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1. 下列方程是关于 $x$ 的一元二次方程的是
（
A.$x^{2}+\dfrac{1}{x}=1$
B.$ax^{2}+bx+c=0$
C.$x^{2}=0$
D.$3x^{2}-2xy-5y=0$
（
C
）A.$x^{2}+\dfrac{1}{x}=1$
B.$ax^{2}+bx+c=0$
C.$x^{2}=0$
D.$3x^{2}-2xy-5y=0$
答案
1.C 解析:$x^{2}+\dfrac{1}{x}=1$是分式方程,故A选项不符合题意；当$a=0$时,$ax^{2}+bx+c=0$不是一元二次方程,故B选项不符合题意；$x^{2}=0$符合一元二次方程的定义,故C选项符合题意；$3x^{2}-2xy-5y=0$中含有两个未知数,故D选项不符合题意。
解析
【分析】要判断一个方程是否为一元二次方程，需依据其定义：必须同时满足三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。接下来逐一分析各选项，排除不符合条件的选项即可得出答案。
【解析】根据一元二次方程的定义，逐一分析选项：
1. 选项A：方程$x^2+\frac{1}{x}=1$中，$\frac{1}{x}$是分式，该方程属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故排除A；
2. 选项B：方程$ax^2+bx+c=0$中，若$a=0$，则方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，未明确二次项系数$a≠0$，不符合一元二次方程的定义，故排除B；
3. 选项C：方程$x^2=0$，只含有一个未知数$x$，未知数的最高次数是2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义，故C符合要求；
4. 选项D：方程$3x^2-2xy-5y=0$中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，不符合“只含一个未知数”的要求，故排除D。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的定义，属于基础概念题，解题关键是牢记一元二次方程需满足的三个核心条件，尤其要注意二次项系数不能为0、方程为整式方程这两个易忽略的点，避免掉入选项B的陷阱。
【难度系数】0.6
【解析】根据一元二次方程的定义，逐一分析选项：
1. 选项A：方程$x^2+\frac{1}{x}=1$中，$\frac{1}{x}$是分式，该方程属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故排除A；
2. 选项B：方程$ax^2+bx+c=0$中，若$a=0$，则方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，未明确二次项系数$a≠0$，不符合一元二次方程的定义，故排除B；
3. 选项C：方程$x^2=0$，只含有一个未知数$x$，未知数的最高次数是2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义，故C符合要求；
4. 选项D：方程$3x^2-2xy-5y=0$中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，不符合“只含一个未知数”的要求，故排除D。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的定义，属于基础概念题，解题关键是牢记一元二次方程需满足的三个核心条件，尤其要注意二次项系数不能为0、方程为整式方程这两个易忽略的点，避免掉入选项B的陷阱。
【难度系数】0.6
2. 用配方法解方程 $x^{2}+8x+7=0$,变形后的结果正确的是（
A.$(x+4)^{2}=-7$
B.$(x+4)^{2}=9$
C.$(x+4)^{2}=23$
D.$(x+4)^{2}=-9$
B
）A.$(x+4)^{2}=-7$
B.$(x+4)^{2}=9$
C.$(x+4)^{2}=23$
D.$(x+4)^{2}=-9$
答案
2.B
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程时，对于二次项系数为1的方程，先将常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式，即可得到变形后的结果。本题需按此步骤操作，判断各选项是否正确。
【解析】
用配方法解方程 $x^2 + 8x + 7 = 0$，步骤如下：
1. 移项：将常数项移到方程右边，得 $x^2 + 8x = -7$；
2. 配方：一次项系数为8，其一半的平方为 $4^2 = 16$，方程两边同时加16，得 $x^2 + 8x + 16 = -7 + 16$；
3. 化简：左边为完全平方式 $(x + 4)^2$，右边计算得9，即 $(x + 4)^2 = 9$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，核心是掌握“配方时加一次项系数一半的平方”的规则，属于基础题型，难度较低，只要步骤清晰即可正确解答。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程时，对于二次项系数为1的方程，先将常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式，即可得到变形后的结果。本题需按此步骤操作，判断各选项是否正确。
【解析】
用配方法解方程 $x^2 + 8x + 7 = 0$，步骤如下：
1. 移项：将常数项移到方程右边，得 $x^2 + 8x = -7$；
2. 配方：一次项系数为8，其一半的平方为 $4^2 = 16$，方程两边同时加16，得 $x^2 + 8x + 16 = -7 + 16$；
