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1. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(k+2)x+2k=0$ 的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.总有实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
B
）A.有两个不相等的实数根
B.总有实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案
B 解析：
∵Δ=[-(k+2)]²-4×1×2k=k²+4k+4-8k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，
∴方程总有实数根。
∵Δ=[-(k+2)]²-4×1×2k=k²+4k+4-8k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，
∴方程总有实数根。
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。因此先确定方程中$a$、$b$、$c$的值，计算判别式并化简，再判断其符号即可得出结论。
【解析】对于一元二次方程$x^2-(k+2)x+2k=0$，其中$a=1$，$b=-(k+2)$，$c=2k$，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(k+2)]^2 - 4×1×2k = k^2 +4k +4 -8k = k^2 -4k +4 = (k-2)^2$
因为任何数的平方都为非负数，所以$(k-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，因此方程总有实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题，核心是正确计算并化简判别式，判断其取值范围，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$x^2-(k+2)x+2k=0$，其中$a=1$，$b=-(k+2)$，$c=2k$，计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(k+2)]^2 - 4×1×2k = k^2 +4k +4 -8k = k^2 -4k +4 = (k-2)^2$
因为任何数的平方都为非负数，所以$(k-2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，因此方程总有实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题，核心是正确计算并化简判别式，判断其取值范围，难度较低。
【难度系数】0.8
2. (2025·北京)若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+2x+1=0$ 有两个相等的实数根,则实数 $a$ 的值为（
A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
C
）A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
答案
C 解析：
∵关于x的一元二次方程ax²+2x+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0且a≠0，
∴2²-4a=0且a≠0，
∴a=1。
∵关于x的一元二次方程ax²+2x+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0且a≠0，
∴2²-4a=0且a≠0，
∴a=1。
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；二是一元二次方程根的判别式，当方程有两个相等实数根时，判别式Δ=b²-4ac=0。首先根据方程有两个相等实根得出Δ=0，再结合一元二次方程的定义（a≠0），代入对应系数计算即可得到a的值。
【解析】
∵关于x的方程ax²+2x+1=0是一元二次方程且有两个相等的实数根，
∴需满足两个条件：①二次项系数a≠0；②判别式Δ=0。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，判别式Δ=b²-4ac，本题中b=2，c=1，代入得：
Δ=2² - 4×a×1 = 0，
计算得：4 - 4a = 0，
解得a=1，且a=1≠0，符合条件。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需同时注意“判别式为0”和“二次项系数不为0”两个条件，避免遗漏导致错误，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；二是一元二次方程根的判别式，当方程有两个相等实数根时，判别式Δ=b²-4ac=0。首先根据方程有两个相等实根得出Δ=0，再结合一元二次方程的定义（a≠0），代入对应系数计算即可得到a的值。
【解析】
∵关于x的方程ax²+2x+1=0是一元二次方程且有两个相等的实数根，
∴需满足两个条件：①二次项系数a≠0；②判别式Δ=0。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，判别式Δ=b²-4ac，本题中b=2，c=1，代入得：
Δ=2² - 4×a×1 = 0，
计算得：4 - 4a = 0，
解得a=1，且a=1≠0，符合条件。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需同时注意“判别式为0”和“二次项系数不为0”两个条件，避免遗漏导致错误，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.7
3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2 - 2x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则实数 $m$ 的取值范围为
（
A.$m＞1$
B.$m＞-1$
C.$m＞-1$ 且 $m ≠ 0$
D.$m＜1$ 且 $m ≠ 0$
（
C
）A.$m＞1$
B.$m＞-1$
C.$m＞-1$ 且 $m ≠ 0$
D.$m＜1$ 且 $m ≠ 0$
答案
C 解析：
∵关于x的一元二次方程mx²-2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2)²-4m×(-1)＞0，且m≠0，即m＞-1且m≠0。
∵关于x的一元二次方程mx²-2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2)²-4m×(-1)＞0，且m≠0，即m＞-1且m≠0。
解析
【分析】
