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20. (12 分)已知两个两位数,将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后,得到两个新两位数,且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同.若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等,则称这样的两个两位数为“幸福数对”,例如:$13×62=31×26=806$,所以 13和 62 是“幸福数对”.
(1) 请判断 21 与 48 是否为“幸福数对”,并说明理由.
(2) 有一个两位数,十位上的数字为$(x+2)$,个位上的数字为$x$.另一个两位数,十位上的数字为$(x+1)$,个位上的数字为$(x+4)$.若这两个两位数为“幸福数对”,求出这两个两位数.
(1) 请判断 21 与 48 是否为“幸福数对”,并说明理由.
(2) 有一个两位数,十位上的数字为$(x+2)$,个位上的数字为$x$.另一个两位数,十位上的数字为$(x+1)$,个位上的数字为$(x+4)$.若这两个两位数为“幸福数对”,求出这两个两位数.
答案
(1) 21与48是“幸福数对”. 理由：
∵ $21×48=1008$，$12×84=1008$。
∴ $21×48=12×84$。
∴ 21与48是“幸福数对”.
(2) 由题意，得这两个两位数分别为$10(x+2)+x=11x+20$，$10(x+1)+x+4=11x+14$。将它们各自的十位上的数字和个位上的数字交换位置后，得到的新两位数为$10x+x+2=11x+2$，$10(x+4)+x+1=11x+41$。
∵ 这两个数为“幸福数对”，
∴ $(11x+20)(11x+14)=(11x+2)(11x+41)$，解得$x=2$。
∴ $11×2+20=42$，$11×2+14=36$。经检验，符合题意。
∴ 这两个两位数分别为42和36。
∵ $21×48=1008$，$12×84=1008$。
∴ $21×48=12×84$。
∴ 21与48是“幸福数对”.
(2) 由题意，得这两个两位数分别为$10(x+2)+x=11x+20$，$10(x+1)+x+4=11x+14$。将它们各自的十位上的数字和个位上的数字交换位置后，得到的新两位数为$10x+x+2=11x+2$，$10(x+4)+x+1=11x+41$。
∵ 这两个数为“幸福数对”，
∴ $(11x+20)(11x+14)=(11x+2)(11x+41)$，解得$x=2$。
∴ $11×2+20=42$，$11×2+14=36$。经检验，符合题意。
∴ 这两个两位数分别为42和36。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问紧扣“幸福数对”的定义验证：先计算两个原数21和48的乘积，再分别把21、48的十位和个位交换得到新数12、84，计算这两个新数的乘积，若两个乘积相等，且交换后的数和原数不同，即可判定是幸福数对。
2. 第(2)问先利用两位数的代数表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，写出两个原两位数的代数式，再分别写出它们交换数位后得到的新两位数的代数式，根据“幸福数对”的乘积相等的规则列出方程，解出x的值，回代得到两个两位数，最后检验数位数字为正整数、交换后新数与原数不同的隐含条件即可。
【解析】
(1) 21与48是“幸福数对”，理由如下：
计算原两数的乘积：$21 × 48 = 1008$，
将21交换数位得到12，将48交换数位得到84，计算新两数的乘积：$12 × 84 = 1008$，
可得$21 × 48 = 12 × 84$，且交换后的新数均与原数不同，因此21与48是“幸福数对”。
(2) 用含x的代数式表示各数：
第一个原两位数：十位数字为$x+2$，个位数字为$x$，数值为$10(x+2)+x = 11x + 20$；
交换数位后的新数：十位数字为$x$，个位数字为$x+2$，数值为$10x + (x+2) = 11x + 2$；
第二个原两位数：十位数字为$x+1$，个位数字为$x+4$，数值为$10(x+1)+(x+4) = 11x +14$；
交换数位后的新数：十位数字为$x+4$，个位数字为$x+1$，数值为$10(x+4)+(x+1) = 11x +41$。
因为两个数是“幸福数对”，原两数乘积等于新两数乘积，列方程：
$(11x+20)(11x+14) = (11x+2)(11x+41)$