3. 化简：左边为完全平方式 $(x + 4)^2$，右边计算得9，即 $(x + 4)^2 = 9$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，核心是掌握“配方时加一次项系数一半的平方”的规则，属于基础题型，难度较低，只要步骤清晰即可正确解答。
【难度系数】
0.8
3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2-2x-1=0$ 有两个不相等的实数根,则 $k$ 的取值范围是（
A.$k＞-1$
B.$k＜1$
C.$k＞-1$ 且 $k≠0$
D.$k＜1$ 且 $k≠0$
C
）A.$k＞-1$
B.$k＜1$
C.$k＞-1$ 且 $k≠0$
D.$k＜1$ 且 $k≠0$
答案
3.C 解析:
∵关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2-2x-1=0$ 有两个不相等的实数根,$\therefore (-2)^{2}-4× k× (-1)＞0$ 且 $k≠0$,解得 $k＞-1$ 且 $k≠0$。
∵关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2-2x-1=0$ 有两个不相等的实数根,$\therefore (-2)^{2}-4× k× (-1)＞0$ 且 $k≠0$,解得 $k＞-1$ 且 $k≠0$。
解析
【分析】
解决本题需明确两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式大于0。先根据判别式列出不等式求解，再结合二次项系数不为0的限制，即可确定k的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根：
1. 因为方程$kx^2-2x-1=0$是一元二次方程，所以二次项系数$k≠0$；
2. 方程有两个不相等的实数根，故$\Delta＞0$，代入系数得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×k×(-1) = 4 + 4k ＞ 0$，
解不等式得：$4k ＞ -4 → k ＞ -1$；
3. 结合步骤1的$k≠0$，最终k的取值范围是$k ＞ -1$且$k≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需同时注意“一元二次方程对二次项系数的限制（不为0）”和“两个不相等实数根对判别式的要求（Δ＞0）”，避免遗漏$k≠0$的条件，属于基础易错题。
【难度系数】
0.6
解决本题需明确两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足根的判别式大于0。先根据判别式列出不等式求解，再结合二次项系数不为0的限制，即可确定k的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根：
1. 因为方程$kx^2-2x-1=0$是一元二次方程，所以二次项系数$k≠0$；
2. 方程有两个不相等的实数根，故$\Delta＞0$，代入系数得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×k×(-1) = 4 + 4k ＞ 0$，
解不等式得：$4k ＞ -4 → k ＞ -1$；
3. 结合步骤1的$k≠0$，最终k的取值范围是$k ＞ -1$且$k≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需同时注意“一元二次方程对二次项系数的限制（不为0）”和“两个不相等实数根对判别式的要求（Δ＞0）”，避免遗漏$k≠0$的条件，属于基础易错题。
【难度系数】
0.6
4. 关于$x$的方程$(x-1)(x-2)-m^{2}=0$的根的情况是（
A.有一正一负两个不相等的实数根
B.有两个不相等的正实数根
C.至多有一个正实数根
D.至少有一个正实数根
D
）A.有一正一负两个不相等的实数根
B.有两个不相等的正实数根
C.至多有一个正实数根
D.至少有一个正实数根
答案
4.D 解析:原方程整理,得$x^{2}-3x+2-m^{2}=0$.$\because (-3)^{2}-4× 1× (2-m^{2})=4m^{2}+1＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根.又$\because$方程的两个根的和为3,大于0,$\therefore$原方程至少有一个正实数根。
解析
【分析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根的判别式判断方程根的个数；再根据韦达定理（根与系数的关系）求出两根之和，结合两根之和的正负性分析根的正负情况，进而确定正确选项。
【解析】
原方程整理为：$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），这里$a=1$，$b=-3$，$c=2 - m^2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(2 - m^2) = 9 - 8 + 4m^2 = 4m^2 + 1$。
因为$m^2≥0$，所以$\Delta=4m^2 +1 ≥1＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，3是正数，说明两个根不可能都是负数（负数相加为负），因此原方程至少有一个正实数根，故答案为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，解题关键是先将方程化为一般形式，再通过判别式确定根的个数，结合根的和分析根的正负，属于基础题型，需熟练掌握相关公式。
【难度系数】
0.6
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根的判别式判断方程根的个数；再根据韦达定理（根与系数的关系）求出两根之和，结合两根之和的正负性分析根的正负情况，进而确定正确选项。
【解析】
