
0.6
14. 如果关于 $x$ 的方程 $(x-1)(x^2-2x+\dfrac{k}{4})=0$ 的三个根可以作为一个三角形的三边长,那么实数 $k$ 的取值范围是
$3＜k ≤ 4$
.答案
由题意，得$x-1=0$，$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$。
∴ $\Delta=(-2)^2-4×\frac{k}{4}≥0$，解得$k≤4$。设$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$的两根分别是$m,n(m≥n)$，则$m+n=2$，$mn=\frac{k}{4}$。
∴ $m-n=\sqrt{(m+n)^2-4mn}=\sqrt{4-k}$。根据三角形的三边关系，得$m-n＜1＜m+n$，即$\sqrt{4-k}＜1＜2$。
∴ $3＜k≤4$。
∴ $\Delta=(-2)^2-4×\frac{k}{4}≥0$，解得$k≤4$。设$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$的两根分别是$m,n(m≥n)$，则$m+n=2$，$mn=\frac{k}{4}$。
∴ $m-n=\sqrt{(m+n)^2-4mn}=\sqrt{4-k}$。根据三角形的三边关系，得$m-n＜1＜m+n$，即$\sqrt{4-k}＜1＜2$。
∴ $3＜k≤4$。
解析
【分析】
首先我们先拆解原三次方程，可直接得到其中一个固定根为x=1，剩余两个根是二次方程$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$的两个实根。首先要保证原方程有三个实根，就需要二次方程的判别式非负，先得到k的初步取值上限。接下来三个根要作为三角形的三边长，结合三角形三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，利用韦达定理可以直接得到二次方程两根之和为2，天然大于已知根1，因此只需要满足二次方程两根的差小于1，就能覆盖所有三边约束，最后联立所有不等式即可得到k的最终取值范围。
【解析】
1. 拆分方程得到已知根
原方程$(x-1)(x^2-2x+\frac{k}{4})=0$等价于两个独立方程：$x-1=0$和$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$，直接可得第一个方程的根为$x_1=1$。
2. 保证二次方程有两个实根
要让原方程存在三个实根，二次方程$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$必须有两个实根，因此判别式满足：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×\frac{k}{4} ≥ 0$
化简得$4 - k ≥ 0$，解得$k ≤ 4$。
3. 由韦达定理得到两根关系
设二次方程$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$的两个实根为$m,n$，且$m≥ n$，根据韦达定理可得：
$m + n = 2,\quad mn = \frac{k}{4}$
4. 结合三角形三边关系列不等式
三个根1、m、n要构成三角形三边长，已知$m+n=2＞1$，该条件天然满足，剩余的三边约束等价于最大边与最小边的差小于第三边，即$m-n＜1$。
由完全平方差整体代换可得：
$m-n = \sqrt{(m+n)^2 - 4mn} = \sqrt{4 - k}$
代入$m-n＜1$得：
$\sqrt{4 - k} ＜ 1$
两边平方后化简得$4 - k ＜ 1$，解得$k＞3$。
5. 联立得到最终取值范围
结合$k≤4$，可得$3 ＜ k ≤ 4$。
【答案】
$3＜k≤4$
【知识点】
一元二次方程判别式，韦达定理，三角形三边关系
【点评】
本题是方程性质与几何性质结合的综合题，核心技巧是利用韦达定理整体代换计算两根差，避免直接求根的繁琐计算，很多同学容易遗漏“两边之差小于第三边”的关键约束，或者错误添加不必要的三边和验证步骤，导致结果出错。
【难度系数】
0.4
首先我们先拆解原三次方程，可直接得到其中一个固定根为x=1，剩余两个根是二次方程$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$的两个实根。首先要保证原方程有三个实根，就需要二次方程的判别式非负，先得到k的初步取值上限。接下来三个根要作为三角形的三边长，结合三角形三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，利用韦达定理可以直接得到二次方程两根之和为2，天然大于已知根1，因此只需要满足二次方程两根的差小于1，就能覆盖所有三边约束，最后联立所有不等式即可得到k的最终取值范围。
【解析】
1. 拆分方程得到已知根
原方程$(x-1)(x^2-2x+\frac{k}{4})=0$等价于两个独立方程：$x-1=0$和$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$，直接可得第一个方程的根为$x_1=1$。
2. 保证二次方程有两个实根
