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10. 若关于 $x$ 的方程 $a x^{2}+b x+c=0(a ≠ 0)$ 的两根之和是 $m$, 两根之积是 $n$, 则关于 $t$ 的方程
$a(t+1)^{2}+b(t+1)+c=0$ 的两根之积是（
A.$n+m-1$
B.$n+m+1$
C.$n-m+1$
D.$n-m-1$
$a(t+1)^{2}+b(t+1)+c=0$ 的两根之积是（
C
）A.$n+m-1$
B.$n+m+1$
C.$n-m+1$
D.$n-m-1$
答案
C 解析：把方程a(t+1)²+b(t+1)+c=0看作是关于t+1的一元二次方程，设关于x的方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁、x₂，则方程a(t+1)²+b(t+1)+c=0的两根为t₁=x₁-1，t₂=x₂-1.
∵关于x的方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m，两根之积是n，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=n，
∴t₁t₂=(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=n-m+1。
∵关于x的方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m，两根之积是n，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=n，
∴t₁t₂=(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=n-m+1。
解析
【分析】首先观察两个方程的结构，发现关于t的方程是将原方程中的x替换为(t+1)，因此可利用换元法，把(t+1)看作原方程的根，从而建立t的根与原方程根的关系，再结合韦达定理（根与系数的关系）计算新方程的两根之积。具体步骤：1. 设原方程的两根，利用韦达定理得到两根和与积；2. 推导新方程的两根表达式；3. 展开计算两根之积，代入已知的m、n即可得到结果。
【解析】设方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=m$，两根之积$x_1x_2=n$。对于方程$a(t+1)^2+b(t+1)+c=0$，令$u = t+1$，则方程变为$au^2+bu+c=0$，其根为$u_1=x_1$、$u_2=x_2$，因此对应的t的根为$t_1=u_1-1=x_1-1$，$t_2=u_2-1=x_2-1$。计算两根之积：$t_1t_2=(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，将$x_1+x_2=m$、$x_1x_2=n$代入，得$t_1t_2 = n - m +1$。
【答案】C
【知识点】韦达定理，一元二次方程换元法
【点评】本题考查韦达定理的灵活应用，核心是通过换元建立新方程根与原方程根的联系，进而利用已知条件求解，解题关键在于准确推导新方程根的表达式，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】设方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=m$，两根之积$x_1x_2=n$。对于方程$a(t+1)^2+b(t+1)+c=0$，令$u = t+1$，则方程变为$au^2+bu+c=0$，其根为$u_1=x_1$、$u_2=x_2$，因此对应的t的根为$t_1=u_1-1=x_1-1$，$t_2=u_2-1=x_2-1$。计算两根之积：$t_1t_2=(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，将$x_1+x_2=m$、$x_1x_2=n$代入，得$t_1t_2 = n - m +1$。
【答案】C
【知识点】韦达定理，一元二次方程换元法
【点评】本题考查韦达定理的灵活应用，核心是通过换元建立新方程根与原方程根的联系，进而利用已知条件求解，解题关键在于准确推导新方程根的表达式，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】0.6
11. (2024·巴中) 已知方程 $x^{2}-2x+k=0$ 的一个根为 $-2$,则方程的另一个根为
4
.答案
4 解析：设方程的另一个根为m，
∵方程的一个根为-2，
∴-2+m=2，解得m=4，
∴方程的另一个根为4。
∵方程的一个根为-2，
∴-2+m=2，解得m=4，
