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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k+1)x+k-2=0$.
(1)求证:无论 $k$ 为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两个实数根 $x_1$、$x_2$ 满足 $x_1-x_2=-2k+3$,求 $k$ 的值.
(1)求证:无论 $k$ 为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两个实数根 $x_1$、$x_2$ 满足 $x_1-x_2=-2k+3$,求 $k$ 的值.
答案
12. (1)证明:$\because [-(2k+1)]^2-4×1×(k-2)=4k^2+4k+1-4k+8=4k^2+9＞0$,$\therefore$无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系,得$x_1+x_2=2k+1$,$x_1x_2=k-2$.$\because x_1-x_2=-2k+3$,$\therefore (x_1-x_2)^2=4k^2-12k+9$,$\therefore (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4k^2-12k+9$,$\therefore (2k+1)^2-4(k-2)=4k^2-12k+9$,整理,得$12k=0$,解得$k=0$.
(2)由根与系数的关系,得$x_1+x_2=2k+1$,$x_1x_2=k-2$.$\because x_1-x_2=-2k+3$,$\therefore (x_1-x_2)^2=4k^2-12k+9$,$\therefore (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4k^2-12k+9$,$\therefore (2k+1)^2-4(k-2)=4k^2-12k+9$,整理,得$12k=0$,解得$k=0$.
解析
【分析】
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需利用根的判别式，计算判别式并证明其恒大于0；已知两根的差求参数，需结合韦达定理，利用两根差的平方与两根和、两根积的关系建立方程求解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。本题中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k-2$，则：
$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k-2) = 4k^2 + 4k + 1 - 4k + 8 = 4k^2 + 9$。
因为$k^2≥0$，所以$4k^2 +9≥9＞0$，即无论$k$为何实数，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 2k +1$，$x_1x_2 = k -2$。
已知$x_1 - x_2 = -2k +3$，两边平方得：
$(x_1 - x_2)^2 = (-2k +3)^2 = 4k^2 -12k +9$。
又因为$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 -4x_1x_2$，代入得：
$(2k +1)^2 -4(k -2) = 4k^2 -12k +9$。
左边化简：$4k^2 +4k +1 -4k +8 = 4k^2 +9$，则方程变为：
$4k^2 +9 = 4k^2 -12k +9$，整理得$12k=0$，解得$k=0$。
【答案】$k=0$
【知识点】一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】本题为一元二次方程的基础题型，核心考查根的判别式和韦达定理的应用，解题需熟练掌握公式变形，步骤清晰，是学生应掌握的常规题。
【难度系数】0.7
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需利用根的判别式，计算判别式并证明其恒大于0；已知两根的差求参数，需结合韦达定理，利用两根差的平方与两根和、两根积的关系建立方程求解。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。本题中$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k-2$，则：
$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4×1×(k-2) = 4k^2 + 4k + 1 - 4k + 8 = 4k^2 + 9$。
因为$k^2≥0$，所以$4k^2 +9≥9＞0$，即无论$k$为何实数，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 2k +1$，$x_1x_2 = k -2$。
已知$x_1 - x_2 = -2k +3$，两边平方得：
$(x_1 - x_2)^2 = (-2k +3)^2 = 4k^2 -12k +9$。
又因为$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 -4x_1x_2$，代入得：
$(2k +1)^2 -4(k -2) = 4k^2 -12k +9$。
左边化简：$4k^2 +4k +1 -4k +8 = 4k^2 +9$，则方程变为：
$4k^2 +9 = 4k^2 -12k +9$，整理得$12k=0$，解得$k=0$。
【答案】$k=0$
【知识点】一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】本题为一元二次方程的基础题型，核心考查根的判别式和韦达定理的应用，解题需熟练掌握公式变形，步骤清晰，是学生应掌握的常规题。
【难度系数】0.7
13. 2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意.某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件.
(1)若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为
(2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2 610元？
(3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3 700元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由.
(1)若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为
230
件.(2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2 610元？
(3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3 700元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由.
答案
13. (1)230 解析:$280-(45-40)×10=230$(件).