原方程整理为：$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），这里$a=1$，$b=-3$，$c=2 - m^2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(2 - m^2) = 9 - 8 + 4m^2 = 4m^2 + 1$。
因为$m^2≥0$，所以$\Delta=4m^2 +1 ≥1＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，3是正数，说明两个根不可能都是负数（负数相加为负），因此原方程至少有一个正实数根，故答案为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，解题关键是先将方程化为一般形式，再通过判别式确定根的个数，结合根的和分析根的正负，属于基础题型，需熟练掌握相关公式。
【难度系数】
0.6
5. 若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有一个根是1，则下列说法不一定正确的是 （
A.$a ≠ 0$
B.$a+b+c=0$
C.$a=c$
D.$b^{2}-4ac ≥ 0$
C
）A.$a ≠ 0$
B.$a+b+c=0$
C.$a=c$
D.$b^{2}-4ac ≥ 0$
答案
5.C 解析:$\because$方程$ax^{2}+bx+c=0$为关于$x$的一元二次方程,$\therefore a≠0$,故A选项不符合题意;把$x=1$代入原方程,得$a+b+c=0$,故B选项不符合题意;$\because c$可以为0,而$a≠0$,$\therefore a=c$不一定正确,故C选项符合题意;$\because$一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有根,$\therefore b^{2}-4ac≥ 0$,故D选项不符合题意。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的相关概念，解题思路如下：首先根据一元二次方程的定义判断选项A；再利用方程根的定义，将x=1代入方程验证选项B；接着分析a与c的关系，结合a≠0的条件判断选项C；最后根据一元二次方程有实根时判别式的意义判断选项D，进而选出不一定正确的选项。
【解析】
∵方程$ax^2 + bx + c = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴二次项系数$a≠0$，故选项A正确，不符合题意；把$x=1$代入方程得：$a×1^2 + b×1 + c = 0$，即$a+b+c=0$，故选项B正确，不符合题意；
∵$a≠0$，但$c$可以取任意值（例如$c=0$时，$a$不一定等于0），
∴$a=c$不一定成立，故选项C不一定正确，符合题意；
∵一元二次方程有一个根，说明方程有实根，
∴判别式$b^2 - 4ac ≥ 0$，故选项D正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；方程根的定义；根的判别式
【点评】
本题综合考查一元二次方程的基础概念，需准确掌握一元二次方程的定义、根的代入法及根的判别式的意义，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程的相关概念，解题思路如下：首先根据一元二次方程的定义判断选项A；再利用方程根的定义，将x=1代入方程验证选项B；接着分析a与c的关系，结合a≠0的条件判断选项C；最后根据一元二次方程有实根时判别式的意义判断选项D，进而选出不一定正确的选项。
【解析】
∵方程$ax^2 + bx + c = 0$是关于$x$的一元二次方程，
∴二次项系数$a≠0$，故选项A正确，不符合题意；把$x=1$代入方程得：$a×1^2 + b×1 + c = 0$，即$a+b+c=0$，故选项B正确，不符合题意；
∵$a≠0$，但$c$可以取任意值（例如$c=0$时，$a$不一定等于0），
∴$a=c$不一定成立，故选项C不一定正确，符合题意；
∵一元二次方程有一个根，说明方程有实根，
∴判别式$b^2 - 4ac ≥ 0$，故选项D正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；方程根的定义；根的判别式
【点评】
本题综合考查一元二次方程的基础概念，需准确掌握一元二次方程的定义、根的代入法及根的判别式的意义，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
6. 一元二次方程$x^{2}=2026x$的解是
$x_1=0,x_2=2026$
.答案
6.$x_1=0,x_2=2026$ 解析:原方程整理,得$x(x-2\ 026)=0$,$\therefore x=0$或$x-2\ 026=0$,$\therefore x_1=0,x_2=2\ 026$。
解析
【分析】
解一元二次方程时，对于此类可通过移项后因式分解的方程，优先采用因式分解法。先将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再提取公因式进行因式分解，根据“乘积为0则至少一个因式为0”的性质，即可求出方程的解，需注意不要遗漏x=0这个解。
【解析】
原方程移项，得 $x^2 - 2026x = 0$，提取公因式x，得 $x(x - 2026) = 0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：$x = 0$ 或 $x - 2026 = 0$，解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 2026$。
【答案】
$x_1=0,x_2=2026$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，通过移项、提取公因式即可快速求解，需注意移项时符号的变化，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时，对于此类可通过移项后因式分解的方程，优先采用因式分解法。先将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再提取公因式进行因式分解，根据“乘积为0则至少一个因式为0”的性质，即可求出方程的解，需注意不要遗漏x=0这个解。
