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一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 若方程$(m+2)x^{m^2-2}+2x+1=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的值为 （
A.$-2$
B.$0$
C.$-2$或$2$
D.$2$
1. 若方程$(m+2)x^{m^2-2}+2x+1=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的值为 （
D
）A.$-2$
B.$0$
C.$-2$或$2$
D.$2$
答案
∵ 方程$(m+2)x^{m^2-2}+2x+1=0$是关于$x$的一元二次方程，
∴ $m+2≠0$ 且 $m^2-2=2$，解得 $m=2$。
解析
【分析】
要确定m的值，首先回忆一元二次方程的定义，一元二次方程需要同时满足两个核心要求：一是未知数x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，否则二次项就不存在，方程就不再是二次方程。我们第一步先根据“x的最高次数为2”列出指数对应的方程，解出所有可能的m取值，第二步再代入二次项系数的限制条件，排除掉会让二次项系数为0的m值，最终得到符合要求的m，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义，该方程需要同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：$m^2 - 2 = 2$
移项得$m^2 = 4$，解得$m = 2$或$m = -2$
2. 二次项系数不为0，即：$m + 2 ≠ 0$
解得$m ≠ -2$
综合两个条件，排除$m=-2$，可得$m=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义，一元二次方程判定
【点评】
本题属于一元二次方程判定的基础易错题，很多同学解题时只会关注未知数最高次数为2的要求，容易忽略“二次项系数不能为0”这个隐藏约束，误选C选项，后续做同类题型时要注意把两个条件都验证，避免漏解错解。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，首先回忆一元二次方程的定义，一元二次方程需要同时满足两个核心要求：一是未知数x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，否则二次项就不存在，方程就不再是二次方程。我们第一步先根据“x的最高次数为2”列出指数对应的方程，解出所有可能的m取值，第二步再代入二次项系数的限制条件，排除掉会让二次项系数为0的m值，最终得到符合要求的m，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：根据一元二次方程的定义，该方程需要同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：$m^2 - 2 = 2$
移项得$m^2 = 4$，解得$m = 2$或$m = -2$
2. 二次项系数不为0，即：$m + 2 ≠ 0$
解得$m ≠ -2$
综合两个条件，排除$m=-2$，可得$m=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义，一元二次方程判定
【点评】
本题属于一元二次方程判定的基础易错题，很多同学解题时只会关注未知数最高次数为2的要求，容易忽略“二次项系数不能为0”这个隐藏约束，误选C选项，后续做同类题型时要注意把两个条件都验证，避免漏解错解。
【难度系数】
0.7
2. 若关于$x$的方程$4x^{2}+(a^{2}-3a-10)x+4a=0$的两个根互为相反数,则$a$的值是 （
A.5或$-2$
B.5
C.$-2$
D.$-5$或2
C
）A.5或$-2$
B.5
C.$-2$
D.$-5$或2
答案
设方程$4x^{2}+(a^{2}-3a-10)x+4a=0$的两根为$x_1,x_2$。
∵ 关于$x$的方程$4x^{2}+(a^{2}-3a-10)x+4a=0$的两个根互为相反数，
∴ $x_1+x_2=0$，即$x_1+x_2=-\frac{a^2-3a-10}{4}=0$，解得$a=-2$或$a=5$。当$a=-2$时，原方程为$4x^2-8=0$，符合题意。当$a=5$时，原方程为$4x^2+20=0$，没有实数根，舍去。
∴ $a=-2$。
∵ 关于$x$的方程$4x^{2}+(a^{2}-3a-10)x+4a=0$的两个根互为相反数，
∴ $x_1+x_2=0$，即$x_1+x_2=-\frac{a^2-3a-10}{4}=0$，解得$a=-2$或$a=5$。当$a=-2$时，原方程为$4x^2-8=0$，符合题意。当$a=5$时，原方程为$4x^2+20=0$，没有实数根，舍去。
∴ $a=-2$。
解析
【分析】
这道题的核心条件是一元二次方程的两根互为相反数，我们可以按两步思路解题：首先，互为相反数的两个数之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，据此列出等式先求出a的所有候选值；第二步不能忽略隐含前提：题目说明方程有两个根，意味着方程必须存在实数根，因此要把候选的a值代回原方程，验证判别式是否非负，把没有实根的a值舍去，最终得到符合要求的a。
【解析】
设方程$4x^{2}+(a^{2}-3a-10)x+4a=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据两根互为相反数的性质，可得$x_1 + x_2 = 0$。
2. 由一元二次方程韦达定理，对于形式为$Ax^2+Bx+C=0$的方程，两根和满足$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，代入本题参数得：
$x_1+x_2 = -\frac{a^2 - 3a -10}{4} = 0$
整理得$a^2 - 3a -10 = 0$，因式分解为$(a-5)(a+2)=0$，解得$a=5$或$a=-2$。
3. 验证候选a对应的方程是否存在实根：
当$a=5$时，代入原方程得$4x^2 + 20 = 0$，即$x^2=-5$，该方程无实数根，不符合“方程有两个根”的前提，舍去该值；