展开化简得：$99x=198$，解得$x=2$。
回代得到两个原两位数：$11×2 +20 =42$，$11×2 +14=36$。
检验得该结果符合“幸福数对”的全部要求，符合题意。
【答案】
(1) 21与48是“幸福数对”，理由如上；(2) 这两个两位数分别为42和36。
【知识点】
新定义问题，两位数的表示，一元一次方程应用
【点评】
本题属于新定义类代数应用题，核心考查学生对陌生规则的理解迁移能力，解题的关键是掌握两位数的数位表示方法，严格按照定义的等量关系列方程求解，注意不要忽略数位数字为0-9的整数、交换后新数与原数不同的隐含检验要求，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：
1. 第(1)问紧扣“幸福数对”的定义验证：先计算两个原数21和48的乘积，再分别把21、48的十位和个位交换得到新数12、84，计算这两个新数的乘积，若两个乘积相等，且交换后的数和原数不同，即可判定是幸福数对。
2. 第(2)问先利用两位数的代数表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，写出两个原两位数的代数式，再分别写出它们交换数位后得到的新两位数的代数式，根据“幸福数对”的乘积相等的规则列出方程，解出x的值，回代得到两个两位数，最后检验数位数字为正整数、交换后新数与原数不同的隐含条件即可。
【解析】
(1) 21与48是“幸福数对”，理由如下：
计算原两数的乘积：$21 × 48 = 1008$，
将21交换数位得到12，将48交换数位得到84，计算新两数的乘积：$12 × 84 = 1008$，
可得$21 × 48 = 12 × 84$，且交换后的新数均与原数不同，因此21与48是“幸福数对”。
(2) 用含x的代数式表示各数：
第一个原两位数：十位数字为$x+2$，个位数字为$x$，数值为$10(x+2)+x = 11x + 20$；
交换数位后的新数：十位数字为$x$，个位数字为$x+2$，数值为$10x + (x+2) = 11x + 2$；
第二个原两位数：十位数字为$x+1$，个位数字为$x+4$，数值为$10(x+1)+(x+4) = 11x +14$；
交换数位后的新数：十位数字为$x+4$，个位数字为$x+1$，数值为$10(x+4)+(x+1) = 11x +41$。
因为两个数是“幸福数对”，原两数乘积等于新两数乘积，列方程：
$(11x+20)(11x+14) = (11x+2)(11x+41)$
展开化简得：$99x=198$，解得$x=2$。
回代得到两个原两位数：$11×2 +20 =42$，$11×2 +14=36$。
检验得该结果符合“幸福数对”的全部要求，符合题意。
【答案】
(1) 21与48是“幸福数对”，理由如上；(2) 这两个两位数分别为42和36。
【知识点】
新定义问题，两位数的表示，一元一次方程应用
【点评】
本题属于新定义类代数应用题，核心考查学生对陌生规则的理解迁移能力，解题的关键是掌握两位数的数位表示方法，严格按照定义的等量关系列方程求解，注意不要忽略数位数字为0-9的整数、交换后新数与原数不同的隐含检验要求，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
21. (13 分)某大型水果超市销售水蜜桃,根据前段时间的销售经验,每天的售价 $ x $ (元/箱)与销量$ y $(箱)之间的关系如下表:
已知 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系是一次函数.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
(2) 水蜜桃的进价是 40 元/箱,若该超市每天销售水蜜桃盈利 1 600 元,且要使顾客获得实惠,则售价应定为多少?
(3) 七月份连续阴雨,销售量减少,超市决定降价销售,所以从 7 月 17 日开始水蜜桃的售价在(2)的条件下下降了 $ m\% $,同时水蜜桃的进价下降了 10%,销量也因此比原来每天盈利 1 600 元时上涨了 $ 2m\% (m＜100) $,七月份(按 31 天计算)降价销售后的水蜜桃销售总盈利比降价前少7 120 元,求 $ m $ 的值.
已知 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系是一次函数.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
(2) 水蜜桃的进价是 40 元/箱,若该超市每天销售水蜜桃盈利 1 600 元,且要使顾客获得实惠,则售价应定为多少?