【解析】
原方程移项，得 $x^2 - 2026x = 0$，提取公因式x，得 $x(x - 2026) = 0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：$x = 0$ 或 $x - 2026 = 0$，解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 2026$。
【答案】
$x_1=0,x_2=2026$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，通过移项、提取公因式即可快速求解，需注意移项时符号的变化，避免漏解。
【难度系数】
0.8
7. 把一元二次方程$x^{2}-4x-8=0$化成$(x-m)^{2}=n$的形式，则$m+n=$
14
.答案
7. 14 解析:$x^{2}-4x-8=0$,移项,得$x^{2}-4x=8$,配方,得$x^{2}-4x+4=8+4$,即$(x-2)^{2}=12$,$\therefore m=2,n=12$,$\therefore m+n=2+12=14$。
解析
【分析】
要将一元二次方程$x^2 -4x -8=0$化为$(x-m)^2=n$的形式，需使用配方法：先移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式，进而确定$m$、$n$的值，最后计算$m+n$。
【解析】
解：对$x^2 -4x -8=0$移项，得：
$x^2 -4x =8$
配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为$-4$，一半为$-2$，平方为$4$），得：
$x^2 -4x +4 =8 +4$
整理为完全平方形式：
$(x-2)^2=12$
由此可得$m=2$，$n=12$，则$m+n=2+12=14$。
【答案】
14
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基本应用，属于一元二次方程的基础题型，只需掌握移项、配方的核心步骤即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
要将一元二次方程$x^2 -4x -8=0$化为$(x-m)^2=n$的形式，需使用配方法：先移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式，进而确定$m$、$n$的值，最后计算$m+n$。
【解析】
解：对$x^2 -4x -8=0$移项，得：
$x^2 -4x =8$
配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为$-4$，一半为$-2$，平方为$4$），得：
$x^2 -4x +4 =8 +4$
整理为完全平方形式：
$(x-2)^2=12$
由此可得$m=2$，$n=12$，则$m+n=2+12=14$。
【答案】
14
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基本应用，属于一元二次方程的基础题型，只需掌握移项、配方的核心步骤即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 某厂1月份生产某机器100台,计划3月份生产144台.假设2月份、3月份生产量的增长率相同,则2月份、3月份生产量的增长率为
20%
.答案
8. 20% 解析:设2月份、3月份生产量的增长率为x,根据题意,得$100(1+x)^{2}=144$,解得$x_1=0.2$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去),即2月份、3月份生产量的增长率为20%。
解析
【分析】这是一道增长率应用问题，解题思路为：先设2、3月份生产量的增长率为x，根据“1月份产量→2月份产量（100(1+x)）→3月份产量（100(1+x)²）”的增长关系，结合3月份计划产量列出一元二次方程，解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到增长率。
【解析】设2月份、3月份生产量的增长率为x，根据题意，得：
$100(1+x)^2 = 144$
方程两边同除以100，得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = ±1.2$
解得：$x_1 = 0.2$，$x_2 = -2.2$
因为增长率为正数，所以舍去$x_2=-2.2$，即增长率为$0.2=20\%$。
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】本题是一元二次方程应用中的基础增长率题型，核心是掌握两次增长后量的计算公式，解题时需注意舍去不符合实际的负解，整体难度较低，属于学生应熟练掌握的常规题型。
【难度系数】0.8
【解析】设2月份、3月份生产量的增长率为x，根据题意，得：
$100(1+x)^2 = 144$
方程两边同除以100，得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = ±1.2$
解得：$x_1 = 0.2$，$x_2 = -2.2$
因为增长率为正数，所以舍去$x_2=-2.2$，即增长率为$0.2=20\%$。
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】本题是一元二次方程应用中的基础增长率题型，核心是掌握两次增长后量的计算公式，解题时需注意舍去不符合实际的负解，整体难度较低，属于学生应熟练掌握的常规题型。
【难度系数】0.8
9. 若关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+2x-1=0$有两个实数根，则实数$k$的取值范围是
$k≥ -1$且$k≠0$
.答案