要让原方程存在三个实根，二次方程$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$必须有两个实根，因此判别式满足：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×\frac{k}{4} ≥ 0$
化简得$4 - k ≥ 0$，解得$k ≤ 4$。
3. 由韦达定理得到两根关系
设二次方程$x^2-2x+\frac{k}{4}=0$的两个实根为$m,n$，且$m≥ n$，根据韦达定理可得：
$m + n = 2,\quad mn = \frac{k}{4}$
4. 结合三角形三边关系列不等式
三个根1、m、n要构成三角形三边长，已知$m+n=2＞1$，该条件天然满足，剩余的三边约束等价于最大边与最小边的差小于第三边，即$m-n＜1$。
由完全平方差整体代换可得：
$m-n = \sqrt{(m+n)^2 - 4mn} = \sqrt{4 - k}$
代入$m-n＜1$得：
$\sqrt{4 - k} ＜ 1$
两边平方后化简得$4 - k ＜ 1$，解得$k＞3$。
5. 联立得到最终取值范围
结合$k≤4$，可得$3 ＜ k ≤ 4$。
【答案】
$3＜k≤4$
【知识点】
一元二次方程判别式，韦达定理，三角形三边关系
【点评】
本题是方程性质与几何性质结合的综合题，核心技巧是利用韦达定理整体代换计算两根差，避免直接求根的繁琐计算，很多同学容易遗漏“两边之差小于第三边”的关键约束，或者错误添加不必要的三边和验证步骤，导致结果出错。
【难度系数】
0.4
15. 如图,某小区要在长为16 m、宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路的宽为
2
m.答案
设小路的宽为$x\ \mathrm{m}$。根据题意，得$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×12×16$，解得$x=2$或$x=12$(不合题意，舍去)。
∴ 小路的宽为2 m。
∴ 小路的宽为2 m。
解析
【分析】
这是一元二次方程的几何实际应用问题，首先我们设小路的宽度为x m，由于四周小路宽度相等，内部花坛的长需要从空地总长度16m里减去左右两侧的小路宽度，即(16-2x)m，花坛的宽需要从空地总宽度12m里减去上下两侧的小路宽度，即(12-2x)m。接下来根据“花坛所占面积为空地面积的一半”的等量关系，先计算空地总面积，列出关于x的一元二次方程，求解后结合实际场景的取值限制（小路宽度为正，且花坛的长、宽都必须大于0），舍去不符合题意的解，就能得到小路的宽度。
【解析】
解：设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $，
由题意得，内部花坛的长为$ (16-2x) \, \mathrm{m} $，花坛的宽为$ (12-2x) \, \mathrm{m} $，
空地总面积为$ 16 × 12 = 192 \, \mathrm{m}^2 $，根据花坛面积为空地面积的一半，列方程：
$(16-2x)(12-2x) = \frac{1}{2} × 16 × 12$
展开并整理方程：
$4x^2 - 56x + 192 = 96$
化简为标准一元二次方程形式：
$x^2 -14x +24 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-12)=0$
解得$ x_1=2 $，$ x_2=12 $。
检验合理性：当$ x=12 $时，$ 12-2x = -12 ＜ 0 $，不符合实际长度为正的要求，舍去该解。
因此小路的宽为2m。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题是基础的几何类一元二次方程应用题，核心是根据等宽小路的特征正确表示出内部花坛的长和宽，易错点是忽略实际问题的取值限制，没有舍去不符合场景的增根，解题时要注意结合实际意义判断解的有效性。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程的几何实际应用问题，首先我们设小路的宽度为x m，由于四周小路宽度相等，内部花坛的长需要从空地总长度16m里减去左右两侧的小路宽度，即(16-2x)m，花坛的宽需要从空地总宽度12m里减去上下两侧的小路宽度，即(12-2x)m。接下来根据“花坛所占面积为空地面积的一半”的等量关系，先计算空地总面积，列出关于x的一元二次方程，求解后结合实际场景的取值限制（小路宽度为正，且花坛的长、宽都必须大于0），舍去不符合题意的解，就能得到小路的宽度。
【解析】
解：设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $，
由题意得，内部花坛的长为$ (16-2x) \, \mathrm{m} $，花坛的宽为$ (12-2x) \, \mathrm{m} $，
空地总面积为$ 16 × 12 = 192 \, \mathrm{m}^2 $，根据花坛面积为空地面积的一半，列方程：
$(16-2x)(12-2x) = \frac{1}{2} × 16 × 12$
展开并整理方程：
$4x^2 - 56x + 192 = 96$
化简为标准一元二次方程形式：
$x^2 -14x +24 = 0$
因式分解得：
$(x-2)(x-12)=0$
解得$ x_1=2 $，$ x_2=12 $。
检验合理性：当$ x=12 $时，$ 12-2x = -12 ＜ 0 $，不符合实际长度为正的要求，舍去该解。
