9. 下列一元二次方程中,两根之和为$-1$的是（）

A.$x^{2}+x+2=0$
B.$x^{2}-x-5=0$
C.$x^{2}+x-3=0$
D.$2x^{2}-x-1=0$

9. C 解析:$\because x^2+x+2=0$,$\therefore \Delta=1^2-4×1×2=-7＜0$,$\therefore$此方程没有实数根,故A选项不符合题意;$\because x^2-x-5=0$,$\therefore \Delta=(-1)^2-4×1×(-5)=21＞0$,$\therefore$此方程有实数根,$x_1+x_2=1$,故B选项不符合题意;$\because x^2+x-3=0$,$\therefore \Delta=1^2-4×1×(-3)=13＞0$,$\therefore$此方程有实数根,$x_1+x_2=-1$,故C选项符合题意;$\because 2x^2-x-1=0$,$\therefore \Delta=(-1)^2-4×2×(-1)=9＞0$,$\therefore$此方程有实数根,$x_1+x_2=\dfrac{1}{2}$,故D选项不符合题意.

【分析】
要解决这道题，需遵循两个关键步骤：第一步，先利用一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac判断方程是否有实数根（Δ≥0时方程才有实根）；第二步，对于有实根的方程，运用韦达定理（根与系数的关系），即对于ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和为 -b/a，计算各选项的两根和，选出和为-1的选项。
【解析】
对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），判别式Δ=b²-4ac，Δ≥0时方程有实根，两根之和为 -b/a。
选项A：方程x²+x+2=0，a=1，b=1，c=2，Δ=1²-4×1×2=-7＜0，无实根，排除；
选项B：方程x²-x-5=0，a=1，b=-1，c=-5，Δ=(-1)²-4×1×(-5)=21＞0，两根和=-(-1)/1=1≠-1，排除；
选项C：方程x²+x-3=0，a=1，b=1，c=-3，Δ=1²-4×1×(-3)=13＞0，两根和=-1/1=-1，符合要求；
选项D：方程2x²-x-1=0，a=2，b=-1，c=-1，Δ=(-1)²-4×2×(-1)=9＞0，两根和=-(-1)/2=1/2≠-1，排除；
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的基础应用，解题时需注意两点：一是必须先判断方程是否有实根，避免无实根的情况；二是运用韦达定理计算两根和时，要准确把握公式中-b/a的符号，防止符号错误。整体属于基础题型，需熟练掌握相关公式。
【难度系数】
0.6

10. 若关于$x$的方程$ax^{2}-(3a+1)x+2(a+1)=0$有两个不相等的实数根$x_{1}$、$x_{2}$，且满足$x_{1}-$$x_{1}x_{2}+x_{2}=1-a$，则$a$的值是（）

A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$-1$
D.$2$

10. A 解析:根据题意,得$\Delta=(3a+1)^2-8a(a+1)＞0$,即$a^2-2a+1＞0$,$\therefore (a-1)^2＞0$,$\therefore a≠1$.$\because$关于$x$的方程$ax^2-(3a+1)x+2(a+1)=0$有两个不相等的实数根$x_1$、$x_2$,且有$x_1-x_1x_2+x_2=1-a$,$\therefore \dfrac{3a+1}{a}-\dfrac{2a+2}{a}=1-a$,解得$a=\pm1$.又$\because a≠1$,$\therefore a=-1$.