要确定实数m的取值范围，需同时满足两个条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ＞0求解，最后将两个条件结合得到m的范围。
【解析】
1. 因为方程$mx^2 - 2x - 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$m≠0$；
2. 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若有两个不相等的实数根，则判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。本题中$a=m$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×m×(-1) = 4 + 4m ＞ 0$，
解不等式$4 + 4m ＞ 0$，得$m ＞ -1$；
3. 结合步骤1中$m≠0$的条件，可得$m$的取值范围为$m ＞ -1$且$m≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式，解题时需注意：一元二次方程的二次项系数不能为0，这是易遗漏的条件，需结合判别式结果共同确定参数范围，难度适中。
【难度系数】
0.5
要确定实数m的取值范围，需同时满足两个条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ＞0求解，最后将两个条件结合得到m的范围。
【解析】
1. 因为方程$mx^2 - 2x - 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$m≠0$；
2. 对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若有两个不相等的实数根，则判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。本题中$a=m$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×m×(-1) = 4 + 4m ＞ 0$，
解不等式$4 + 4m ＞ 0$，得$m ＞ -1$；
3. 结合步骤1中$m≠0$的条件，可得$m$的取值范围为$m ＞ -1$且$m≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式，解题时需注意：一元二次方程的二次项系数不能为0，这是易遗漏的条件，需结合判别式结果共同确定参数范围，难度适中。
【难度系数】
0.5
4. 如果关于$x$的方程$x^{2}-4x+m=0$有两个相等的实数根，那么实数$m$的值为
4
。答案
4 解析：根据题意，得Δ=(-4)²-4×1×m=0，解得m=4。
解析
【分析】首先回忆一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。本题中方程为$x^2 -4x + m =0$，对应$a=1$，$b=-4$，$c=m$，将其代入判别式等于0的条件，即可求出$m$的值。
【解析】解：
∵关于$x$的方程$x^2 -4x + m =0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×m = 0$，
即$16 - 4m = 0$，
解得$m=4$。
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于一元二次方程章节的核心基础题型，只要牢记判别式与根的对应关系，就能快速完成求解，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵关于$x$的方程$x^2 -4x + m =0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×m = 0$，
即$16 - 4m = 0$，
解得$m=4$。
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于一元二次方程章节的核心基础题型，只要牢记判别式与根的对应关系，就能快速完成求解，难度较低。
【难度系数】0.8
5. 请填写一个常数，使得一元二次方程$x^{2}-5x+\_\_\_\_\_\_=0$没有实数根.
答案
7(答案不唯一) 解析：设常数为c.根据题意，得Δ=(-5)²-4×1×c＜0，解得c＞$\frac{25}{4}$。
解析
【分析】要使一元二次方程没有实数根，需利用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程无实数根。本题设空白处常数为$c$，代入判别式公式解不等式，得到$c$的取值范围，再选取符合范围的常数即可。
【解析】设空白处的常数为$c$，对于一元二次方程$x^2 -5x + c =0$，其中$a=1$，$b=-5$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta ＜0$，即：
$\Delta = (-5)^2 -4×1×c ＜0$
计算得：$25 -4c ＜0$
移项得：$-4c ＜ -25$
两边同时除以$-4$（不等号方向改变），得：$c ＞ \frac{25}{4}=6.25$
因此，填写大于6.25的常数均可，例如7（答案不唯一）。
【答案】7（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，核心是掌握判别式与根的关系，计算过程简单，只要能正确运用公式解不等式即可完成。
【难度系数】0.6
【解析】设空白处的常数为$c$，对于一元二次方程$x^2 -5x + c =0$，其中$a=1$，$b=-5$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta ＜0$，即：
$\Delta = (-5)^2 -4×1×c ＜0$
计算得：$25 -4c ＜0$
移项得：$-4c ＜ -25$
两边同时除以$-4$（不等号方向改变），得：$c ＞ \frac{25}{4}=6.25$
因此，填写大于6.25的常数均可，例如7（答案不唯一）。
【答案】7（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，核心是掌握判别式与根的关系，计算过程简单，只要能正确运用公式解不等式即可完成。
【难度系数】0.6
6. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $(k+2)x^2-2x-1=0$ 有实数根,那么实数 $k$ 的取值范围
是
是
$k≥-3$ 且 $k≠-2$
.答案
$k≥-3$ 且 $k≠-2$ 解析：根据题意，得k+2≠0且Δ=(-2)²-4×(k+2)×(-1)≥0，解得k≥-3且k≠-2。
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是题目给出的是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是一元二次方程有实数根的条件是判别式Δ≥0。首先根据一元二次方程的定义确定k的取值限制，再通过判别式求出k的范围，最后综合两个条件得到最终结果。