(3) 七月份连续阴雨,销售量减少,超市决定降价销售,所以从 7 月 17 日开始水蜜桃的售价在(2)的条件下下降了 $ m\% $,同时水蜜桃的进价下降了 10%,销量也因此比原来每天盈利 1 600 元时上涨了 $ 2m\% (m＜100) $,七月份(按 31 天计算)降价销售后的水蜜桃销售总盈利比降价前少7 120 元,求 $ m $ 的值.
答案
(1) 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b$。根据题意，得$\begin{cases}68k+b=40,\\67k+b=45,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-5,\\b=380.\end{cases}$
∴ $y$关于$x$的函数表达式为$y=-5x+380$。
(2) 由题意，得$(x-40)(-5x+380)=1600$，解得$x_1=56$，$x_2=60$。
∵ 要使顾客获得实惠，
∴ $x=56$。
∴ 售价应定为56元/箱。
(3) 在(2)的条件下，当$x=56$时，$y=-5×56+380=100$，17号到31号共计15天。由题意，得$1600×(31-15)=[56×(1-m\%)-40×(1-10\%)]×100×(1+2m\%)×15+7120$。整理，得$7m^2+100m-4800=0$，解得$m_1=20$，$m_2=-\frac{240}{7}$(舍去)。
∴ $m$的值为20。
∴ $y$关于$x$的函数表达式为$y=-5x+380$。
(2) 由题意，得$(x-40)(-5x+380)=1600$，解得$x_1=56$，$x_2=60$。
∵ 要使顾客获得实惠，
∴ $x=56$。
∴ 售价应定为56元/箱。
(3) 在(2)的条件下，当$x=56$时，$y=-5×56+380=100$，17号到31号共计15天。由题意，得$1600×(31-15)=[56×(1-m\%)-40×(1-10\%)]×100×(1+2m\%)×15+7120$。整理，得$7m^2+100m-4800=0$，解得$m_1=20$，$m_2=-\frac{240}{7}$(舍去)。
∴ $m$的值为20。
解析
【分析】
解题思路分三步逐步推进：
1. 第一问已知y是x的一次函数，直接使用待定系数法，从表格中选取两组明确的(x,y)值代入一次函数通式y=kx+b，构建二元一次方程组求解k、b，即可得到函数表达式，还可代入其余表格数据验证正确性。
2. 第二问利用销售盈利的核心公式：总日盈利=单箱利润×日销量，其中单箱利润为售价x减去进价40，日销量就是第一问求出的y，代入总盈利1600的条件得到一元二次方程，求解后根据“让顾客获得实惠”的要求，选择数值更小的售价即可。
3. 第三问首先先算出第二问中售价为56时对应的日销量，再统计7月降价前、降价后的总天数：7月共31天，17日开始降价，因此降价前共16天，降价后共15天。再分别表示出降价调整后的新售价、新进价、新日销量，结合“降价后总盈利比降价前总盈利少7120元”的等量关系列一元二次方程，舍去不符合m＞0的负根，即可得到m的取值。
【解析】
(1) 设y关于x的一次函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），将表格中$x=68,y=40$和$x=67,y=45$代入得：
$\begin{cases}68k + b = 40 \\67k + b = 45 \end{cases}$
两式相减解得$k=-5$，将$k=-5$代回方程解得$b=380$，代入其余表格数据验证符合对应关系，因此得到函数表达式。
(2) 已知进价为40元/箱，日盈利1600元，根据总盈利=单箱利润×日销量，可得：
$(x-40)(-5x+380)=1600$
展开整理得$x^2 - 116x + 3840 = 0$，解得$x_1=56$，$x_2=60$，结合“使顾客获得实惠”的要求，选择更低的售价，即$x=56$。
(3) 将$x=56$代入$y=-5x+380$，得对应日销量$y=100$箱。7月共31天，17日开始降价，因此降价前共16天，降价后共15天。