【分析】
要解决这道题，需分步骤思考：首先，方程有两个不相等的实数根，说明它是一元二次方程，需满足二次项系数不为0，且判别式大于0；其次，利用韦达定理（根与系数的关系）求出两根之和与两根之积，代入题目给出的等式，解出a的可能值；最后，结合之前得到的a的取值范围，排除不符合条件的a值，得到最终答案。
【解析】
解：
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴该方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0，且判别式Δ＞0。
计算判别式：
Δ=(3a+1)² - 4·a·2(a+1)
=9a²+6a+1 -8a(a+1)
=9a²+6a+1 -8a²-8a
=a²-2a+1=(a-1)²
由Δ＞0得：(a-1)²＞0 → a≠1，结合a≠0，得a的取值范围为a≠0且a≠1。
根据韦达定理，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，两根x₁、x₂满足：
x₁+x₂=-(b/a)=(3a+1)/a，x₁x₂=c/a=2(a+1)/a。
已知x₁ -x₁x₂ +x₂=1 -a，变形为(x₁+x₂)-x₁x₂=1 -a，代入韦达定理的结果：
(3a+1)/a - 2(a+1)/a =1 -a
左边通分计算：
[3a+1 -2(a+1)]/a = (3a+1 -2a -2)/a=(a-1)/a
因此等式变为：
(a-1)/a =1 -a
两边同乘a（a≠0）得：
a-1 =a(1 -a)
整理得：a-1 =a -a² → a²=1 → a=1或a=-1。
结合之前的取值范围a≠0且a≠1，排除a=1，故a=-1。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的定义、根的判别式及韦达定理的应用，解题关键在于明确“两个不相等实数根”对应的条件（二次项系数不为0、判别式大于0），且利用韦达定理代入等式后，需结合判别式结果对解出的a进行取舍，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.5

11. 已知一元二次方程$x^{2}-2x+k=0$的两根分别是$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}x_{2}$的最大值为。

11. 1 解析:$\because$方程$x^2-2x+k=0$的两个根分别是$x_1$和$x_2$,$\therefore \Delta=(-2)^2-4k≥0$,解得$k≤1$.$\because x_1x_2=k$,$\therefore x_1x_2$的最大值为1.

【分析】
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程存在两个实数根的前提条件，即判别式非负，据此确定参数$k$的取值范围；再利用韦达定理得到两根之积与$k$的关系，最后结合$k$的取值范围求出两根之积的最大值。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$，因为方程有两个实数根$x_1$和$x_2$，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=k$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × k = 4 - 4k ≥ 0$，
解不等式得：$4k ≤ 4$，即$k ≤ 1$。
根据韦达定理，一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a}$，因此本题中$x_1x_2 = \frac{k}{1} = k$。
结合$k ≤ 1$，可得$x_1x_2$的最大值为1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的存在性及韦达定理的应用，核心是牢记方程有两个根时判别式非负，避免忽略该条件导致错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

12. (2025·广安) 已知方程 $x^{2}-5x-24=0$ 的两根分别为 $a$、$b$, 则代数式 $a^{2}-4a+b$ 的值为.

12. 29 解析:$\because$方程$x^2-5x-24=0$的两根分别为$a$、$b$,$\therefore a+b=5$,$a^2-5a-24=0$,$\therefore a^2-5a=24$,$\therefore a^2-4a+b=a^2-5a+a+b=24+5=29$.

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用一元二次方程根的定义和韦达定理（根与系数的关系），通过整体代入的方法计算代数式的值。首先，因为a是方程的根，将a代入方程可得到$a^2 -5a$的值；再根据韦达定理直接求出两根之和$a+b$；最后把所求代数式变形为包含$a^2 -5a$和$a+b$的形式，代入数值即可算出结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
∵方程$x^2 -5x -24=0$的两根为$a$、$b$，
∴根据一元二次方程根的定义，将$a$代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，
移项可得：$a^2 -5a=24$；
再根据韦达定理，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，两根之和为$-\frac{B}{A}$，
这里$A=1$，$B=-5$，因此$a+b=-\frac{-5}{1}=5$；
对代数式$a^2 -4a +b$变形：
$a^2 -4a +b=(a^2 -5a)+(a+b)$，
将$a^2 -5a=24$、$a+b=5$代入得：
原式$=24+5=29$。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程的根、根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义和韦达定理的应用，关键是通过整体代入的思想对代数式变形，避免求解方程的根，简化计算，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2k-1)x-k-1=0$.
(1)求证:无论 $k$ 取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程有两个实数根 $x_{1}$、$x_{2}$,且 $x_{1}+x_{2}-4x_{1}x_{2}=2$,求 $k$ 的值.