当$a=-2$时，代入原方程得$4x^2 -8=0$，即$x^2=2$，两根为$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$，确实互为相反数，符合题意。
综上，符合条件的a的值为-2。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理；一元二次方程判别式
【点评】
本题属于高频易错题，很多同学直接利用两根之和为0求解得到a的两个值后，忽略了“方程存在两个实根”的隐含前提，错选A选项。要牢记：使用韦达定理的前提是一元二次方程的判别式$\Delta ≥ 0$，得到参数候选值后必须回代验证，排除无实根的情况。
【难度系数】
0.5
这道题的核心条件是一元二次方程的两根互为相反数，我们可以按两步思路解题：首先，互为相反数的两个数之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，据此列出等式先求出a的所有候选值；第二步不能忽略隐含前提：题目说明方程有两个根，意味着方程必须存在实数根，因此要把候选的a值代回原方程，验证判别式是否非负，把没有实根的a值舍去，最终得到符合要求的a。
【解析】
设方程$4x^{2}+(a^{2}-3a-10)x+4a=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据两根互为相反数的性质，可得$x_1 + x_2 = 0$。
2. 由一元二次方程韦达定理，对于形式为$Ax^2+Bx+C=0$的方程，两根和满足$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，代入本题参数得：
$x_1+x_2 = -\frac{a^2 - 3a -10}{4} = 0$
整理得$a^2 - 3a -10 = 0$，因式分解为$(a-5)(a+2)=0$，解得$a=5$或$a=-2$。
3. 验证候选a对应的方程是否存在实根：
当$a=5$时，代入原方程得$4x^2 + 20 = 0$，即$x^2=-5$，该方程无实数根，不符合“方程有两个根”的前提，舍去该值；
当$a=-2$时，代入原方程得$4x^2 -8=0$，即$x^2=2$，两根为$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$，确实互为相反数，符合题意。
综上，符合条件的a的值为-2。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理；一元二次方程判别式
【点评】
本题属于高频易错题，很多同学直接利用两根之和为0求解得到a的两个值后，忽略了“方程存在两个实根”的隐含前提，错选A选项。要牢记：使用韦达定理的前提是一元二次方程的判别式$\Delta ≥ 0$，得到参数候选值后必须回代验证，排除无实根的情况。
【难度系数】
0.5
3. 关于$x$的方程$x^{2}+2x+k^{2}+4=0$的根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
D
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
由$x^{2}+2x+k^{2}+4=0$，得$\Delta=2^2-4×1·(k^2+4)=4-4(k^2+4)=4-4k^2-16=-4k^2-12$。
∵ $k^2≥0$，
∴ $-4k^2≤0$。
∴ $-4k^2-12＜0$，即$\Delta＜0$。
∴ 原方程没有实数根。
∵ $k^2≥0$，
∴ $-4k^2≤0$。
∴ $-4k^2-12＜0$，即$\Delta＜0$。
∴ 原方程没有实数根。
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是利用根的判别式Δ = b² - 4ac的正负性判断：Δ＞0时有两个不等实根，Δ=0时有两个相等实根，Δ＜0时没有实根。首先先确定该一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式完成计算，再结合任意实数的平方都非负的性质，推导Δ的取值范围，最终就能确定方程根的对应情况。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^{2}+2x+k^{2}+4=0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=k^2+4$，
代入根的判别式计算：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= 2^2 - 4×1×(k^2+4) \\&= 4 - 4k^2 - 16 \\&= -4k^2 -12\end{aligned}$
根据平方的非负性，对任意实数$k$都有$k^2≥0$，因此可得：
$-4k^2 ≤ 0$，进一步推出$-4k^2 -12 ≤ -12 ＜ 0$，也就是$\Delta ＜ 0$。
因此该一元二次方程没有实数根。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】本题属于一元二次方程章节的基础题型，直接考察根的判别式的应用，解题的关键是牢记判别式和根的对应关系，结合平方非负的性质判断判别式的正负，计算过程中注意去括号时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】0.8
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是利用根的判别式Δ = b² - 4ac的正负性判断：Δ＞0时有两个不等实根，Δ=0时有两个相等实根，Δ＜0时没有实根。首先先确定该一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式完成计算，再结合任意实数的平方都非负的性质，推导Δ的取值范围，最终就能确定方程根的对应情况。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^{2}+2x+k^{2}+4=0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=k^2+4$，
代入根的判别式计算：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= 2^2 - 4×1×(k^2+4) \\&= 4 - 4k^2 - 16 \\&= -4k^2 -12\end{aligned}$