【解析】
解：因为方程$(k+2)x^2 -2x -1=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$k+2≠0$，解得$k≠-2$；
又因为该方程有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$，其中$a=k+2$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 -4×(k+2)×(-1) =4 +4(k+2)=4k +12 ≥0$，
解不等式$4k +12 ≥0$，得$k≥-3$；
综合两个条件，实数$k$的取值范围是$k≥-3$且$k≠-2$。
【答案】
$k≥-3$且$k≠-2$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意：一元二次方程的二次项系数不能为0，这是容易被忽略的易错点，需仔细审题，避免遗漏该条件。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是题目给出的是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是一元二次方程有实数根的条件是判别式Δ≥0。首先根据一元二次方程的定义确定k的取值限制，再通过判别式求出k的范围，最后综合两个条件得到最终结果。
【解析】
解：因为方程$(k+2)x^2 -2x -1=0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即：
$k+2≠0$，解得$k≠-2$；
又因为该方程有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$，其中$a=k+2$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 -4×(k+2)×(-1) =4 +4(k+2)=4k +12 ≥0$，
解不等式$4k +12 ≥0$，得$k≥-3$；
综合两个条件，实数$k$的取值范围是$k≥-3$且$k≠-2$。
【答案】
$k≥-3$且$k≠-2$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意：一元二次方程的二次项系数不能为0，这是容易被忽略的易错点，需仔细审题，避免遗漏该条件。
【难度系数】
0.5
7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2mx+2m-1=0$.
(1)若该方程有一个根是 2,求 $m$ 的值.
(2)求证:无论 $m$ 取什么值,该方程总有两个实数根.
(1)若该方程有一个根是 2,求 $m$ 的值.
(2)求证:无论 $m$ 取什么值,该方程总有两个实数根.
答案
(1)
∵关于x的一元二次方程x²-2mx+2m-1=0的一个根为x=2，
∴2²-4m+2m-1=0，
∴$m=\frac{3}{2}$。
(2)证明：
∵Δ=(-2m)²-4×1×(2m-1)=4m²-8m+4=4(m-1)²≥0，
∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根。
∵关于x的一元二次方程x²-2mx+2m-1=0的一个根为x=2，
∴2²-4m+2m-1=0，
∴$m=\frac{3}{2}$。
(2)证明：
∵Δ=(-2m)²-4×1×(2m-1)=4m²-8m+4=4(m-1)²≥0，
∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，则将其代入方程等式成立，因此把已知根x=2代入原方程，可得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；第(2)问要证明方程总有两个实数根，需依据一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b²-4ac≥0时，方程有两个实数根，计算该方程的判别式，化简后判断其取值范围，即可完成证明。
【解析】
(1) 因为x=2是一元二次方程x²-2mx+2m-1=0的根，将x=2代入方程得：
2² - 2m×2 + 2m -1 = 0
计算得：4 - 4m + 2m -1 = 0
合并同类项得：3 - 2m = 0
解得：m = 3/2。
(2) 对于一元二次方程x²-2mx+2m-1=0，其中a=1，b=-2m，c=2m-1，计算判别式Δ：
Δ = b² - 4ac = (-2m)² - 4×1×(2m -1) = 4m² - 8m + 4 = 4(m² - 2m +1) = 4(m -1)²
因为无论m取何值，(m -1)²≥0，所以4(m -1)²≥0，即Δ≥0，因此无论m取什么值，该方程总有两个实数根。
【答案】
(1) m的值为3/2；(2) 无论m取什么值，该方程总有两个实数根。
【知识点】
一元二次方程的根、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，分别考察方程根的定义和根的判别式的应用，解题思路清晰，步骤规范，属于初中数学必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，第(1)问利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，则将其代入方程等式成立，因此把已知根x=2代入原方程，可得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；第(2)问要证明方程总有两个实数根，需依据一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b²-4ac≥0时，方程有两个实数根，计算该方程的判别式，化简后判断其取值范围，即可完成证明。
【解析】
(1) 因为x=2是一元二次方程x²-2mx+2m-1=0的根，将x=2代入方程得：
2² - 2m×2 + 2m -1 = 0
计算得：4 - 4m + 2m -1 = 0
合并同类项得：3 - 2m = 0
解得：m = 3/2。
(2) 对于一元二次方程x²-2mx+2m-1=0，其中a=1，b=-2m，c=2m-1，计算判别式Δ：
Δ = b² - 4ac = (-2m)² - 4×1×(2m -1) = 4m² - 8m + 4 = 4(m² - 2m +1) = 4(m -1)²
因为无论m取何值，(m -1)²≥0，所以4(m -1)²≥0，即Δ≥0，因此无论m取什么值，该方程总有两个实数根。
【答案】
(1) m的值为3/2；(2) 无论m取什么值，该方程总有两个实数根。
【知识点】
一元二次方程的根、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，分别考察方程根的定义和根的判别式的应用，解题思路清晰，步骤规范，属于初中数学必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$，其中 $a$、$b$、$c$ 分别为 $△ ABC$ 三边的长.