13. (1)证明:$\because \Delta=(2k-1)^2-4×1×(-k-1)=4k^2+1-4k+4k+4=4k^2+5＞0$,$\therefore$无论$k$取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系,得$x_1+x_2=-(2k-1)$,$x_1x_2=-k-1$.$\because x_1+x_2-4x_1x_2=2$,$\therefore -(2k-1)-4(-k-1)=2$,解得$k=-\dfrac{3}{2}$.

【分析】
这道题分为两小问，第(1)问要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ，计算Δ并证明其恒大于0；第(2)问利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），将两根之和、两根之积用k表示，代入给定的等式，解关于k的方程即可求出k的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$。本题中 $a=1$，$b=2k-1$，$c=-k-1$，计算得：
$\Delta=(2k-1)^2 - 4×1×(-k-1)=4k^2 -4k +1 +4k +4=4k^2 +5$。
因为 $k^2≥0$，所以 $4k^2≥0$，则 $4k^2 +5≥5＞0$，因此无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程 $x^2+(2k-1)x -k -1=0$，两根 $x_1$、$x_2$ 满足：
$x_1 + x_2 = -(2k -1)$，$x_1x_2 = -k -1$。
将其代入 $x_1 + x_2 -4x_1x_2=2$，得：
$-(2k -1) -4×(-k -1)=2$，
展开计算：$-2k +1 +4k +4=2$，
合并同类项：$2k +5=2$，
解得：$k=-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) 证明：$\because \Delta=(2k-1)^2-4×1×(-k-1)=4k^2+1-4k+4k+4=4k^2+5＞0$，$\therefore$无论$k$取何值，此方程总有两个不相等的实数根。
(2) $k=-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，分别考察根的判别式和韦达定理的基本应用，题型常规，步骤清晰，只要掌握相关公式即可顺利解答，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5

14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-k x+\dfrac{1}{4} k^{2}-1=0$.
(1)求证:无论 $k$ 为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)已知 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的斜边 $c=\sqrt{10}$,且两直角边 $a$、$b$ 恰好是这个方程的两个根,求 $k$ 的值.

14. (1)证明:$\because \Delta=(-k)^2-4×1×(\dfrac{1}{4}k^2-1)=k^2-k^2+4=4＞0$,$\therefore$无论$k$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because a$、$b$恰好是方程的两个根,$\therefore a+b=k$,$ab=\dfrac{1}{4}k^2-1$.$\because △ ABC$是直角三角形,斜边$c=\sqrt{10}$,$\therefore a^2+b^2=c^2$,$\therefore (a+b)^2-2ab=c^2$,$\therefore k^2-2(\dfrac{1}{4}k^2-1)=10$,整理,得$k^2=16$,解得$k=4$或$k=-4$.又$\because$当$k=-4$时,$a+b=k=-4＜0$,不符合题意,舍去,$\therefore k=4$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根的判别式证明方程总有两个不相等的实数根，核心是计算判别式并判断其恒大于0；第(2)问结合韦达定理得到两根关系，再利用直角三角形勾股定理建立关于$k$的方程，最后根据边长为正的实际意义舍去不符合的解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - kx + \frac{1}{4}k^2 -1 =0$，其中$a=1$，$b=-k$，$c=\frac{1}{4}k^2 -1$，计算判别式：
$\Delta = (-k)^2 -4×1×(\frac{1}{4}k^2 -1) = k^2 -k^2 +4 =4＞0$，
因此无论$k$为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 因为$a$、$b$是方程的两个根，根据韦达定理得：
$a + b = k$，$ab = \frac{1}{4}k^2 -1$。
又因为$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$c=\sqrt{10}$，由勾股定理得：
$a^2 + b^2 = c^2 = (\sqrt{10})^2 =10$。
将$a^2 + b^2$变形为$(a+b)^2 -2ab$，代入得：
$k^2 -2×(\frac{1}{4}k^2 -1) =10$，
整理得$\frac{1}{2}k^2 =8$，解得$k^2=16$，即$k=4$或$k=-4$。
由于直角三角形边长为正，故$a+b=k＞0$，舍去$k=-4$，因此$k=4$。
【答案】
$k=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理；勾股定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程的判别式、韦达定理与直角三角形性质，解题关键是利用判别式证明根的情况，结合勾股定理建立方程，需注意实际问题中边长为正的隐含条件，避免错解。
【难度系数】
0.6