∴方程的另一个根为4。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路是利用韦达定理（一元二次方程两根之和等于一次项系数的相反数），已知方程的一个根，通过两根之和的关系计算出另一个根。
【解析】
设方程的另一个根为$ m $，
对于一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $，两根之和为$-\frac{b}{a}$。本题中方程$ x^2 - 2x + k = 0 $，$ a=1 $，$ b=-2 $，因此两根之和为$-\frac{-2}{1}=2$。
已知一个根为$-2$，则$-2 + m = 2$，
解得$ m = 2 - (-2) = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题型，直接考查韦达定理的应用，解题逻辑清晰，难度较低，适合基础阶段学生练习。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路是利用韦达定理（一元二次方程两根之和等于一次项系数的相反数），已知方程的一个根，通过两根之和的关系计算出另一个根。
【解析】
设方程的另一个根为$ m $，
对于一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $，两根之和为$-\frac{b}{a}$。本题中方程$ x^2 - 2x + k = 0 $，$ a=1 $，$ b=-2 $，因此两根之和为$-\frac{-2}{1}=2$。
已知一个根为$-2$，则$-2 + m = 2$，
解得$ m = 2 - (-2) = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题型，直接考查韦达定理的应用，解题逻辑清晰，难度较低，适合基础阶段学生练习。
【难度系数】
0.8
12. 设$x_{1}$、$x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}+6x+m=0$的两个根，且$x_{1}=2x_{2}$，则$m=$
8
.答案
8 解析：根据题意，得x₁+x₂=3x₂=-6，则x₂=-2，将其代入方程x²+6x+m=0，得(-2)²+6×(-2)+m=0，解得m=8。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题思路：首先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，再结合已知的根的关系$x_1=2x_2$求出其中一个根，最后将根代入原方程即可计算出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。
已知方程$x^2+6x+m=0$中$a=1$，$b=6$，因此两根之和$x_1+x_2=-\frac{6}{1}=-6$。
又因为$x_1=2x_2$，代入得：$2x_2 + x_2 = -6$，即$3x_2=-6$，解得$x_2=-2$。
将$x_2=-2$代入原方程$x^2+6x+m=0$，得：
$(-2)^2 + 6×(-2) + m = 0$
计算得：$4 -12 + m = 0$，即$-8 + m =0$，解得$m=8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是利用两根之和的关系结合已知条件求出根，再代入方程求解参数，属于学生必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题思路：首先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，再结合已知的根的关系$x_1=2x_2$求出其中一个根，最后将根代入原方程即可计算出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。
已知方程$x^2+6x+m=0$中$a=1$，$b=6$，因此两根之和$x_1+x_2=-\frac{6}{1}=-6$。
又因为$x_1=2x_2$，代入得：$2x_2 + x_2 = -6$，即$3x_2=-6$，解得$x_2=-2$。
将$x_2=-2$代入原方程$x^2+6x+m=0$，得：
$(-2)^2 + 6×(-2) + m = 0$
计算得：$4 -12 + m = 0$，即$-8 + m =0$，解得$m=8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是利用两根之和的关系结合已知条件求出根，再代入方程求解参数，属于学生必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.7
13. 已知 a、b 是方程 $x^{2}+x-3=0$ 的两个实数根, 则 $a^{2}-b+2026=$