(1) 如果 $x=-1$ 是方程的根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由.
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由.
(3) 如果 $△ ABC$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
(1) 如果 $x=-1$ 是方程的根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由.
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由.
(3) 如果 $△ ABC$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案
(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=-1代入方程，得a+c-2b+a-c=0，则a=b，
∴△ABC为等腰三角形。
(2)△ABC为直角三角形.理由如下：根据题意，得Δ=(2b)²-4(a+c)(a-c)=0，即b²+c²=a²，
∴△ABC为直角三角形。
(3)
∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程化为x²+x=0，解得x₁=0，x₂=-1。
∴△ABC为等腰三角形。
(2)△ABC为直角三角形.理由如下：根据题意，得Δ=(2b)²-4(a+c)(a-c)=0，即b²+c²=a²，
∴△ABC为直角三角形。
(3)
∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程化为x²+x=0，解得x₁=0，x₂=-1。
解析
【分析】
本题是一元二次方程与三角形性质结合的题目，分三小问逐步分析：
(1) 利用方程根的定义，将x=-1代入方程，化简得到a、b的关系，进而判断三角形形状；
(2) 根据一元二次方程有两个相等实根时判别式Δ=0，计算判别式并化简，结合勾股定理逆定理判断三角形形状；
(3) 利用等边三角形三边相等的性质，将a=b=c代入原方程，化简后求解一元二次方程得到根。
【解析】
(1) 把x=-1代入方程$(a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a-c) = 0$
化简得：$a + c - 2b + a - c = 0$，即$2a - 2b = 0$，所以$a = b$。
因为a、b是△ABC的两边，所以△ABC是等腰三角形。
(2) 因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = (2b)^2 - 4(a+c)(a-c) = 0$，
计算判别式：$\Delta = 4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 0$，两边除以4得：$b^2 - (a^2 - c^2) = 0$，
整理得：$b^2 + c^2 = a^2$，符合勾股定理的逆定理，所以△ABC是直角三角形。
(3) 因为△ABC是等边三角形，所以$a = b = c$，
将$a = b = c$代入原方程，得：$(a+a)x^2 + 2a x + (a - a) = 0$，即$2a x^2 + 2a x = 0$，
因为a≠0（三角形边长），两边除以2a得：$x^2 + x = 0$，
因式分解得：$x(x + 1) = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=-1代入方程，得a+c-2b+a-c=0，则a=b，
∴△ABC为等腰三角形。
(2)△ABC为直角三角形.理由如下：根据题意，得Δ=(2b)²-4(a+c)(a-c)=0，即b²+c²=a²，
∴△ABC为直角三角形。
(3)
∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程化为x²+x=0，解得x₁=0，x₂=-1。
【知识点】
一元二次方程根的定义、根的判别式、三角形形状判定
【点评】
本题将一元二次方程的代数性质与三角形的几何判定相结合，考查了方程根的代入、判别式的运用以及等腰、直角三角形的判定，是代数与几何融合的典型题型，需要学生具备一定的综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程与三角形性质结合的题目，分三小问逐步分析：
(1) 利用方程根的定义，将x=-1代入方程，化简得到a、b的关系，进而判断三角形形状；
(2) 根据一元二次方程有两个相等实根时判别式Δ=0，计算判别式并化简，结合勾股定理逆定理判断三角形形状；
(3) 利用等边三角形三边相等的性质，将a=b=c代入原方程，化简后求解一元二次方程得到根。
【解析】
(1) 把x=-1代入方程$(a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a-c) = 0$
化简得：$a + c - 2b + a - c = 0$，即$2a - 2b = 0$，所以$a = b$。
因为a、b是△ABC的两边，所以△ABC是等腰三角形。
(2) 因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = (2b)^2 - 4(a+c)(a-c) = 0$，