因此小路的宽为2m。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题是基础的几何类一元二次方程应用题，核心是根据等宽小路的特征正确表示出内部花坛的长和宽，易错点是忽略实际问题的取值限制，没有舍去不符合场景的增根，解题时要注意结合实际意义判断解的有效性。
【难度系数】
0.7
16. 已知等腰三角形的三边长分别为$a,b,3$，且$a,b$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-10x+m+1=0$的两个根，则$m$的值是
24
.答案
∵ $a,b$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-10x+m+1=0$的两个根，
∴ $a+b=-\frac{-10}{1}=10$，$ab=\frac{m+1}{1}=m+1$。由题意，分以下三种情况：① 当$a=3$时，$3+b=10$，
∴ $b=7$。此时三边长分别为3,7,3。
∵ $3+3＜7$，不满足三角形的三边关系，
∴ 无法构成三角形，舍去。② 当$b=3$时，同理，三边无法构成三角形，舍去。③ 当$a=b$时，$a+b=2a=2b=10$，
∴ $a=b=5$。此时三边长分别为5,5,3。
∵ $3+5＞5＞5-3$，
∴ 满足三角形的三边关系。
∴ $m+1=ab=25$。
∴ $m=24$。
解析
【分析】
我们可以按三步思路来解题：1. 已知a、b是给定一元二次方程的两个根，首先利用韦达定理（根与系数的关系），直接快速得到两根之和a+b=10，不需要额外解方程，简化计算过程。2. 结合等腰三角形至少有两边相等的性质，分三类情况讨论：第一种是边长为3的边与a相等，第二种是边长为3的边与b相等，第三种是a和b相等，也就是两条腰为a、b。3. 每算出一组三边长后，必须立刻用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证，筛除不能构成三角形的无效情况，最后对符合条件的情况，用两根之积的韦达定理公式计算出m的值即可。
【解析】
解：
∵ $a,b$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-10x+m+1=0$的两个根，
由一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=10$，$ab=m+1$。
分以下三种情况讨论：
① 当$a=3$时，代入$a+b=10$得$b=7$，此时三角形三边长为3、7、3，
∵ $3+3＜7$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
② 当$b=3$时，代入$a+b=10$得$a=7$，此时三角形三边长为3、7、3，同样不满足三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
③ 当$a=b$时，代入$a+b=10$得$2a=10$，解得$a=b=5$，此时三角形三边长为5、5、3，
∵ $3+5＞5$，$5-3＜5$，完全满足三角形三边关系，可以构成等腰三角形，
∴ $ab=5×5=25$，结合$ab=m+1$得$m+1=25$，解得$m=24$。
【答案】
24
【知识点】
根与系数的关系；等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形和一元二次方程的综合常考题，核心易错点是分情况得到边长后，必须验证三角形三边关系，不少同学会忽略3、3、7无法构成三角形的陷阱，直接算出m=20就得到错误结果，解题时要牢记等腰三角形多解问题必须结合三边关系筛除无效解。
【难度系数】
0.6
我们可以按三步思路来解题：1. 已知a、b是给定一元二次方程的两个根，首先利用韦达定理（根与系数的关系），直接快速得到两根之和a+b=10，不需要额外解方程，简化计算过程。2. 结合等腰三角形至少有两边相等的性质，分三类情况讨论：第一种是边长为3的边与a相等，第二种是边长为3的边与b相等，第三种是a和b相等，也就是两条腰为a、b。3. 每算出一组三边长后，必须立刻用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证，筛除不能构成三角形的无效情况，最后对符合条件的情况，用两根之积的韦达定理公式计算出m的值即可。
【解析】
解：
∵ $a,b$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-10x+m+1=0$的两个根，
由一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=10$，$ab=m+1$。
分以下三种情况讨论：
① 当$a=3$时，代入$a+b=10$得$b=7$，此时三角形三边长为3、7、3，
∵ $3+3＜7$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
② 当$b=3$时，代入$a+b=10$得$a=7$，此时三角形三边长为3、7、3，同样不满足三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
③ 当$a=b$时，代入$a+b=10$得$2a=10$，解得$a=b=5$，此时三角形三边长为5、5、3，