9.$k≥ -1$且$k≠0$ 解析:$\because$关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+2x-1=0$有两个实数根,$\therefore 2^{2}-4× k× (-1)=4+4k≥ 0$且$k≠0$,解得$k≥ -1$且$k≠0$。
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需同时满足两个条件：一是该方程为一元二次方程，二是方程有两个实数根。首先根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；再根据一元二次方程根的判别式，有两个实数根时判别式需大于等于0，最后取两个条件的交集即可。
【解析】
∵关于x的方程是一元二次方程，
∴二次项系数k≠0；
又
∵方程有两个实数根，
∴根的判别式Δ = b² - 4ac ≥ 0，其中a=k，b=2，c=-1，
代入得：Δ = 2² - 4×k×(-1) = 4 + 4k ≥ 0，
解不等式4 + 4k ≥ 0，得k ≥ -1；
结合一元二次方程的定义k≠0，
∴k的取值范围是k≥-1且k≠0。
【答案】k≥-1且k≠0
【知识点】一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程的定义与根的判别式，解题关键是牢记一元二次方程的二次项系数不能为0，避免遗漏该条件，需结合判别式的结果共同确定参数范围。
【难度系数】0.6
要确定k的取值范围，需同时满足两个条件：一是该方程为一元二次方程，二是方程有两个实数根。首先根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0；再根据一元二次方程根的判别式，有两个实数根时判别式需大于等于0，最后取两个条件的交集即可。
【解析】
∵关于x的方程是一元二次方程，
∴二次项系数k≠0；
又
∵方程有两个实数根，
∴根的判别式Δ = b² - 4ac ≥ 0，其中a=k，b=2，c=-1，
代入得：Δ = 2² - 4×k×(-1) = 4 + 4k ≥ 0，
解不等式4 + 4k ≥ 0，得k ≥ -1；
结合一元二次方程的定义k≠0，
∴k的取值范围是k≥-1且k≠0。
【答案】k≥-1且k≠0
【知识点】一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程的定义与根的判别式，解题关键是牢记一元二次方程的二次项系数不能为0，避免遗漏该条件，需结合判别式的结果共同确定参数范围。
【难度系数】0.6
10. 设一元二次方程$x^{2}-3x-1=0$的两根分别是$x_{1}$、$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}(x_{2}^{2}-3x_{2})=$
3
.答案
10. 3 解析:$\because$一元二次方程$x^{2}-3x-1=0$的两根分别是$x_1$、$x_2$,$\therefore x_1+x_2=3$,$x_2^2-3x_2-1=0$,即$x_2^2-3x_2=1$,则$x_1+x_2(x_2^2-3x_2)=x_1+x_2=3$。
解析
【分析】
这道题需要结合一元二次方程根的定义和韦达定理（根与系数的关系）解题。首先，利用x₂是方程的根，代入方程可简化原式中的x₂²-3x₂部分；再根据韦达定理求出两根之和x₁+x₂，最后将简化后的式子代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵x₂是一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$的根，
∴将$x_2$代入方程得：$x_2^2 -3x_2 -1=0$，即$x_2^2 -3x_2=1$。
又
∵对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，本题中$a=1$，$b=-3$，
∴$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$。
将$x_2^2 -3x_2=1$和$x_1+x_2=3$代入所求式子：
$x_1 + x_2(x_2^2 -3x_2)=x_1 + x_2×1 =x_1 +x_2=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的定义和韦达定理的应用，解题关键是利用方程根的定义简化所求式子，再结合韦达定理计算，属于基础题型，注重基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
这道题需要结合一元二次方程根的定义和韦达定理（根与系数的关系）解题。首先，利用x₂是方程的根，代入方程可简化原式中的x₂²-3x₂部分；再根据韦达定理求出两根之和x₁+x₂，最后将简化后的式子代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵x₂是一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$的根，
∴将$x_2$代入方程得：$x_2^2 -3x_2 -1=0$，即$x_2^2 -3x_2=1$。
又
∵对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，本题中$a=1$，$b=-3$，
∴$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$。
将$x_2^2 -3x_2=1$和$x_1+x_2=3$代入所求式子：
$x_1 + x_2(x_2^2 -3x_2)=x_1 + x_2×1 =x_1 +x_2=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的定义和韦达定理的应用，解题关键是利用方程根的定义简化所求式子，再结合韦达定理计算，属于基础题型，注重基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 解下列方程：
(1) $\dfrac{1}{2}(x-3)^2=18$；
(2) $x^2-4x-5=0$；
(3) $2x^2-3x-2=0$(公式法)；
(4) $3(x+2)=2x(x+2)$.