根据平方的非负性，对任意实数$k$都有$k^2≥0$，因此可得：
$-4k^2 ≤ 0$，进一步推出$-4k^2 -12 ≤ -12 ＜ 0$，也就是$\Delta ＜ 0$。
因此该一元二次方程没有实数根。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式，平方的非负性
【点评】本题属于一元二次方程章节的基础题型，直接考察根的判别式的应用，解题的关键是牢记判别式和根的对应关系，结合平方非负的性质判断判别式的正负，计算过程中注意去括号时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】0.8
4. 关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^{2}-4mx+2m-6=0$有两个相等的实数根，则$m$的值为（
A.$1$或$-6$
B.$-6$
C.$1$
D.$2$
A
）A.$1$或$-6$
B.$-6$
C.$1$
D.$2$
答案
∵ 关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^{2}-4mx+2m-6=0$有两个相等的实数根，
∴ $m-2≠0$ 且 $\Delta=16m^2-4(m-2)(2m-6)=0$。
∴ $m=-6$ 或 $m=1$。
解析
【分析】
拿到这道题首先要抓住两个核心限定条件：第一，题目明确说明这是一元二次方程，因此必须满足一元二次方程的隐含要求：二次项系数不为0，也就是m-2≠0；第二，方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的性质，此时根的判别式Δ=0。接下来我们先对应写出方程的a、b、c，代入判别式得到关于m的方程，解出m的取值后，再结合二次项系数不为0的条件筛选符合要求的m值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：
1. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0：
$ m-2 ≠ 0 $，即 $ m ≠ 2 $
2. 方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，该方程中$a=m-2$，$b=-4m$，$c=2m-6$，代入得：
$ \begin{aligned} \Delta &= (-4m)^2 - 4(m-2)(2m-6) = 0 \\ 16m^2 -4(2m^2 -10m +12) &= 0 \\ 8m^2 +40m -48 &= 0 \\ m^2 +5m -6 &= 0 \\ (m+6)(m-1) &= 0 \end{aligned} $
解得$m_1=-6$，$m_2=1$
3. 验证两个解：-6和1均不等于2，都满足$m≠2$的要求，因此m的值为1或-6。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式
【点评】
本题的常见易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，部分同学可能会直接求解判别式忘记验证二次项系数，不过本题解出的两个m值均满足二次项系数不为0的要求，最终得到两个符合条件的解，属于根的判别式的基础应用题型。
【难度系数】0.7
拿到这道题首先要抓住两个核心限定条件：第一，题目明确说明这是一元二次方程，因此必须满足一元二次方程的隐含要求：二次项系数不为0，也就是m-2≠0；第二，方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的性质，此时根的判别式Δ=0。接下来我们先对应写出方程的a、b、c，代入判别式得到关于m的方程，解出m的取值后，再结合二次项系数不为0的条件筛选符合要求的m值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：
1. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0：
$ m-2 ≠ 0 $，即 $ m ≠ 2 $
2. 方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，该方程中$a=m-2$，$b=-4m$，$c=2m-6$，代入得：
$ \begin{aligned} \Delta &= (-4m)^2 - 4(m-2)(2m-6) = 0 \\ 16m^2 -4(2m^2 -10m +12) &= 0 \\ 8m^2 +40m -48 &= 0 \\ m^2 +5m -6 &= 0 \\ (m+6)(m-1) &= 0 \end{aligned} $
解得$m_1=-6$，$m_2=1$
3. 验证两个解：-6和1均不等于2，都满足$m≠2$的要求，因此m的值为1或-6。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式
【点评】
本题的常见易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，部分同学可能会直接求解判别式忘记验证二次项系数，不过本题解出的两个m值均满足二次项系数不为0的要求，最终得到两个符合条件的解，属于根的判别式的基础应用题型。
【难度系数】0.7
5. 已知 $m , n$ 是一元二次方程 $x^{2}+2x-2025=0$ 的两个根,则 $m^{2}+mn+2m$ 的值为 （
A.0
B.$-10$
C.3
D.10
A
）A.0
B.$-10$
C.3
D.10
答案
由题意，得$m^2+2m-2025=0$，$mn=-2025$，
∴ $m^2+2m=2025$。
∴ $m^2+mn+2m=(m^2+2m)+mn=2025+(-2025)=0$。
∴ $m^2+2m=2025$。
∴ $m^2+mn+2m=(m^2+2m)+mn=2025+(-2025)=0$。
解析
【分析】
这道题的核心思路是利用一元二次方程根的性质和韦达定理，通过整体代入的方法求解，不需要求出m、n的具体数值。首先，因为m是方程的根，将x=m代入原方程，就能直接得到m²+2m的整体值；其次根据一元二次方程根与系数的关系，可以直接得到两根之积mn的值；最后把要求的代数式m²+mn+2m变形为(m²+2m)+mn，将前面得到的两个整体值代入计算，就能快速得到结果。
【解析】
解：
1. 利用方程根的定义求$m^2+2m$的值