∵ $3+5＞5$，$5-3＜5$，完全满足三角形三边关系，可以构成等腰三角形，
∴ $ab=5×5=25$，结合$ab=m+1$得$m+1=25$，解得$m=24$。
【答案】
24
【知识点】
根与系数的关系；等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形和一元二次方程的综合常考题，核心易错点是分情况得到边长后，必须验证三角形三边关系，不少同学会忽略3、3、7无法构成三角形的陷阱，直接算出m=20就得到错误结果，解题时要牢记等腰三角形多解问题必须结合三边关系筛除无效解。
【难度系数】
0.6
三、解答题（共52分）
17. （8分）解方程：
(1) $x^{2}-4x-5=0.$
(2) $x(x-2)=x-2.$
17. （8分）解方程：
(1) $x^{2}-4x-5=0.$
(2) $x(x-2)=x-2.$
答案
(1) $x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) $x_1=1$，$x_2=2$。
(2) $x_1=1$，$x_2=2$。
解析
【分析】
这道题是求解两个一元二次方程，我们可以优先选择更简便的因式分解法来解题：
1. 对于第(1)题，是标准一般形式的一元二次方程，先观察二次项、常数项的系数，尝试用十字相乘法将左侧二次三项式因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，即可快速得到方程的根；如果不熟悉十字相乘法，也可以用配方法或者求根公式求解。
2. 对于第(2)题，注意不能直接在等式两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x-2=0$对应的根，正确的做法是先移项，将右侧的$(x-2)$整体移到左侧，再提取公因式$(x-2)$进行因式分解，即可得到两个一次方程，求解得到全部根。
【解析】
(1) 对$x^2 -4x -5=0$左侧做十字相乘因式分解：
可得$x^2 -4x -5=(x-5)(x+1)$，
原方程转化为：$(x-5)(x+1)=0$，
令两个一次因式分别为0，得：
$x-5=0$ 或 $x+1=0$，
解得：$x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 对$x(x-2)=x-2$移项，将右侧项移到左侧：
$x(x-2)-(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-1)=0$，
令两个一次因式分别为0，得：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=2$。
【答案】
(1) $x_1=5$，$x_2=-1$；(2) $x_1=1$，$x_2=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考点是因式分解法的规范使用，特别要注意不能随意给等式两边除以含有未知数的整式，避免出现丢根的错误，优先选用因式分解法可以大幅简化计算步骤，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.9
这道题是求解两个一元二次方程，我们可以优先选择更简便的因式分解法来解题：
1. 对于第(1)题，是标准一般形式的一元二次方程，先观察二次项、常数项的系数，尝试用十字相乘法将左侧二次三项式因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，即可快速得到方程的根；如果不熟悉十字相乘法，也可以用配方法或者求根公式求解。
2. 对于第(2)题，注意不能直接在等式两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x-2=0$对应的根，正确的做法是先移项，将右侧的$(x-2)$整体移到左侧，再提取公因式$(x-2)$进行因式分解，即可得到两个一次方程，求解得到全部根。
【解析】
(1) 对$x^2 -4x -5=0$左侧做十字相乘因式分解：
可得$x^2 -4x -5=(x-5)(x+1)$，
原方程转化为：$(x-5)(x+1)=0$，
令两个一次因式分别为0，得：
$x-5=0$ 或 $x+1=0$，
解得：$x_1=5$，$x_2=-1$。
(2) 对$x(x-2)=x-2$移项，将右侧项移到左侧：
$x(x-2)-(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-1)=0$，
令两个一次因式分别为0，得：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$，
解得：$x_1=1$，$x_2=2$。
【答案】
(1) $x_1=5$，$x_2=-1$；(2) $x_1=1$，$x_2=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考点是因式分解法的规范使用，特别要注意不能随意给等式两边除以含有未知数的整式，避免出现丢根的错误，优先选用因式分解法可以大幅简化计算步骤，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.9
18. (9 分)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(2m-1)x-3m^2+m=0$.