15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x+2m-1=0$ 有两个实数根 $x_1$、$x_2$.
(1) 若 $x_1=1$, 求 $x_2$ 及 $m$ 的值.
(2) 是否存在实数 $m$, 满足 $(x_1-1)(x_2-1)=\dfrac{6}{m-5}$? 若存在, 求出实数 $m$ 的值; 若不存在,请说明理由.

15. (1)根据题意,得$\Delta=(-6)^2-4×1×(2m-1)≥0$,解得$m≤5$.由根与系数的关系,得$x_1+x_2=6$,$x_1x_2=2m-1$.$\because x_1=1$,$\therefore 1+x_2=6$,$x_2=2m-1$,$\therefore x_2=5$,$m=3$.
(2)存在.$\because (x_1-1)(x_2-1)=\dfrac{6}{m-5}$,$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\dfrac{6}{m-5}$,即$2m-1-6+1=\dfrac{6}{m-5}$,整理,得$m^2-8m+12=0$,解得$m_1=2$,$m_2=6$.由(1)得$m≤5$,又由分式有意义,得$m≠5$,$\therefore m=2$.

【分析】
首先，对于一元二次方程有两个实数根，需先利用根的判别式确定参数的取值范围，再结合根与系数的关系（韦达定理）求解。第(1)问已知一个根，利用两根之和可直接求另一个根，再用两根之积求m；第(2)问将等式左边展开，代入韦达定理的结果得到关于m的方程，解后需结合判别式和分式有意义的条件筛选有效解。
【解析】
(1) 因为方程 $x^2 -6x +2m -1=0$ 有两个实数根，所以判别式 $\Delta = (-6)^2 -4×1×(2m -1) ≥ 0$，计算得：
$36 - 8m +4 ≥0 \implies 40 -8m ≥0 \implies m ≤5$。
根据韦达定理，两根之和 $x_1 +x_2 =6$，两根之积 $x_1x_2=2m -1$。
已知 $x_1=1$，则 $1 +x_2=6 \implies x_2=5$；
又 $x_1x_2=2m -1$，即 $1×5=2m -1 \implies 2m=6 \implies m=3$。
(2) 假设存在实数m满足条件，先展开等式左边：
$(x_1 -1)(x_2 -1)=x_1x_2 - (x_1 +x_2) +1$，代入韦达定理的结果：
$2m -1 -6 +1 = \frac{6}{m -5}$，化简左边得 $2m -6 = \frac{6}{m -5}$，
两边同乘 $m -5$（$m≠5$，分母不为0）得：$(2m -6)(m -5)=6$，
展开左边：$2m^2 -10m -6m +30 =6 \implies 2m^2 -16m +24=0$，两边除以2得 $m^2 -8m +12=0$，
因式分解：$(m -2)(m -6)=0$，解得 $m_1=2$，$m_2=6$。
结合(1)中 $m ≤5$，且 $m≠5$，所以 $m=2$，符合条件，故存在这样的m，值为2。
【答案】
(1) $x_2=5$，$m=3$；(2) 存在，$m=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，分式有意义的条件
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的判别式、韦达定理的应用，解题关键是熟练运用韦达定理转化式子，同时需注意隐含条件（判别式≥0、分式分母不为0），避免增根或不符合条件的解。
【难度系数】
0.5