2030
.答案
2030 解析：
∵a、b是方程x²+x-3=0的两个实数根，
∴a²+a=3，a+b=-1，
∴a²-b+2026=a²+a-(a+b)+2026=3+1+2026=2030。
∵a、b是方程x²+x-3=0的两个实数根，
∴a²+a=3，a+b=-1，
∴a²-b+2026=a²+a-(a+b)+2026=3+1+2026=2030。
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的定义和韦达定理转化所求式子：首先根据根的定义，将根代入方程得到$a^2$与$a$的关系，实现降次；再结合韦达定理得到两根之和$a+b$的值，把所求式子转化为可直接代入计算的形式，最终求出结果。
【解析】
解：
∵$a$是方程$x^2 + x - 3 = 0$的实数根，
∴将$a$代入方程得：$a^2 + a - 3 = 0$，即$a^2 = 3 - a$。
又
∵$a$、$b$是方程$x^2 + x - 3 = 0$的两个实数根，
根据韦达定理，两根之和$a + b = -1$。
将$a^2 = 3 - a$代入$a^2 - b + 2026$得：
$a^2 - b + 2026 = (3 - a) - b + 2026$
$= 3 - (a + b) + 2026$
把$a + b = -1$代入上式：
$= 3 - (-1) + 2026$
$= 3 + 1 + 2026 = 2030$。
【答案】
2030
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义和韦达定理的基础应用，关键是利用根的定义降次，结合韦达定理简化式子，属于需掌握核心知识点的基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的定义和韦达定理转化所求式子：首先根据根的定义，将根代入方程得到$a^2$与$a$的关系，实现降次；再结合韦达定理得到两根之和$a+b$的值，把所求式子转化为可直接代入计算的形式，最终求出结果。
【解析】
解：
∵$a$是方程$x^2 + x - 3 = 0$的实数根，
∴将$a$代入方程得：$a^2 + a - 3 = 0$，即$a^2 = 3 - a$。
又
∵$a$、$b$是方程$x^2 + x - 3 = 0$的两个实数根，
根据韦达定理，两根之和$a + b = -1$。
将$a^2 = 3 - a$代入$a^2 - b + 2026$得：
$a^2 - b + 2026 = (3 - a) - b + 2026$
$= 3 - (a + b) + 2026$
把$a + b = -1$代入上式：
$= 3 - (-1) + 2026$
$= 3 + 1 + 2026 = 2030$。
【答案】
2030
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义和韦达定理的基础应用，关键是利用根的定义降次，结合韦达定理简化式子，属于需掌握核心知识点的基础题型。
【难度系数】
0.6
14. 已知 $α、β(α＞β)$ 是一元二次方程 $x^2-x-1=0$ 的两个实数根, $s_1=α+β, s_2=α^2+β^2, ···, s_n=$ $α^n+β^n.$
(1) 直接写出 $s_1$、$s_2$ 的值: $s_1=$
(2) 经计算可得: $s_3=4, s_4=7, s_5=11.$ 当 $n ≥ 3$ 时, 试猜想 $s_n$、$s_{n-1}$、$s_{n-2}$ 之间满足的数量关系,并证明.
(1) 直接写出 $s_1$、$s_2$ 的值: $s_1=$
1
, $s_2=$3
.(2) 经计算可得: $s_3=4, s_4=7, s_5=11.$ 当 $n ≥ 3$ 时, 试猜想 $s_n$、$s_{n-1}$、$s_{n-2}$ 之间满足的数量关系,并证明.
答案
(1)1 3 解析：由根与系数的关系，得α+β=1，αβ=-1，
∴s₁=α+β=1，s₂=α²+β²=(α+β)²-2αβ=1²-2×(-1)=3。
(2)sₙ=sₙ₋₁+sₙ₋₂.证明如下：根据根的定义，得α²-α-1=0，两边都乘αⁿ⁻²，得αⁿ-αⁿ⁻¹-αⁿ⁻²=0①，同理，βⁿ-βⁿ⁻¹-βⁿ⁻²=0②，①+②，得(αⁿ+βⁿ)-(αⁿ⁻¹+βⁿ⁻¹)-(αⁿ⁻²+βⁿ⁻²)=0.
∵sₙ=αⁿ+βⁿ，sₙ₋₁=αⁿ⁻¹+βⁿ⁻¹，sₙ₋₂=αⁿ⁻²+βⁿ⁻²，
∴sₙ-sₙ₋₁-sₙ₋₂=0，即sₙ=sₙ₋₁+sₙ₋₂。
∴s₁=α+β=1，s₂=α²+β²=(α+β)²-2αβ=1²-2×(-1)=3。
(2)sₙ=sₙ₋₁+sₙ₋₂.证明如下：根据根的定义，得α²-α-1=0，两边都乘αⁿ⁻²，得αⁿ-αⁿ⁻¹-αⁿ⁻²=0①，同理，βⁿ-βⁿ⁻¹-βⁿ⁻²=0②，①+②，得(αⁿ+βⁿ)-(αⁿ⁻¹+βⁿ⁻¹)-(αⁿ⁻²+βⁿ⁻²)=0.