(1) 求证:无论 $m$ 为何值,方程总有实数根.
(2) 若 $x_1,x_2$ 是方程的两个实数根,且 $\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=-\dfrac{5}{2}$,求 $m$ 的值.
(1) 求证:无论 $m$ 为何值,方程总有实数根.
(2) 若 $x_1,x_2$ 是方程的两个实数根,且 $\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=-\dfrac{5}{2}$,求 $m$ 的值.
答案
(1)
∵ $\Delta=[-(2m-1)]^2-4(-3m^2+m)=4m^2-4m+1+12m^2-4m=16m^2-8m+1=(4m-1)^2≥0$，
∴ 无论$m$为何值，方程总有实数根。
(2) 根据题意，得$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-3m^2+m$。
∵ $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=-\frac{5}{2}$，
∴ $\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m}-2=-\frac{5}{2}$。整理，得$5m^2-7m+2=0$，解得$m_1=1$，$m_2=\frac{2}{5}$。经检验，$m_1=1$，$m_2=\frac{2}{5}$是该分式方程的解。
∴ $m$的值为1或$\frac{2}{5}$。
∵ $\Delta=[-(2m-1)]^2-4(-3m^2+m)=4m^2-4m+1+12m^2-4m=16m^2-8m+1=(4m-1)^2≥0$，
∴ 无论$m$为何值，方程总有实数根。
(2) 根据题意，得$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-3m^2+m$。
∵ $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=-\frac{5}{2}$，
∴ $\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m}-2=-\frac{5}{2}$。整理，得$5m^2-7m+2=0$，解得$m_1=1$，$m_2=\frac{2}{5}$。经检验，$m_1=1$，$m_2=\frac{2}{5}$是该分式方程的解。
∴ $m$的值为1或$\frac{2}{5}$。
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明一元二次方程总有实数根，我们的核心思路是利用一元二次方程根的判别式性质：只要判别式Δ≥0，方程就一定有实数根，只需要把方程的a、b、c代入Δ的公式计算，再对得到的代数式配方，就能证明它恒大于等于0。第二问给出了两根的分式和的条件，首先想到用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出两根之和、两根之积的表达式，再把要求的$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$通分变形，转化为只用两根和、两根积表示的式子，代入后就能得到关于m的方程，解这个方程之后还要检验，避免出现分式方程的增根，最终得到m的取值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2-(2m-1)x-3m^2+m=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(2m-1)$，常数项$c=-3m^2+m$。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=[-(2m-1)]^2 - 4×1×(-3m^2+m)\\&=4m^2-4m+1 +12m^2 -4m\\&=16m^2-8m+1\\&=(4m-1)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方都大于等于0，所以$(4m-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，因此无论m取任何实数值，该方程总有实数根。
(2) 解：根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），方程的两个根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-3m^2+m$
对条件$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=-\frac{5}{2}$左侧通分变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2$
代入已知条件得：
$\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m} -2 = -\frac{5}{2}$
整理该方程，两边同乘$2(-3m^2+m)$消去分母，展开化简后移项合并同类项得：