降价后新售价为$56(1-m\%)$元/箱，新进价为$40×(1-10\%)=36$元/箱，新日销量为$100(1+2m\%)$箱，根据总盈利差的条件列方程：
$1600×16 = [56(1-m\%) - 36] × 100(1+2m\%) ×15 +7120$
整理化简得$7m^2 +100m -4800=0$，解得$m_1=20$，$m_2=-\frac{240}{7}$，舍去不符合实际的负根，得到m的取值。
【答案】
(1) $y=-5x+380$
(2) 售价应定为56元/箱
(3) $m$的值为20
【知识点】
待定系数法求一次函数，一元二次方程应用，销售利润问题
【点评】
本题是初中数学典型的销售类综合应用题，三小问由浅入深层层递进，第一问考察基础的一次函数待定系数法求解，难度较低；第二问结合利润公式列一元二次方程，需要结合实际场景的要求对两个解进行取舍，考察学生对题意的理解能力；第三问涉及百分比变化的多变量调整，需要准确统计天数、理清售价、进价、销量三者的变化关系，容易出现列方程错误、天数计算错误的问题，整体兼顾基础和综合应用能力的考察。
【难度系数】
0.5
解题思路分三步逐步推进：
1. 第一问已知y是x的一次函数，直接使用待定系数法，从表格中选取两组明确的(x,y)值代入一次函数通式y=kx+b，构建二元一次方程组求解k、b，即可得到函数表达式，还可代入其余表格数据验证正确性。
2. 第二问利用销售盈利的核心公式：总日盈利=单箱利润×日销量，其中单箱利润为售价x减去进价40，日销量就是第一问求出的y，代入总盈利1600的条件得到一元二次方程，求解后根据“让顾客获得实惠”的要求，选择数值更小的售价即可。
3. 第三问首先先算出第二问中售价为56时对应的日销量，再统计7月降价前、降价后的总天数：7月共31天，17日开始降价，因此降价前共16天，降价后共15天。再分别表示出降价调整后的新售价、新进价、新日销量，结合“降价后总盈利比降价前总盈利少7120元”的等量关系列一元二次方程，舍去不符合m＞0的负根，即可得到m的取值。
【解析】
(1) 设y关于x的一次函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），将表格中$x=68,y=40$和$x=67,y=45$代入得：
$\begin{cases}68k + b = 40 \\67k + b = 45 \end{cases}$
两式相减解得$k=-5$，将$k=-5$代回方程解得$b=380$，代入其余表格数据验证符合对应关系，因此得到函数表达式。
(2) 已知进价为40元/箱，日盈利1600元，根据总盈利=单箱利润×日销量，可得：
$(x-40)(-5x+380)=1600$
展开整理得$x^2 - 116x + 3840 = 0$，解得$x_1=56$，$x_2=60$，结合“使顾客获得实惠”的要求，选择更低的售价，即$x=56$。
(3) 将$x=56$代入$y=-5x+380$，得对应日销量$y=100$箱。7月共31天，17日开始降价，因此降价前共16天，降价后共15天。
降价后新售价为$56(1-m\%)$元/箱，新进价为$40×(1-10\%)=36$元/箱，新日销量为$100(1+2m\%)$箱，根据总盈利差的条件列方程：
$1600×16 = [56(1-m\%) - 36] × 100(1+2m\%) ×15 +7120$
整理化简得$7m^2 +100m -4800=0$，解得$m_1=20$，$m_2=-\frac{240}{7}$，舍去不符合实际的负根，得到m的取值。
【答案】
(1) $y=-5x+380$
(2) 售价应定为56元/箱
(3) $m$的值为20
【知识点】
待定系数法求一次函数，一元二次方程应用，销售利润问题
【点评】
本题是初中数学典型的销售类综合应用题，三小问由浅入深层层递进，第一问考察基础的一次函数待定系数法求解，难度较低；第二问结合利润公式列一元二次方程，需要结合实际场景的要求对两个解进行取舍，考察学生对题意的理解能力；第三问涉及百分比变化的多变量调整，需要准确统计天数、理清售价、进价、销量三者的变化关系，容易出现列方程错误、天数计算错误的问题，整体兼顾基础和综合应用能力的考察。
【难度系数】
0.5