计算判别式：$\Delta = 4b^2 - 4(a^2 - c^2) = 0$，两边除以4得：$b^2 - (a^2 - c^2) = 0$，
整理得：$b^2 + c^2 = a^2$，符合勾股定理的逆定理，所以△ABC是直角三角形。
(3) 因为△ABC是等边三角形，所以$a = b = c$，
将$a = b = c$代入原方程，得：$(a+a)x^2 + 2a x + (a - a) = 0$，即$2a x^2 + 2a x = 0$，
因为a≠0（三角形边长），两边除以2a得：$x^2 + x = 0$，
因式分解得：$x(x + 1) = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = -1$。
【答案】
(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=-1代入方程，得a+c-2b+a-c=0，则a=b，
∴△ABC为等腰三角形。
(2)△ABC为直角三角形.理由如下：根据题意，得Δ=(2b)²-4(a+c)(a-c)=0，即b²+c²=a²，
∴△ABC为直角三角形。
(3)
∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程化为x²+x=0，解得x₁=0，x₂=-1。
【知识点】
一元二次方程根的定义、根的判别式、三角形形状判定
【点评】
本题将一元二次方程的代数性质与三角形的几何判定相结合，考查了方程根的代入、判别式的运用以及等腰、直角三角形的判定，是代数与几何融合的典型题型，需要学生具备一定的综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
9. 关于 $x$ 的方程 $(x-1)(x-2)-m^2=0$ 的根的情况是（
A.有一正一负两个不相等的实数根
B.有两个不相等的正实数根
C.至多有一个正实数根
D.至少有一个正实数根
D
）A.有一正一负两个不相等的实数根
B.有两个不相等的正实数根
C.至多有一个正实数根
D.至少有一个正实数根
答案
D 解析：整理原方程，得x²-3x+2-m²=0.
∵Δ=(-3)²-4×1×(2-m²)=4m²+1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
∵方程的两个根的和为x₁+x₂=3＞0，
∴方程至少有一个正实数根。
∵Δ=(-3)²-4×1×(2-m²)=4m²+1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
∵方程的两个根的和为x₁+x₂=3＞0，
∴方程至少有一个正实数根。
解析
【分析】
要判断方程根的情况，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式确定根的个数，结合韦达定理（根与系数的关系）分析根的正负性，进而得出结论。
【解析】
原方程展开整理得：$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$。
1. 判断根的个数：计算判别式$\Delta = (-3)^2 - 4 × 1 × (2 - m^2) = 9 - 8 + 4m^2 = 4m^2 + 1$。因为$m^2 ≥ 0$，所以$\Delta = 4m^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 判断根的正负性：根据韦达定理，方程的两根之和$x_1 + x_2 = 3 ＞ 0$。若两个根均为非正实数，则它们的和必然≤0，与$x_1 + x_2 = 3 ＞ 0$矛盾，因此方程至少有一个正实数根。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，需先将方程化为标准形式，再通过判别式确定根的个数，利用根的和的性质判断根的正负情况，是基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
要判断方程根的情况，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式确定根的个数，结合韦达定理（根与系数的关系）分析根的正负性，进而得出结论。
【解析】
原方程展开整理得：$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$。
1. 判断根的个数：计算判别式$\Delta = (-3)^2 - 4 × 1 × (2 - m^2) = 9 - 8 + 4m^2 = 4m^2 + 1$。因为$m^2 ≥ 0$，所以$\Delta = 4m^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 判断根的正负性：根据韦达定理，方程的两根之和$x_1 + x_2 = 3 ＞ 0$。若两个根均为非正实数，则它们的和必然≤0，与$x_1 + x_2 = 3 ＞ 0$矛盾，因此方程至少有一个正实数根。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，需先将方程化为标准形式，再通过判别式确定根的个数，利用根的和的性质判断根的正负情况，是基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