$5m^2-7m+2=0$
因式分解得$(5m-2)(m-1)=0$，解得$m_1=1$，$m_2=\frac{2}{5}$。
经检验，$m_1=1$和$m_2=\frac{2}{5}$都使得原分式方程的分母不为0，都是该方程的解。
【答案】
(1) 证明如上，无论m为何值方程总有实数根；(2) $m$的值为$1$或$\frac{2}{5}$
【知识点】
一元二次方程判别式，根与系数关系，分式方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合考题，难度适中，第一问重点考察判别式的计算与完全平方的非负性应用，第二问重点考察对两根对称式的代数变形能力，利用韦达定理将含两根的式子转化为参数m的方程，注意求解后要检验分式方程的根，避免遗漏增根检验的步骤导致失分。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，第一问要证明一元二次方程总有实数根，我们的核心思路是利用一元二次方程根的判别式性质：只要判别式Δ≥0，方程就一定有实数根，只需要把方程的a、b、c代入Δ的公式计算，再对得到的代数式配方，就能证明它恒大于等于0。第二问给出了两根的分式和的条件，首先想到用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出两根之和、两根之积的表达式，再把要求的$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$通分变形，转化为只用两根和、两根积表示的式子，代入后就能得到关于m的方程，解这个方程之后还要检验，避免出现分式方程的增根，最终得到m的取值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2-(2m-1)x-3m^2+m=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(2m-1)$，常数项$c=-3m^2+m$。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=[-(2m-1)]^2 - 4×1×(-3m^2+m)\\&=4m^2-4m+1 +12m^2 -4m\\&=16m^2-8m+1\\&=(4m-1)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方都大于等于0，所以$(4m-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，因此无论m取任何实数值，该方程总有实数根。
(2) 解：根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），方程的两个根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-3m^2+m$
对条件$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=-\frac{5}{2}$左侧通分变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2$
代入已知条件得：
$\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m} -2 = -\frac{5}{2}$
整理该方程，两边同乘$2(-3m^2+m)$消去分母，展开化简后移项合并同类项得：
$5m^2-7m+2=0$
因式分解得$(5m-2)(m-1)=0$，解得$m_1=1$，$m_2=\frac{2}{5}$。
经检验，$m_1=1$和$m_2=\frac{2}{5}$都使得原分式方程的分母不为0，都是该方程的解。
【答案】
(1) 证明如上，无论m为何值方程总有实数根；(2) $m$的值为$1$或$\frac{2}{5}$
【知识点】
一元二次方程判别式，根与系数关系，分式方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合考题，难度适中，第一问重点考察判别式的计算与完全平方的非负性应用，第二问重点考察对两根对称式的代数变形能力，利用韦达定理将含两根的式子转化为参数m的方程，注意求解后要检验分式方程的根，避免遗漏增根检验的步骤导致失分。
【难度系数】
0.6
19. (10 分)如图,某小区计划用 18 m 的铁栅栏,再借助两面外墙(墙足够长)围成一个矩形车棚
ABCD,为了方便出入,在 $CD(CD＞2\ \mathrm{m})$ 边上开了一个 2 m 宽的门(建在 EF 处,另用其他材料). 当车棚的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为 $96\ \mathrm{m}^2$ 的车棚?
ABCD,为了方便出入,在 $CD(CD＞2\ \mathrm{m})$ 边上开了一个 2 m 宽的门(建在 EF 处,另用其他材料). 当车棚的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为 $96\ \mathrm{m}^2$ 的车棚?