(2)设该吉祥物公仔的销售单价为x元$(x＞40)$,则当天的销售量为$[280-(x-40)×10]$件,根据题意,得$(x-30)[280-(x-40)×10]=2\ 610$,整理,得$x^2-98x+2\ 301=0$,解得$x_1=39$(不合题意,舍去),$x_2=59$.答:当该吉祥物公仔的销售单价为59元时,该产品的当天销售利润是2 610元.
(3)不能,理由如下:设该吉祥物公仔的销售单价为y元$(y＞40)$,当天的销售量为$[280-(y-40)×10]$件,根据题意,得$(y-30)[280-(y-40)×10]=3\ 700$,整理,得$y^2-98y+2\ 410=0$.$\because \Delta=-36＜0$,$\therefore$该方程无实数根,即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3 700元.
(2)设该吉祥物公仔的销售单价为x元$(x＞40)$,则当天的销售量为$[280-(x-40)×10]$件,根据题意,得$(x-30)[280-(x-40)×10]=2\ 610$,整理,得$x^2-98x+2\ 301=0$,解得$x_1=39$(不合题意,舍去),$x_2=59$.答:当该吉祥物公仔的销售单价为59元时,该产品的当天销售利润是2 610元.
(3)不能,理由如下:设该吉祥物公仔的销售单价为y元$(y＞40)$,当天的销售量为$[280-(y-40)×10]$件,根据题意,得$(y-30)[280-(y-40)×10]=3\ 700$,整理,得$y^2-98y+2\ 410=0$.$\because \Delta=-36＜0$,$\therefore$该方程无实数根,即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3 700元.
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，分三小问逐步解决：
1. 第(1)问：根据单价变化与销量的关系，计算单价上涨后的销量，只需先算单价上涨额，再结合“每涨1元销量减10件”的规则，用原销量减去减少的销量即可。
2. 第(2)问：利用核心公式“利润=单件利润×销售量”，设销售单价为x元（需满足x＞40，符合销量变化的前提），分别表示出单件利润（x-30）和销售量（280-10(x-40)），代入利润2610元列方程，求解后根据实际意义舍去不合题意的解。
3. 第(3)问：同样用利润公式，设销售单价为y元，代入利润3700元列方程，通过计算判别式判断方程是否有实根，无实根则说明利润无法达到该值。
【解析】
(1) 销售单价从40元涨到45元，上涨了45-40=5元，减少的销量为5×10=50件，当天销售量=280-50=230件。
(2) 设销售单价为x元（x＞40），当天销售量为[280-10(x-40)]件，单件利润为(x-30)元，根据题意列方程：
(x-30)[280-10(x-40)] = 2610
整理得：x²-98x+2301=0
解得：x₁=39，x₂=59
因x＞40，故舍去x₁=39，得销售单价为59元。
(3) 设销售单价为y元（y＞40），同理列方程：
(y-30)[280-10(y-40)] = 3700
整理得：y²-98y+2410=0
判别式Δ=(-98)²-4×1×2410=-36＜0，方程无实数根，故当天销售利润不能达到3700元。
【答案】
(1)230；(2)59元；(3)不能，理由：所列方程无实数根，当天销售利润无法达到3700元。
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际销售场景的典型应用，重点考查利润公式运用、方程解法及根的实际意义，解题时需结合实际对解取舍，难度适中，能较好考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.5
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，分三小问逐步解决：
1. 第(1)问：根据单价变化与销量的关系，计算单价上涨后的销量，只需先算单价上涨额，再结合“每涨1元销量减10件”的规则，用原销量减去减少的销量即可。
2. 第(2)问：利用核心公式“利润=单件利润×销售量”，设销售单价为x元（需满足x＞40，符合销量变化的前提），分别表示出单件利润（x-30）和销售量（280-10(x-40)），代入利润2610元列方程，求解后根据实际意义舍去不合题意的解。
3. 第(3)问：同样用利润公式，设销售单价为y元，代入利润3700元列方程，通过计算判别式判断方程是否有实根，无实根则说明利润无法达到该值。
【解析】
(1) 销售单价从40元涨到45元，上涨了45-40=5元，减少的销量为5×10=50件，当天销售量=280-50=230件。
(2) 设销售单价为x元（x＞40），当天销售量为[280-10(x-40)]件，单件利润为(x-30)元，根据题意列方程：
(x-30)[280-10(x-40)] = 2610
整理得：x²-98x+2301=0
解得：x₁=39，x₂=59
因x＞40，故舍去x₁=39，得销售单价为59元。
(3) 设销售单价为y元（y＞40），同理列方程：
(y-30)[280-10(y-40)] = 3700
整理得：y²-98y+2410=0
判别式Δ=(-98)²-4×1×2410=-36＜0，方程无实数根，故当天销售利润不能达到3700元。
【答案】
(1)230；(2)59元；(3)不能，理由：所列方程无实数根，当天销售利润无法达到3700元。
【知识点】
一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际销售场景的典型应用，重点考查利润公式运用、方程解法及根的实际意义，解题时需结合实际对解取舍，难度适中，能较好考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.5
14. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法. 配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用.