因为m是一元二次方程$x^2+2x-2025=0$的根，将$x=m$代入方程可得：
$m^2 + 2m - 2025 = 0$
移项整理得：$m^2 + 2m = 2025$
2. 利用韦达定理求$mn$的值
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中$a=1$，$c=-2025$，两根为m、n，因此：
$mn = \frac{-2025}{1} = -2025$
3. 整体代入计算目标代数式的值
对所求代数式变形：
$m^2 + mn + 2m = (m^2 + 2m) + mn$
将$m^2+2m=2025$、$mn=-2025$代入上式：
原式$= 2025 + (-2025) = 0$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的经典求值题型，不需要求解方程得到m、n的具体数值，通过整体代换的思路就能简化计算，重点考察学生对根的定义、根与系数关系的掌握程度，以及整体思想的运用，避免了直接解方程带来的繁琐运算。
【难度系数】
0.8
这道题的核心思路是利用一元二次方程根的性质和韦达定理，通过整体代入的方法求解，不需要求出m、n的具体数值。首先，因为m是方程的根，将x=m代入原方程，就能直接得到m²+2m的整体值；其次根据一元二次方程根与系数的关系，可以直接得到两根之积mn的值；最后把要求的代数式m²+mn+2m变形为(m²+2m)+mn，将前面得到的两个整体值代入计算，就能快速得到结果。
【解析】
解：
1. 利用方程根的定义求$m^2+2m$的值
因为m是一元二次方程$x^2+2x-2025=0$的根，将$x=m$代入方程可得：
$m^2 + 2m - 2025 = 0$
移项整理得：$m^2 + 2m = 2025$
2. 利用韦达定理求$mn$的值
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中$a=1$，$c=-2025$，两根为m、n，因此：
$mn = \frac{-2025}{1} = -2025$
3. 整体代入计算目标代数式的值
对所求代数式变形：
$m^2 + mn + 2m = (m^2 + 2m) + mn$
将$m^2+2m=2025$、$mn=-2025$代入上式：
原式$= 2025 + (-2025) = 0$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的经典求值题型，不需要求解方程得到m、n的具体数值，通过整体代换的思路就能简化计算，重点考察学生对根的定义、根与系数关系的掌握程度，以及整体思想的运用，避免了直接解方程带来的繁琐运算。
【难度系数】
0.8
6. 如图,小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长 5.5 m)的矩形鸭舍,其面积为$15\ \mathrm{m}^{2}$,在鸭舍侧面中间位置留一扇 1 m 宽的门(由其他材料制成),则 BC 的长为（
A.5 m 或 6 m
B.2.5 m 或 3 m
C.5 m
D.3 m
C
）A.5 m 或 6 m
B.2.5 m 或 3 m
C.5 m
D.3 m
答案
设BC的长为$x\ \mathrm{m}(0＜x≤5.5)$，则AB的长为$\frac{1}{2}(10+1-x)\mathrm{m}$。根据题意，得$\frac{1}{2}(10+1-x)x=15$，解得$x=5$或$x=6$(不合题意，舍去)。
∴ BC的长为5 m。
∴ BC的长为5 m。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先明确图形结构：AD边靠墙，BC边与墙平行，AB、CD边垂直于墙，AB边上有1m宽的门，铁丝网总长10m。2. 因为门不需要铁丝网，所以铁丝网等效可覆盖的总长度是10+1=11m，刚好对应2条垂直于墙的边AB、CD和1条平行于墙的边BC的总长度。3. 设BC长为x m，首先BC不能超过墙的长度5.5m，即0＜x≤5.5，由此可以表示出AB的长度为$\frac{11-x}{2}$ m。4. 根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后结合实际取值范围舍去不符合题意的根，就能得到BC的长度。
【解析】
解：设BC的长为$x\ \mathrm{m}$，由墙长为5.5m，可得x的取值范围是$0＜x≤5.5$。
因为AB边上留有1m宽的门，铁丝网总长为10m，因此两条垂直于墙的边AB、CD的总长度加上BC的长度，减去门的1m长度等于铁丝网总长，即：
$2AB + x - 1 = 10$
整理得 $AB = \frac{1}{2}(11 - x)$
根据矩形面积为$15\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$\frac{1}{2}(11 - x) · x = 15$
整理得一元二次方程：$x^2 -11x +30=0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$
由于$x≤5.5$，$x=6$超出墙的长度限制，不符合实际要求，舍去，因此BC的长为5m。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题有两个高频易错点：一是容易忽略1m宽门对铁丝网总长度的影响，错误推导AB边的表达式；二是容易忽略墙长5.5m的限制，直接保留两个解错选A选项。解这类实际应用问题时，一定要结合场景的限制条件检验方程的根，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.5
解题思路如下：1. 先明确图形结构：AD边靠墙，BC边与墙平行，AB、CD边垂直于墙，AB边上有1m宽的门，铁丝网总长10m。2. 因为门不需要铁丝网，所以铁丝网等效可覆盖的总长度是10+1=11m，刚好对应2条垂直于墙的边AB、CD和1条平行于墙的边BC的总长度。3. 设BC长为x m，首先BC不能超过墙的长度5.5m，即0＜x≤5.5，由此可以表示出AB的长度为$\frac{11-x}{2}$ m。4. 根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后结合实际取值范围舍去不符合题意的根，就能得到BC的长度。
【解析】
解：设BC的长为$x\ \mathrm{m}$，由墙长为5.5m，可得x的取值范围是$0＜x≤5.5$。