答案
根据题意，设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(18+2-x)\ \mathrm{m}$。
∴ $x(18+2-x)=96$，整理，得$x^2-20x+96=0$，解得$x_1=8$，$x_2=12$。当$x=8$时，$BC=18+2-x=18+2-8=12(\mathrm{m})$；当$x=12$时，$BC=18+2-x=18+2-12=8(\mathrm{m})$。
∴ 当车棚的长为12 m，宽为8 m时，能围成一个面积为$96\ \mathrm{m}^2$的车棚。
∴ $x(18+2-x)=96$，整理，得$x^2-20x+96=0$，解得$x_1=8$，$x_2=12$。当$x=8$时，$BC=18+2-x=18+2-8=12(\mathrm{m})$；当$x=12$时，$BC=18+2-x=18+2-12=8(\mathrm{m})$。
∴ 当车棚的长为12 m，宽为8 m时，能围成一个面积为$96\ \mathrm{m}^2$的车棚。
解析
【分析】
这是一元二次方程在围栏实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 先明确铁栅栏的等效总长度：已知铁栅栏总长18m，CD边上有2m宽的门不需要使用铁栅栏，因此原本需要用栅栏搭建的CD边，实际只用了(CD-2)m的栅栏，加上BC边的栅栏长度，总和为18m，即(CD-2)+BC=18。
2. 结合矩形对边相等的性质，CD=AB，代入上式可得AB + BC = 20m。
3. 设AB的长度为x m，即可将BC的长度表示为(20 - x)m，再根据矩形面积公式“面积=长×宽”，代入已知面积96m²列出一元二次方程。
4. 求解方程后验证解的实际合理性，最终得到符合要求的长和宽。
【解析】
解：设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，
由题意可知，CD边与AB边长度相等，CD边上的2m门无需使用铁栅栏，因此总铁栅栏长度满足：
$(x - 2) + BC = 18$
整理得$BC = 18 + 2 - x = (20 - x)\ \mathrm{m}$
根据矩形面积为$96\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$x(20 - x) = 96$
整理得一元二次方程：
$x^2 - 20x + 96 = 0$
解得$x_1=8$，$x_2=12$。
当$x=8$时，$BC=20-8=12\ \mathrm{m}$，此时$CD=8\ \mathrm{m}＞2\ \mathrm{m}$，符合条件；
当$x=12$时，$BC=20-12=8\ \mathrm{m}$，此时$CD=12\ \mathrm{m}＞2\ \mathrm{m}$，符合条件。
结合长大于宽的常规定义，最终确定车棚的长和宽。
【答案】
当车棚的长为12 m，宽为8 m时，能围成一个面积为$96\ \mathrm{m}^2$的车棚。
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题的易错点是容易忽略CD边上的2m门，直接将AB+BC的和算为18m，导致列方程错误，解题时要注意区分“栅栏实际使用长度”和“矩形边长总和”的差异，同时要结合题目给出的CD＞2m的条件验证解的合理性，保证结果符合实际场景要求。
【难度系数】
0.6
这是一元二次方程在围栏实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 先明确铁栅栏的等效总长度：已知铁栅栏总长18m，CD边上有2m宽的门不需要使用铁栅栏，因此原本需要用栅栏搭建的CD边，实际只用了(CD-2)m的栅栏，加上BC边的栅栏长度，总和为18m，即(CD-2)+BC=18。
2. 结合矩形对边相等的性质，CD=AB，代入上式可得AB + BC = 20m。
3. 设AB的长度为x m，即可将BC的长度表示为(20 - x)m，再根据矩形面积公式“面积=长×宽”，代入已知面积96m²列出一元二次方程。
4. 求解方程后验证解的实际合理性，最终得到符合要求的长和宽。
【解析】
解：设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，
由题意可知，CD边与AB边长度相等，CD边上的2m门无需使用铁栅栏，因此总铁栅栏长度满足：
$(x - 2) + BC = 18$
整理得$BC = 18 + 2 - x = (20 - x)\ \mathrm{m}$
根据矩形面积为$96\ \mathrm{m}^2$，可列方程：
$x(20 - x) = 96$
整理得一元二次方程：
$x^2 - 20x + 96 = 0$
解得$x_1=8$，$x_2=12$。
当$x=8$时，$BC=20-8=12\ \mathrm{m}$，此时$CD=8\ \mathrm{m}＞2\ \mathrm{m}$，符合条件；
当$x=12$时，$BC=20-12=8\ \mathrm{m}$，此时$CD=12\ \mathrm{m}＞2\ \mathrm{m}$，符合条件。
结合长大于宽的常规定义，最终确定车棚的长和宽。
【答案】
当车棚的长为12 m，宽为8 m时，能围成一个面积为$96\ \mathrm{m}^2$的车棚。
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题的易错点是容易忽略CD边上的2m门，直接将AB+BC的和算为18m，导致列方程错误，解题时要注意区分“栅栏实际使用长度”和“矩形边长总和”的差异，同时要结合题目给出的CD＞2m的条件验证解的合理性，保证结果符合实际场景要求。
【难度系数】
0.6