∵sₙ=αⁿ+βⁿ，sₙ₋₁=αⁿ⁻¹+βⁿ⁻¹，sₙ₋₂=αⁿ⁻²+βⁿ⁻²，
∴sₙ-sₙ₋₁-sₙ₋₂=0，即sₙ=sₙ₋₁+sₙ₋₂。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求$s_1$、$s_2$；第(2)问先通过已知的$s_3$、$s_4$、$s_5$的数值猜想$s_n$与前两项的关系，再利用一元二次方程根的定义证明该关系。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$，根据韦达定理，两根之和$α + β = 1$，两根之积$αβ = -1$。
因此$s_1 = α + β = 1$；
$s_2 = α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = 1^2 - 2×(-1) = 3$。
(2) 猜想：当$n≥3$时，$s_n = s_{n-1} + s_{n-2}$。
证明：因为$α$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的根，所以$α^2 - α - 1 = 0$，两边同乘$α^{n-2}$（$n≥3$）得：
$α^n - α^{n-1} - α^{n-2} = 0$ ①
同理，$β$是方程的根，可得：
$β^n - β^{n-1} - β^{n-2} = 0$ ②
①+②得：$(α^n + β^n) - (α^{n-1} + β^{n-1}) - (α^{n-2} + β^{n-2}) = 0$
又因为$s_n = α^n + β^n$，$s_{n-1} = α^{n-1} + β^{n-1}$，$s_{n-2} = α^{n-2} + β^{n-2}$，代入得：
$s_n - s_{n-1} - s_{n-2} = 0$，即$s_n = s_{n-1} + s_{n-2}$。
【答案】
(1)$1$，$3$；(2)$s_n = s_{n-1} + s_{n-2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，递推关系证明
【点评】
本题综合考查一元二次方程的韦达定理、根的定义，以及递推数列的推导，需要学生熟练掌握代数变形的方法，难度适中，是中等难度的代数综合题。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求$s_1$、$s_2$；第(2)问先通过已知的$s_3$、$s_4$、$s_5$的数值猜想$s_n$与前两项的关系，再利用一元二次方程根的定义证明该关系。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$，根据韦达定理，两根之和$α + β = 1$，两根之积$αβ = -1$。
因此$s_1 = α + β = 1$；
$s_2 = α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = 1^2 - 2×(-1) = 3$。
(2) 猜想：当$n≥3$时，$s_n = s_{n-1} + s_{n-2}$。
证明：因为$α$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的根，所以$α^2 - α - 1 = 0$，两边同乘$α^{n-2}$（$n≥3$）得：
$α^n - α^{n-1} - α^{n-2} = 0$ ①
同理，$β$是方程的根，可得：
$β^n - β^{n-1} - β^{n-2} = 0$ ②
①+②得：$(α^n + β^n) - (α^{n-1} + β^{n-1}) - (α^{n-2} + β^{n-2}) = 0$
又因为$s_n = α^n + β^n$，$s_{n-1} = α^{n-1} + β^{n-1}$，$s_{n-2} = α^{n-2} + β^{n-2}$，代入得：
$s_n - s_{n-1} - s_{n-2} = 0$，即$s_n = s_{n-1} + s_{n-2}$。
【答案】
(1)$1$，$3$；(2)$s_n = s_{n-1} + s_{n-2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，递推关系证明
【点评】
本题综合考查一元二次方程的韦达定理、根的定义，以及递推数列的推导，需要学生熟练掌握代数变形的方法，难度适中，是中等难度的代数综合题。
【难度系数】
0.5
15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x-3m^{2}=0$.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两个实数根分别为 $x_1$、$x_2$,且 $x_1+2x_2=5$,求 $m$ 的值.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两个实数根分别为 $x_1$、$x_2$,且 $x_1+2x_2=5$,求 $m$ 的值.