因为AB边上留有1m宽的门，铁丝网总长为10m，因此两条垂直于墙的边AB、CD的总长度加上BC的长度，减去门的1m长度等于铁丝网总长，即：
$2AB + x - 1 = 10$
整理得 $AB = \frac{1}{2}(11 - x)$
根据矩形面积为$15\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$\frac{1}{2}(11 - x) · x = 15$
整理得一元二次方程：$x^2 -11x +30=0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$
由于$x≤5.5$，$x=6$超出墙的长度限制，不符合实际要求，舍去，因此BC的长为5m。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题有两个高频易错点：一是容易忽略1m宽门对铁丝网总长度的影响，错误推导AB边的表达式；二是容易忽略墙长5.5m的限制，直接保留两个解错选A选项。解这类实际应用问题时，一定要结合场景的限制条件检验方程的根，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.5
7. 如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个实数根,且其中一个根为另一个根的两倍,那么称这样的方程为“2倍根方程”.下列说法中,不正确的是（
A.方程$x^{2}-3x+2=0$是“2倍根方程”
B.若关于$x$的方程$(x-2)(mx+n)=0(m ≠ 0)$是“2倍根方程”,则$m+n=0$
C.若$m+n=0$且$m ≠ 0$,则关于$x$的方程$(x-2)(mx+n)=0$是“2倍根方程”
D.若$2m+n=0$且$m ≠ 0$,则关于$x$的方程$x^{2}+(m-n)x-mn=0$是“2倍根方程”
B
）A.方程$x^{2}-3x+2=0$是“2倍根方程”
B.若关于$x$的方程$(x-2)(mx+n)=0(m ≠ 0)$是“2倍根方程”,则$m+n=0$
C.若$m+n=0$且$m ≠ 0$,则关于$x$的方程$(x-2)(mx+n)=0$是“2倍根方程”
D.若$2m+n=0$且$m ≠ 0$,则关于$x$的方程$x^{2}+(m-n)x-mn=0$是“2倍根方程”
答案
选项A:解方程，得$x_1=1$，$x_2=2$。
∴ $x_2=2x_1$。
∴ 选项A的说法正确。选项B:解方程，得$x_1=2$，$x_2=-\frac{n}{m}$。
∵ 该方程为“2倍根方程”，
∴ $x_1=2x_2$ 或 $x_2=2x_1$。
∴ $2=-\frac{2n}{m}$或$-\frac{n}{m}=4$。
∴ $m+n=0$ 或 $4m+n=0$。
∴ 选项B的说法不正确。选项C:解方程，得$x_1=2$，$x_2=-\frac{n}{m}$。
∵ $m+n=0$，
∴ $x_2=1$。
∴ $x_1=2x_2$。
∴ 选项C的说法正确。选项D:解方程，得$x_1=-m$，$x_2=n$。
∵ $2m+n=0$，
∴ $n=-2m$。
∴ $x_2=2x_1$。
∴ 选项D的说法正确。
∴ $x_2=2x_1$。
∴ 选项A的说法正确。选项B:解方程，得$x_1=2$，$x_2=-\frac{n}{m}$。
∵ 该方程为“2倍根方程”，
∴ $x_1=2x_2$ 或 $x_2=2x_1$。
∴ $2=-\frac{2n}{m}$或$-\frac{n}{m}=4$。
∴ $m+n=0$ 或 $4m+n=0$。
∴ 选项B的说法不正确。选项C:解方程，得$x_1=2$，$x_2=-\frac{n}{m}$。
∵ $m+n=0$，
∴ $x_2=1$。
∴ $x_1=2x_2$。
∴ 选项C的说法正确。选项D:解方程，得$x_1=-m$，$x_2=n$。
∵ $2m+n=0$，
∴ $n=-2m$。
∴ $x_2=2x_1$。
∴ 选项D的说法正确。
解析
【分析】
这是一道新定义类的一元二次方程辨析题，解题思路非常清晰：首先明确题目给出的“2倍根方程”的核心定义：一元二次方程有两个实数根，且其中一个根的大小是另一个根的2倍。接下来我们逐个对四个选项进行验证：先求出对应方程的所有根，再对照定义判断选项给出的结论是否成立，过程中要注意分情况讨论两根谁是2倍的关系，避免漏解，最终筛选出说法不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个推导验证每个选项：
1. 验证选项A：
对$x^2-3x+2=0$因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得两根为$x_1=1$，$x_2=2$，满足$x_2=2x_1$，完全符合“2倍根方程”的定义，因此A的说法正确。
2. 验证选项B：
方程$(x-2)(mx+n)=0\ (m≠0)$的两个根为$x_1=2$，$x_2=-\frac{n}{m}$。
因为该方程是“2倍根方程”，分两种情况讨论：
① 若$x_1=2x_2$，即$2=2×(-\frac{n}{m})$，化简得$m+n=0$；
② 若$x_2=2x_1$，即$-\frac{n}{m}=2×2$，化简得$4m+n=0$。
因此满足条件的关系有两种，并非只能推出$m+n=0$，因此B的说法错误。
3. 验证选项C：
已知$m+n=0$即$n=-m$，方程$(x-2)(mx+n)=0\ (m≠0)$的两个根为$x_1=2$，$x_2=-\frac{n}{m}$，将$n=-m$代入得$x_2=-\frac{-m}{m}=1$，满足$x_1=2x_2$，符合“2倍根方程”的定义，因此C的说法正确。
4. 验证选项D：
对$x^2+(m-n)x-mn=0$因式分解得$(x+m)(x-n)=0$，解得两根为$x_1=-m$，$x_2=n$。
已知$2m+n=0$即$n=-2m$，代入得$x_2=-2m=2×(-m)=2x_1$，满足其中一个根是另一个根的2倍，符合“2倍根方程”的定义，因此D的说法正确。
综上，只有B选项的说法不正确。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程因式分解法，新定义概念
【点评】