例如：利用配方法求 $a^2+6a+8$ 的最小值.
解：$a^2+6a+8=a^2+6a+3^2-3^2+8=(a+3)^2-1$.
因为不论 $a$ 取何值，$(a+3)^2$ 总是非负数，即 $(a+3)^2 ≥ 0$，
所以 $(a+3)^2-1 ≥ -1$. 所以当 $a=-3$ 时，$a^2+6a+8$ 有最小值 $-1$.
根据上述材料，解答下列问题：
(1) 将 $x^2-10x+27$ 变形为 $(x-m)^2+n$ 的形式为
(2) 已知 $x+y=3$，求代数式 $-x^2+y+9x-2$ 的最大值.
(3) 已知 $A=2x^2-3x+2$，$B=x^2-x-1$，请比较 $A$ 与 $B$ 的大小，并说明理由.
例如：利用配方法求 $a^2+6a+8$ 的最小值.
解：$a^2+6a+8=a^2+6a+3^2-3^2+8=(a+3)^2-1$.
因为不论 $a$ 取何值，$(a+3)^2$ 总是非负数，即 $(a+3)^2 ≥ 0$，
所以 $(a+3)^2-1 ≥ -1$. 所以当 $a=-3$ 时，$a^2+6a+8$ 有最小值 $-1$.
根据上述材料，解答下列问题：
(1) 将 $x^2-10x+27$ 变形为 $(x-m)^2+n$ 的形式为
$(x-5)^2+2$
，则 $x^2-10x+27$ 的最小值为 2
.(2) 已知 $x+y=3$，求代数式 $-x^2+y+9x-2$ 的最大值.
(3) 已知 $A=2x^2-3x+2$，$B=x^2-x-1$，请比较 $A$ 与 $B$ 的大小，并说明理由.
答案
14. (1)$(x-5)^2+2$ 2 解析:$x^2-10x+27=(x-5)^2+2$,$\because$不论x取何值,$(x-5)^2$总是非负数,即$(x-5)^2≥0$,$\therefore (x-5)^2+2≥2$,$\therefore$当$x=5$时,$x^2-10x+27$有最小值2.
(2)$\because x+y=3$,$\therefore y=3-x$,$\therefore -x^2+y+9x-2=-x^2+3-x+9x-2=-x^2+8x+1=-(x^2-8x+16)+1+16=-(x-4)^2+17$,$\because (x-4)^2≥0$,$\therefore -(x-4)^2+17≤17$,$\therefore$当$x=4$时,代数式$-x^2+y+9x-2$取得最大值17.
(3)$A＞B$,理由如下:$\because A=2x^2-3x+2$,$B=x^2-x-1$,$\therefore A-B=2x^2-3x+2-(x^2-x-1)=(x-1)^2+2$,$\because$不论x取何值,$(x-1)^2$总是非负数,即$(x-1)^2≥0$,$\therefore (x-1)^2+2≥2＞0$,$\therefore A-B＞0$,即$A＞B$.
(2)$\because x+y=3$,$\therefore y=3-x$,$\therefore -x^2+y+9x-2=-x^2+3-x+9x-2=-x^2+8x+1=-(x^2-8x+16)+1+16=-(x-4)^2+17$,$\because (x-4)^2≥0$,$\therefore -(x-4)^2+17≤17$,$\therefore$当$x=4$时,代数式$-x^2+y+9x-2$取得最大值17.