答案
(1)证明：
∵Δ=(-2)²-4×1×(-3m²)=4+12m²＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根。
(2)根据题意，得$\begin{cases}x_1+x_2=2,\\x_1+2x_2=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=-1,\\x_2=3.\end{cases}$
∵x₁·x₂=-3m²，
∴-3m²=-3，
∴m=±1。
∵Δ=(-2)²-4×1×(-3m²)=4+12m²＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根。
(2)根据题意，得$\begin{cases}x_1+x_2=2,\\x_1+2x_2=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=-1,\\x_2=3.\end{cases}$
∵x₁·x₂=-3m²，
∴-3m²=-3，
∴m=±1。
解析
【分析】
第一问要证明方程总有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ，计算Δ的值并判断其是否恒大于0；第二问结合韦达定理（根与系数的关系）得到两根之和，联立已知的x₁+2x₂=5解出两根，再利用两根之积建立关于m的方程，求解m的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。本题中$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$，则：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-3m^2) = 4 + 12m^2$。
因为$m^2≥0$，所以$12m^2≥0$，故$\Delta = 4 + 12m^2 ≥4＞0$，因此方程总有两个不相等的实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两根$x_1$、$x_2$满足$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -3m^2$。
联立$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 + 2x_2 =5\end{cases}$，用第二个方程减第一个方程得：$x_2=3$，代入$x_1 + x_2=2$得$x_1=-1$。
再根据两根之积：$x_1x_2 = -3m^2$，代入$x_1=-1$、$x_2=3$得：$-1×3 = -3m^2$，即$-3=-3m^2$，解得$m^2=1$，故$m=±1$。
【答案】
(1) 方程总有两个不相等的实数根，证明如上；(2) $m$的值为$\pm1$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的基础应用，步骤清晰，需掌握判别式的计算规则和韦达定理的内容，属于常规题型。
【难度系数】
0.6
第一问要证明方程总有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ，计算Δ的值并判断其是否恒大于0；第二问结合韦达定理（根与系数的关系）得到两根之和，联立已知的x₁+2x₂=5解出两根，再利用两根之积建立关于m的方程，求解m的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。本题中$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$，则：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-3m^2) = 4 + 12m^2$。
因为$m^2≥0$，所以$12m^2≥0$，故$\Delta = 4 + 12m^2 ≥4＞0$，因此方程总有两个不相等的实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两根$x_1$、$x_2$满足$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = -3m^2$。
联立$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 + 2x_2 =5\end{cases}$，用第二个方程减第一个方程得：$x_2=3$，代入$x_1 + x_2=2$得$x_1=-1$。
再根据两根之积：$x_1x_2 = -3m^2$，代入$x_1=-1$、$x_2=3$得：$-1×3 = -3m^2$，即$-3=-3m^2$，解得$m^2=1$，故$m=±1$。
【答案】
(1) 方程总有两个不相等的实数根，证明如上；(2) $m$的值为$\pm1$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的基础应用，步骤清晰，需掌握判别式的计算规则和韦达定理的内容，属于常规题型。
【难度系数】
0.6
16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2+2(m+1)x+m+1=0$.
(1) 若方程有实数根,求实数 $m$ 的取值范围.
(2) 若方程的两个实数根分别为 $x_1$、$x_2$,且满足 $(x_1-1)(x_2-1)=-m$,求实数 $m$ 的值.
(1) 若方程有实数根,求实数 $m$ 的取值范围.
(2) 若方程的两个实数根分别为 $x_1$、$x_2$,且满足 $(x_1-1)(x_2-1)=-m$,求实数 $m$ 的值.
答案
(1)由题意可知，Δ=[2(m+1)]²-4(m-1)(m+1)=4(m²+2m+1)-4m²+4=8m+8≥0，且m-1≠0，解得m≥-1且m≠1。
(2)
∵$x_1+x_2=\frac{-2(m+1)}{m-1}$，$x_1x_2=\frac{m+1}{m-1}$.
∵(x₁-1)(x₂-1)=-m，
∴x₁x₂-(x₁+x₂)+1=-m，即$\frac{m+1}{m-1}-[-\frac{2(m+1)}{m-1}]+1=-m$，解得m=-2或m=-1.
∵m≥-1且m≠1，
∴m=-1。
(2)
∵$x_1+x_2=\frac{-2(m+1)}{m-1}$，$x_1x_2=\frac{m+1}{m-1}$.
∵(x₁-1)(x₂-1)=-m，
∴x₁x₂-(x₁+x₂)+1=-m，即$\frac{m+1}{m-1}-[-\frac{2(m+1)}{m-1}]+1=-m$，解得m=-2或m=-1.