本题以自定义的“2倍根方程”为载体，考查一元二次方程的求解能力，解题的易错点是在判断B选项时，容易默认已知的根2是较小的根，漏掉“未知根是2的两倍”的情况，导致误判。这类题型能很好地锻炼学生的审题能力和分类讨论的严谨性，属于中等难度的创新题型。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义类的一元二次方程辨析题，解题思路非常清晰：首先明确题目给出的“2倍根方程”的核心定义：一元二次方程有两个实数根，且其中一个根的大小是另一个根的2倍。接下来我们逐个对四个选项进行验证：先求出对应方程的所有根，再对照定义判断选项给出的结论是否成立，过程中要注意分情况讨论两根谁是2倍的关系，避免漏解，最终筛选出说法不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个推导验证每个选项：
1. 验证选项A：
对$x^2-3x+2=0$因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得两根为$x_1=1$，$x_2=2$，满足$x_2=2x_1$，完全符合“2倍根方程”的定义，因此A的说法正确。
2. 验证选项B：
方程$(x-2)(mx+n)=0\ (m≠0)$的两个根为$x_1=2$，$x_2=-\frac{n}{m}$。
因为该方程是“2倍根方程”，分两种情况讨论：
① 若$x_1=2x_2$，即$2=2×(-\frac{n}{m})$，化简得$m+n=0$；
② 若$x_2=2x_1$，即$-\frac{n}{m}=2×2$，化简得$4m+n=0$。
因此满足条件的关系有两种，并非只能推出$m+n=0$，因此B的说法错误。
3. 验证选项C：
已知$m+n=0$即$n=-m$，方程$(x-2)(mx+n)=0\ (m≠0)$的两个根为$x_1=2$，$x_2=-\frac{n}{m}$，将$n=-m$代入得$x_2=-\frac{-m}{m}=1$，满足$x_1=2x_2$，符合“2倍根方程”的定义，因此C的说法正确。
4. 验证选项D：
对$x^2+(m-n)x-mn=0$因式分解得$(x+m)(x-n)=0$，解得两根为$x_1=-m$，$x_2=n$。
已知$2m+n=0$即$n=-2m$，代入得$x_2=-2m=2×(-m)=2x_1$，满足其中一个根是另一个根的2倍，符合“2倍根方程”的定义，因此D的说法正确。
综上，只有B选项的说法不正确。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程因式分解法，新定义概念
【点评】
本题以自定义的“2倍根方程”为载体，考查一元二次方程的求解能力，解题的易错点是在判断B选项时，容易默认已知的根2是较小的根，漏掉“未知根是2的两倍”的情况，导致误判。这类题型能很好地锻炼学生的审题能力和分类讨论的严谨性，属于中等难度的创新题型。
【难度系数】
0.6
8. 某商店以每件18元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系如下:如果每件的售价为$a$元,那么可卖出$(320-10a)$件,但物价部门规定每件商品的加价不能超过进货价的$25\%$.若商店计划获利400元,则每件商品的售价应定为（
A.22元
B.24元
C.26元
D.28元
A
）A.22元
B.24元
C.26元
D.28元
答案
依题意，得$(a-18)(320-10a)=400$。整理，得$a^2-50a+616=0$，解得$a_1=22$，$a_2=28$。又
∵ 物价部门规定每件商品的加价不能超过进货价的25%，
∴ 每件商品的售价不能超过$18×(1+25\%)=22.5$(元)。
∴ $a=22$。
∵ 物价部门规定每件商品的加价不能超过进货价的25%，
∴ 每件商品的售价不能超过$18×(1+25\%)=22.5$(元)。
∴ $a=22$。
解析
【分析】
这是典型的商品销售类一元二次方程应用题，解题思路非常清晰：首先回忆核心等量关系「总利润=单件利润×总销售量」，第一步先对应题干条件表示出单件利润：进价18元，售价为a元，因此单件利润是(a-18)元，题干已经直接给出销售量为(320-10a)件，结合总获利400元的要求，代入等量关系就能列出一元二次方程。第二步解出方程的两个根后，不能直接选答案，必须注意题干给出的加价限制条件，先算出政策允许的最高售价，把超出上限的不符合规定的根舍去，剩下的符合条件的解就是正确售价，最终对应选出选项即可。
【解析】
1. 根据利润等量关系列方程：
总利润=单件利润×销售量，代入已知条件得：
$(a-18)(320-10a)=400$
2. 整理并求解方程：
展开后合并同类项化简得：
$a^2-50a+616=0$
用求根公式或因式分解法解得两个根：$a_1=22$，$a_2=28$
3. 结合售价限制筛选有效解：
物价部门规定加价不能超过进货价的25%，因此允许的最高售价为：
$18×(1+25\%)=22.5\mathrm{元}$
由于28＞22.5，不符合政策规定，舍去该解，最终符合条件的售价为22元。
【答案】
A.22元
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程求解，实际问题验根
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，设置了加价限制的易错小陷阱，大部分学生都能顺利列出方程并得到两个解，但很容易忽略题干给出的售价约束条件，误选不符合规定的28元，提醒大家解实际场景的数学题时，得到的结果必须满足题干所有限定条件，不能仅满足方程等式就直接选择。
【难度系数】
0.6
这是典型的商品销售类一元二次方程应用题，解题思路非常清晰：首先回忆核心等量关系「总利润=单件利润×总销售量」，第一步先对应题干条件表示出单件利润：进价18元，售价为a元，因此单件利润是(a-18)元，题干已经直接给出销售量为(320-10a)件，结合总获利400元的要求，代入等量关系就能列出一元二次方程。第二步解出方程的两个根后，不能直接选答案，必须注意题干给出的加价限制条件，先算出政策允许的最高售价，把超出上限的不符合规定的根舍去，剩下的符合条件的解就是正确售价，最终对应选出选项即可。
【解析】
1. 根据利润等量关系列方程：
总利润=单件利润×销售量，代入已知条件得：
$(a-18)(320-10a)=400$
2. 整理并求解方程：
展开后合并同类项化简得：
$a^2-50a+616=0$
用求根公式或因式分解法解得两个根：$a_1=22$，$a_2=28$
3. 结合售价限制筛选有效解：
物价部门规定加价不能超过进货价的25%，因此允许的最高售价为：
$18×(1+25\%)=22.5\mathrm{元}$
由于28＞22.5，不符合政策规定，舍去该解，最终符合条件的售价为22元。
【答案】