11. 解下列方程：
(1) $\dfrac{1}{2}(x-3)^2=18$；
(2) $x^2-4x-5=0$；
(3) $2x^2-3x-2=0$(公式法)；
(4) $3(x+2)=2x(x+2)$.
答案
11. (1)两边都乘2,得$(x-3)^2=36$,开平方,得$x-3=\pm6$,$\therefore x_1=9,x_2=-3$.
(2)原方程可变形为$(x-5)(x+1)=0$,$\therefore x-5=0$或$x+1=0$,$\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(3)$\because a=2,b=-3,c=-2$,$\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-2)=25$,$\therefore x=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{4}$,$\therefore x_1=2,x_2=-\dfrac{1}{2}$.
(4)移项,得$3(x+2)-2x(x+2)=0$,提公因式,得$(3-2x)(x+2)=0$,$\therefore 3-2x=0$或$x+2=0$,$\therefore x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-2$.
(2)原方程可变形为$(x-5)(x+1)=0$,$\therefore x-5=0$或$x+1=0$,$\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(3)$\because a=2,b=-3,c=-2$,$\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-2)=25$,$\therefore x=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{4}$,$\therefore x_1=2,x_2=-\dfrac{1}{2}$.
(4)移项,得$3(x+2)-2x(x+2)=0$,提公因式,得$(3-2x)(x+2)=0$,$\therefore 3-2x=0$或$x+2=0$,$\therefore x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-2$.
解析
【分析】
本题是解一元二次方程的题目，需根据每个方程的结构特点选择合适的方法求解：(1)方程含平方项，先化系数为1，用直接开平方法；(2)二次三项式可十字相乘，用因式分解法；(3)要求用公式法，需先确定a、b、c的值，计算判别式后代入求根公式；(4)移项后提取公因式，用因式分解法求解。
【解析】
(1) 两边都乘2，得$(x-3)^2=36$，开平方得$x-3=\pm6$，解得$x_1=9$，$x_2=-3$；
(2) 原方程变形为$(x-5)(x+1)=0$，则$x-5=0$或$x+1=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$；
(3) 对于方程$2x^2-3x-2=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-2)=25$，代入求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{4}$，解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$；
(4) 移项得$3(x+2)-2x(x+2)=0$，提取公因式得$(3-2x)(x+2)=0$，则$3-2x=0$或$x+2=0$，解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-2$。
【答案】
11. (1)$x_1=9,x_2=-3$；(2)$x_1=5,x_2=-1$；(3)$x_1=2,x_2=-\dfrac{1}{2}$；(4)$x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程解法，直接开平方法，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的四种常用解法，覆盖直接开平方法、因式分解法、公式法，属于基础练习题，需根据方程特点选择最优解法，巩固一元二次方程的求解技能。
【难度系数】
0.8
本题是解一元二次方程的题目，需根据每个方程的结构特点选择合适的方法求解：(1)方程含平方项，先化系数为1，用直接开平方法；(2)二次三项式可十字相乘，用因式分解法；(3)要求用公式法，需先确定a、b、c的值，计算判别式后代入求根公式；(4)移项后提取公因式，用因式分解法求解。
【解析】
(1) 两边都乘2，得$(x-3)^2=36$，开平方得$x-3=\pm6$，解得$x_1=9$，$x_2=-3$；
(2) 原方程变形为$(x-5)(x+1)=0$，则$x-5=0$或$x+1=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$；
(3) 对于方程$2x^2-3x-2=0$，$a=2$，$b=-3$，$c=-2$，判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-2)=25$，代入求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{4}$，解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{2}$；
(4) 移项得$3(x+2)-2x(x+2)=0$，提取公因式得$(3-2x)(x+2)=0$，则$3-2x=0$或$x+2=0$，解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-2$。
【答案】
11. (1)$x_1=9,x_2=-3$；(2)$x_1=5,x_2=-1$；(3)$x_1=2,x_2=-\dfrac{1}{2}$；(4)$x_1=\dfrac{3}{2},x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程解法，直接开平方法，因式分解法，公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的四种常用解法，覆盖直接开平方法、因式分解法、公式法，属于基础练习题，需根据方程特点选择最优解法，巩固一元二次方程的求解技能。
【难度系数】
0.8