∵m≥-1且m≠1，
∴m=-1。
解析
【分析】
本题需分两小问解答：第(1)问根据一元二次方程有实数根的条件，需同时满足二次项系数不为0、判别式Δ≥0，据此求m的取值范围；第(2)问利用韦达定理（根与系数的关系），将已知等式展开后代入两根和与积，解方程后结合第(1)问的m范围对解进行取舍，得到最终m的值。
【解析】
(1) 因为方程是一元二次方程且有实数根，所以：
① 二次项系数不为0：$ m - 1 ≠ 0 $，即$ m ≠ 1 $；
② 判别式$ \Delta ≥ 0 $：
$ \Delta = [2(m+1)]^2 - 4(m-1)(m+1) = 4(m^2+2m+1) - 4(m^2-1) = 8m + 8 ≥ 0 $，解得$ m ≥ -1 $；
综上，$ m $的取值范围是$ m ≥ -1 $且$ m ≠ 1 $。
(2) 由韦达定理，对于方程$ (m-1)x^2 + 2(m+1)x + m+1 = 0 $，两根$ x_1、x_2 $满足：
$ x_1 + x_2 = \frac{-2(m+1)}{m-1} $，$ x_1x_2 = \frac{m+1}{m-1} $；
已知$ (x_1-1)(x_2-1) = -m $，展开得：
$ x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = -m $；
代入韦达定理结果：
$ \frac{m+1}{m-1} - ( -\frac{2(m+1)}{m-1} ) + 1 = -m $；
化简左边：
$ \frac{m+1 + 2(m+1)}{m-1} + 1 = \frac{3(m+1)}{m-1} + \frac{m-1}{m-1} = \frac{4m + 2}{m-1} $；
等式变为：
$ \frac{4m + 2}{m-1} = -m $，两边乘$ m-1 $（$ m ≠ 1 $）得：
$ 4m + 2 = -m(m-1) $，整理得$ m^2 + 3m + 2 = 0 $，解得$ m = -1 $或$ m = -2 $；
结合第(1)问$ m ≥ -1 $且$ m ≠ 1 $，故$ m = -1 $。
【答案】
(1) $ m ≥ -1 $且$ m ≠ 1 $；(2) $ m = -1 $
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程的核心性质，需注意两个易错点：一是一元二次方程隐含二次项系数不为0的条件，二是解方程后需结合根的存在性对解进行取舍，避免遗漏范围限制。
【难度系数】
0.6
本题需分两小问解答：第(1)问根据一元二次方程有实数根的条件，需同时满足二次项系数不为0、判别式Δ≥0，据此求m的取值范围；第(2)问利用韦达定理（根与系数的关系），将已知等式展开后代入两根和与积，解方程后结合第(1)问的m范围对解进行取舍，得到最终m的值。
【解析】
(1) 因为方程是一元二次方程且有实数根，所以：
① 二次项系数不为0：$ m - 1 ≠ 0 $，即$ m ≠ 1 $；
② 判别式$ \Delta ≥ 0 $：
$ \Delta = [2(m+1)]^2 - 4(m-1)(m+1) = 4(m^2+2m+1) - 4(m^2-1) = 8m + 8 ≥ 0 $，解得$ m ≥ -1 $；
综上，$ m $的取值范围是$ m ≥ -1 $且$ m ≠ 1 $。
(2) 由韦达定理，对于方程$ (m-1)x^2 + 2(m+1)x + m+1 = 0 $，两根$ x_1、x_2 $满足：
$ x_1 + x_2 = \frac{-2(m+1)}{m-1} $，$ x_1x_2 = \frac{m+1}{m-1} $；
已知$ (x_1-1)(x_2-1) = -m $，展开得：
$ x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = -m $；
代入韦达定理结果：
$ \frac{m+1}{m-1} - ( -\frac{2(m+1)}{m-1} ) + 1 = -m $；
化简左边：
$ \frac{m+1 + 2(m+1)}{m-1} + 1 = \frac{3(m+1)}{m-1} + \frac{m-1}{m-1} = \frac{4m + 2}{m-1} $；
等式变为：
$ \frac{4m + 2}{m-1} = -m $，两边乘$ m-1 $（$ m ≠ 1 $）得：
$ 4m + 2 = -m(m-1) $，整理得$ m^2 + 3m + 2 = 0 $，解得$ m = -1 $或$ m = -2 $；
结合第(1)问$ m ≥ -1 $且$ m ≠ 1 $，故$ m = -1 $。
【答案】
(1) $ m ≥ -1 $且$ m ≠ 1 $；(2) $ m = -1 $
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程的核心性质，需注意两个易错点：一是一元二次方程隐含二次项系数不为0的条件，二是解方程后需结合根的存在性对解进行取舍，避免遗漏范围限制。
【难度系数】
0.6