A.22元
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程求解，实际问题验根
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，设置了加价限制的易错小陷阱，大部分学生都能顺利列出方程并得到两个解，但很容易忽略题干给出的售价约束条件，误选不符合规定的28元，提醒大家解实际场景的数学题时，得到的结果必须满足题干所有限定条件，不能仅满足方程等式就直接选择。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分，共24分)
9. 已知$x=2$是关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+(k^{2}-2)x+2k+4=0$的一个根，则$k$的值为
9. 已知$x=2$是关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+(k^{2}-2)x+2k+4=0$的一个根，则$k$的值为
-3
。答案
∵ $x=2$是关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+(k^{2}-2)x+2k+4=0$的一个根，
∴ $4k+2k^2-4+2k+4=0$。
∴ $k^2+3k=0$。
∴ $k_1=0$，$k_2=-3$。
∵ $k≠0$，
∴ $k=-3$。
解析
【分析】
解题时首先利用方程的根的定义：方程的根代入原方程后等式成立，将已知根x=2代入给定的一元二次方程，得到关于k的整式方程，求解得到k的所有可能取值。之后需要结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，剔除不符合该条件的k值，最终得到正确的k的结果。
【解析】
将x=2代入方程$kx^{2}+(k^{2}-2)x+2k+4=0$：
1. 代入后展开计算：
$k× 2^2 + (k^2-2)×2 + 2k +4 = 0$
即$4k + 2k^2 -4 + 2k +4 = 0$
2. 合并同类项化简：
$2k^2 +6k = 0$，两边同除以2得$k^2 +3k=0$
因式分解得$k(k+3)=0$，解得$k_1=0$，$k_2=-3$
3. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即$k≠0$，因此舍去k=0，最终得k=-3。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程定义
【点评】
本题属于基础易错题，最容易出现的错误是忽略“一元二次方程二次项系数不能为0”的隐藏约束，直接将代入求解得到的两个k值全部作为答案，解题时遇到这类指定方程类型的题目，一定要额外注意对应系数的限制条件，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.5
解题时首先利用方程的根的定义：方程的根代入原方程后等式成立，将已知根x=2代入给定的一元二次方程，得到关于k的整式方程，求解得到k的所有可能取值。之后需要结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，剔除不符合该条件的k值，最终得到正确的k的结果。
【解析】
将x=2代入方程$kx^{2}+(k^{2}-2)x+2k+4=0$：
1. 代入后展开计算：
$k× 2^2 + (k^2-2)×2 + 2k +4 = 0$
即$4k + 2k^2 -4 + 2k +4 = 0$
2. 合并同类项化简：
$2k^2 +6k = 0$，两边同除以2得$k^2 +3k=0$
因式分解得$k(k+3)=0$，解得$k_1=0$，$k_2=-3$
3. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，即$k≠0$，因此舍去k=0，最终得k=-3。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程定义
【点评】
本题属于基础易错题，最容易出现的错误是忽略“一元二次方程二次项系数不能为0”的隐藏约束，直接将代入求解得到的两个k值全部作为答案，解题时遇到这类指定方程类型的题目，一定要额外注意对应系数的限制条件，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.5
10. 若 a,b 是方程$x^{2}+x-4=0$的两个实数根，则$(a^{2}+3a-3)(b^{2}+3b-3)$的值为
-17
.答案
∵ $a,b$是方程$x^{2}+x-4=0$的两个实数根，
∴ $a^2+a-4=0$，$b^2+b-4=0$，$a+b=-1$，$ab=-4$。
∴ $(a^2+3a-3)(b^2+3b-3)=(a^2+a-4+2a+1)(b^2+b-4+2b+1)=(2a+1)(2b+1)=4ab+2(a+b)+1=4×(-4)+2×(-1)+1=-16-2+1=-17$。
解析
【分析】
这道题的核心思路是利用一元二次方程根的性质降次，结合韦达定理整体代入求值，不需要直接求解a、b的具体数值：
1. 首先，因为a、b是方程的实数根，根据方程根的定义，将根代入原方程可以得到a²+a-4=0、b²+b-4=0，由此可以把代数式里的二次项a²、b²用一次式替换，实现降次；
2. 对所求的两个括号内的代数式进行变形，凑出已经得到的a²+a-4、b²+b-4的形式，将其替换为0之后，原式就会简化为仅含a、b一次项的整式；
3. 再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接得到a+b和ab的值，整体代入化简后的式子就能算出最终结果，大幅降低计算量。
【解析】
解：
∵ a,b是方程$x^{2}+x-4=0$的两个实数根，
∴ 根据方程根的定义可得：$a^2+a-4=0$，$b^2+b-4=0$，
由韦达定理可得两根之和、两根之积：$a+b=-1$，$ab=-4$。
对所求代数式变形凑项：
$\begin{aligned}(a^2+3a-3)(b^2+3b-3)&=(a^2+a-4+2a+1)(b^2+b-4+2b+1)\\&=(0+2a+1)(0+2b+1)\\&=(2a+1)(2b+1)\end{aligned}$
展开该式：
$\begin{aligned}(2a+1)(2b+1)&=4ab+2a+2b+1\\&=4ab+2(a+b)+1\end{aligned}$