(3)$A＞B$,理由如下:$\because A=2x^2-3x+2$,$B=x^2-x-1$,$\therefore A-B=2x^2-3x+2-(x^2-x-1)=(x-1)^2+2$,$\because$不论x取何值,$(x-1)^2$总是非负数,即$(x-1)^2≥0$,$\therefore (x-1)^2+2≥2＞0$,$\therefore A-B＞0$,即$A＞B$.
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，核心是通过配方将二次多项式转化为“完全平方式+常数”的形式，利用完全平方式的非负性（任意实数的平方≥0）解决最值、代数式大小比较等问题。解题时，需根据题目要求对代数式变形：(1)直接对二次式配方；(2)先利用已知条件将y用x表示，代入目标式后再配方；(3)计算A与B的差，对差式配方，根据非负性判断差的正负，从而比较大小。
【解析】
(1) 对$x^2-10x+27$配方：
$x^2-10x+27 = x^2 -10x +5^2 -5^2 +27 = (x-5)^2 +2$。
因为$(x-5)^2≥0$，所以$(x-5)^2 +2 ≥2$，即最小值为2。
(2) 由$x+y=3$得$y=3-x$，代入代数式：
$-x^2 + y +9x -2 = -x^2 + (3-x) +9x -2 = -x^2 +8x +1$。
配方得：$-x^2 +8x +1 = -(x^2 -8x +16) +16 +1 = -(x-4)^2 +17$。
因为$(x-4)^2≥0$，所以$-(x-4)^2 +17 ≤17$，即最大值为17。
(3) 计算$A-B$：
$A-B = (2x^2 -3x +2) - (x^2 -x -1) = x^2 -2x +3$。
配方得：$x^2 -2x +3 = (x-1)^2 +2$。
因为$(x-1)^2≥0$，所以$(x-1)^2 +2 ≥2＞0$，即$A-B＞0$，故$A＞B$。
【答案】(1)$(x-5)^2+2$；2 (2)17 (3)$A＞B$
【知识点】配方法，完全平方式的非负性，代数式大小比较
【点评】本题围绕配方法展开，涵盖配方变形、利用非负性求最值、比较代数式大小等基础应用，是代数常用解题技巧，需掌握“凑完全平方”的核心步骤。
【难度系数】0.6
本题考查配方法的应用，核心是通过配方将二次多项式转化为“完全平方式+常数”的形式，利用完全平方式的非负性（任意实数的平方≥0）解决最值、代数式大小比较等问题。解题时，需根据题目要求对代数式变形：(1)直接对二次式配方；(2)先利用已知条件将y用x表示，代入目标式后再配方；(3)计算A与B的差，对差式配方，根据非负性判断差的正负，从而比较大小。
【解析】
(1) 对$x^2-10x+27$配方：
$x^2-10x+27 = x^2 -10x +5^2 -5^2 +27 = (x-5)^2 +2$。
因为$(x-5)^2≥0$，所以$(x-5)^2 +2 ≥2$，即最小值为2。
(2) 由$x+y=3$得$y=3-x$，代入代数式：
$-x^2 + y +9x -2 = -x^2 + (3-x) +9x -2 = -x^2 +8x +1$。
配方得：$-x^2 +8x +1 = -(x^2 -8x +16) +16 +1 = -(x-4)^2 +17$。
因为$(x-4)^2≥0$，所以$-(x-4)^2 +17 ≤17$，即最大值为17。
(3) 计算$A-B$：
$A-B = (2x^2 -3x +2) - (x^2 -x -1) = x^2 -2x +3$。
配方得：$x^2 -2x +3 = (x-1)^2 +2$。
因为$(x-1)^2≥0$，所以$(x-1)^2 +2 ≥2＞0$，即$A-B＞0$，故$A＞B$。
【答案】(1)$(x-5)^2+2$；2 (2)17 (3)$A＞B$
【知识点】配方法，完全平方式的非负性，代数式大小比较
【点评】本题围绕配方法展开，涵盖配方变形、利用非负性求最值、比较代数式大小等基础应用，是代数常用解题技巧，需掌握“凑完全平方”的核心步骤。
【难度系数】0.6