将$a+b=-1$，$ab=-4$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=4×(-4)+2×(-1)+1\\&=-16-2+1\\&=-17\end{aligned}$
【答案】-17
【知识点】一元二次方程根的定义；韦达定理；整体代入求值
【点评】本题属于一元二次方程根相关的常规题型，核心考察了“降次”的数学思想，通过方程根的性质将二次代数式转化为一次形式，避免了直接求解无理数根的复杂运算，整体代入的技巧是这类题型的常用解法，能有效降低计算错误率。
【难度系数】0.6
这道题的核心思路是利用一元二次方程根的性质降次，结合韦达定理整体代入求值，不需要直接求解a、b的具体数值：
1. 首先，因为a、b是方程的实数根，根据方程根的定义，将根代入原方程可以得到a²+a-4=0、b²+b-4=0，由此可以把代数式里的二次项a²、b²用一次式替换，实现降次；
2. 对所求的两个括号内的代数式进行变形，凑出已经得到的a²+a-4、b²+b-4的形式，将其替换为0之后，原式就会简化为仅含a、b一次项的整式；
3. 再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接得到a+b和ab的值，整体代入化简后的式子就能算出最终结果，大幅降低计算量。
【解析】
解：
∵ a,b是方程$x^{2}+x-4=0$的两个实数根，
∴ 根据方程根的定义可得：$a^2+a-4=0$，$b^2+b-4=0$，
由韦达定理可得两根之和、两根之积：$a+b=-1$，$ab=-4$。
对所求代数式变形凑项：
$\begin{aligned}(a^2+3a-3)(b^2+3b-3)&=(a^2+a-4+2a+1)(b^2+b-4+2b+1)\\&=(0+2a+1)(0+2b+1)\\&=(2a+1)(2b+1)\end{aligned}$
展开该式：
$\begin{aligned}(2a+1)(2b+1)&=4ab+2a+2b+1\\&=4ab+2(a+b)+1\end{aligned}$
将$a+b=-1$，$ab=-4$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=4×(-4)+2×(-1)+1\\&=-16-2+1\\&=-17\end{aligned}$
【答案】-17
【知识点】一元二次方程根的定义；韦达定理；整体代入求值
【点评】本题属于一元二次方程根相关的常规题型，核心考察了“降次”的数学思想，通过方程根的性质将二次代数式转化为一次形式，避免了直接求解无理数根的复杂运算，整体代入的技巧是这类题型的常用解法，能有效降低计算错误率。
【难度系数】0.6
11. 定义新运算“$a\bigotimes b$”：对于任意实数$a$，$b$，都有$a\bigotimes b=(a-b)^2-b$，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如$3\bigotimes 2=(3-2)^2-2=-1$。若$x\bigotimes k=0$（$k$为实数）是关于$x$的方程，且$x=2$是这个方程的一个根，则$k$的值是
1或4
。答案
∵ $x\bigotimes k=0$，
∴ $(x-k)^2-k=0$。
∵ $x=2$是这个方程的一个根，
∴ $(2-k)^2-k=0$。整理，得$k^2-5k+4=0$，解得$k_1=1$，$k_2=4$。
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰，分三步推进即可：第一步，先严格对照题目给出的新运算规则，把新符号“⊗”的运算转化为常规整式运算，将x对应规则里的a、k对应规则里的b，就能把x⊗k=0转化为普通整式方程；第二步，利用方程根的性质：若某个数是方程的根，代入方程后等式必然成立，把已知根x=2代入得到的整式方程，就能得到只含未知数k的一元二次方程；第三步，解这个关于k的一元二次方程，就能求出k的所有取值。
【解析】
解：
1. 按照新运算定义转化方程
已知新运算规则为$a\bigotimes b=(a-b)^2-b$，将a替换为x，b替换为k，结合条件$x\bigotimes k=0$，可得：
$(x-k)^2 -k = 0$
2. 代入已知根x=2
因为x=2是该方程的根，将x=2代入上述方程，得：
$(2-k)^2 -k = 0$
3. 整理并求解关于k的方程
展开完全平方：$4 -4k +k^2 -k = 0$
合并同类项整理为标准一元二次方程：$k^2 -5k +4 =0$
因式分解得：$(k-1)(k-4)=0$
解得：$k_1=1$，$k_2=4$
【答案】1和4
【知识点】定义新运算，一元二次方程的解，解一元二次方程
【点评】本题属于基础综合题型，把定义新运算和一元二次方程的考点结合，核心要求是准确对应新运算中两个参数的位置，不要混淆a、b的代入对象，利用方程根的性质代入求参数是这类题型的通用思路，计算时注意完全平方展开的符号，避免出现漏项、符号错误的低级失误。
【难度系数】0.8
这道题的解题思路非常清晰，分三步推进即可：第一步，先严格对照题目给出的新运算规则，把新符号“⊗”的运算转化为常规整式运算，将x对应规则里的a、k对应规则里的b，就能把x⊗k=0转化为普通整式方程；第二步，利用方程根的性质：若某个数是方程的根，代入方程后等式必然成立，把已知根x=2代入得到的整式方程，就能得到只含未知数k的一元二次方程；第三步，解这个关于k的一元二次方程，就能求出k的所有取值。
【解析】
解：
1. 按照新运算定义转化方程
已知新运算规则为$a\bigotimes b=(a-b)^2-b$，将a替换为x，b替换为k，结合条件$x\bigotimes k=0$，可得：
$(x-k)^2 -k = 0$
2. 代入已知根x=2
因为x=2是该方程的根，将x=2代入上述方程，得：
$(2-k)^2 -k = 0$
3. 整理并求解关于k的方程
展开完全平方：$4 -4k +k^2 -k = 0$
合并同类项整理为标准一元二次方程：$k^2 -5k +4 =0$
因式分解得：$(k-1)(k-4)=0$
解得：$k_1=1$，$k_2=4$
【答案】1和4
【知识点】定义新运算，一元二次方程的解，解一元二次方程
【点评】本题属于基础综合题型，把定义新运算和一元二次方程的考点结合，核心要求是准确对应新运算中两个参数的位置，不要混淆a、b的代入对象，利用方程根的性质代入求参数是这类题型的通用思路，计算时注意完全平方展开的符号，避免出现漏项、符号错误的低级失误。
【难度系数】0.8
