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8. (2025·黑龙江) 如图,随机闭合开关$\mathrm{S}_{1}$、$\mathrm{S}_{2}$、$\mathrm{S}_{3}$中的两个,能让两盏灯泡$\mathrm{L}_{1}$、$\mathrm{L}_{2}$同时发光的概率为
$\dfrac{1}{3}$
.答案
$\dfrac{1}{3}$ 解析:列表如下.由表可知,共有6种等可能的结果,其中能让两盏灯泡$\mathrm{L}_{1}$、$\mathrm{L}_{2}$同时发光的结果有$(\mathrm{S}_1,\mathrm{S}_3)$,$(\mathrm{S}_3,\mathrm{S}_1)$,共2种,$\therefore$能让两盏灯泡$\mathrm{L}_{1}$、$\mathrm{L}_{2}$同时发光的概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
要计算随机闭合两个开关时两盏灯同时发光的概率，需分三步：①确定随机闭合S₁、S₂、S₃中两个开关的所有等可能结果；②结合电路原理，判断每种结果下L₁、L₂是否同时发光；③根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算最终概率。
【解析】
随机闭合两个开关，所有等可能的结果为：(S₁,S₂)、(S₁,S₃)、(S₂,S₃)，共3种。
结合电路分析各情况：
1. 闭合(S₁,S₂)：S₂闭合会短路L₁，电路仅为L₂的通路，仅L₂发光；
2. 闭合(S₁,S₃)：电流路径为电源正极→S₃→L₂→S₁→L₁→电源负极，L₁、L₂同时发光；
3. 闭合(S₂,S₃)：S₂闭合短路L₁支路，电路仅为L₂的通路，仅L₂发光。
其中能让两盏灯同时发光的结果仅1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、电路通路判断
【点评】
本题将电路知识与概率问题结合，需先列举所有开关组合，再结合电路原理判断灯泡发光情况，考查学生的综合应用能力，属于基础概率应用题。
【难度系数】
0.5
要计算随机闭合两个开关时两盏灯同时发光的概率，需分三步：①确定随机闭合S₁、S₂、S₃中两个开关的所有等可能结果；②结合电路原理，判断每种结果下L₁、L₂是否同时发光；③根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算最终概率。
【解析】
随机闭合两个开关，所有等可能的结果为：(S₁,S₂)、(S₁,S₃)、(S₂,S₃)，共3种。
结合电路分析各情况：
1. 闭合(S₁,S₂)：S₂闭合会短路L₁，电路仅为L₂的通路，仅L₂发光；
2. 闭合(S₁,S₃)：电流路径为电源正极→S₃→L₂→S₁→L₁→电源负极，L₁、L₂同时发光；
3. 闭合(S₂,S₃)：S₂闭合短路L₁支路，电路仅为L₂的通路，仅L₂发光。
其中能让两盏灯同时发光的结果仅1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、电路通路判断
【点评】
本题将电路知识与概率问题结合，需先列举所有开关组合，再结合电路原理判断灯泡发光情况，考查学生的综合应用能力，属于基础概率应用题。
【难度系数】
0.5
9. (2025·扬州)为打造活力校园,某校在大课间开展了丰富多彩的活动,现有四种体育类活动供学生选择:A. 羽毛球,B. 乒乓球,C. 花样跳绳,D. 踢毽子.每名学生只能选择其中一种体育活动.
(1)若小明在这四种体育活动中随机选择,则选中“乒乓球”的概率是
(2)请用画树状图或列表的方法,求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率.
(1)若小明在这四种体育活动中随机选择,则选中“乒乓球”的概率是
$\dfrac{1}{4}$
.(2)请用画树状图或列表的方法,求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率.
答案
(1)$\dfrac{1}{4}$
(2)画树状图如图所示.由树状图可知,一共有16种等可能的结果,其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果有4种,$\therefore$小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】
第(1)问：小明从4种体育活动中随机选择，每种活动被选中的概率相等，直接利用概率公式计算即可。第(2)问：要计算两人选同一种活动的概率，通过画树状图列出所有等可能的结果，再从中找出两人选择相同的结果数，最后用概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）求解。
【解析】
(1) 总共有4种等可能的选择结果，其中选中乒乓球（B）的结果有1种，根据概率公式：
$P(\mathrm{选中乒乓球})=\frac{\mathrm{选中乒乓球的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图（如图所示）：小明的选择有A、B、C、D4种，对应小聪的选择也各有A、B、C、D4种，因此总共有$4×4=16$种等可能的结果。其中小明和小聪选同一种体育活动的结果为(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)，共4种。
因此$P(\mathrm{选到同一种活动})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) 画树状图如图所示.由树状图可知,一共有16种等可能的结果,其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果有4种,$\therefore$小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.
【知识点】
概率公式、树状图求概率
【点评】
本题考查简单随机事件的概率计算，属于基础题型，熟练掌握概率公式和树状图法求概率是解题的关键，步骤清晰易懂。
【难度系数】
0.3
第(1)问：小明从4种体育活动中随机选择，每种活动被选中的概率相等，直接利用概率公式计算即可。第(2)问：要计算两人选同一种活动的概率，通过画树状图列出所有等可能的结果，再从中找出两人选择相同的结果数，最后用概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）求解。
【解析】
(1) 总共有4种等可能的选择结果，其中选中乒乓球（B）的结果有1种，根据概率公式：
$P(\mathrm{选中乒乓球})=\frac{\mathrm{选中乒乓球的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图（如图所示）：小明的选择有A、B、C、D4种，对应小聪的选择也各有A、B、C、D4种，因此总共有$4×4=16$种等可能的结果。其中小明和小聪选同一种体育活动的结果为(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)，共4种。
因此$P(\mathrm{选到同一种活动})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) 画树状图如图所示.由树状图可知,一共有16种等可能的结果,其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果有4种,$\therefore$小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.
【知识点】
概率公式、树状图求概率
【点评】
本题考查简单随机事件的概率计算，属于基础题型，熟练掌握概率公式和树状图法求概率是解题的关键，步骤清晰易懂。
【难度系数】
0.3
10. (2025·吉林)在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下,某校田径社团开展了“2025 健康长跑”活动.由于参加的人数较多,场地空间有限,活动将分 A、B、C 三组进行,每人只能被随机分配到其中一组,分组工作由计算机软件完成.请用画树状图或列表的方法,求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率.
答案
画树状图如图所示.由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种,$\therefore$小刚和小利被分配到同一组的概率是$\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】要计算小刚和小利被分配到同一组的概率，需先列出两人所有可能的分组情况。小刚有A、B、C三种分组选择，小利同样有这三种选择，因此可通过树状图清晰展示所有等可能的结果，再从中筛选出两人分到同一组的结果，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
解：根据题意，画树状图（如图所示）：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，分别为(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)。
其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种，即(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得小刚和小利被分配到同一组的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\dfrac{1}{3}$
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题考查用树状图法求两步试验的概率，是初中概率部分的基础题型，解题关键是准确列举出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果进行计算，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】
解：根据题意，画树状图（如图所示）：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，分别为(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)。
其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种，即(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得小刚和小利被分配到同一组的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\dfrac{1}{3}$
【知识点】概率计算、树状图法求概率
【点评】本题考查用树状图法求两步试验的概率，是初中概率部分的基础题型，解题关键是准确列举出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果进行计算，难度适中。
【难度系数】0.6
11. (2025·长春)长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名.甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出.用画树状图或列表的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率.
答案
列表如下.由表可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种,$\therefore$甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为$\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题思路是通过列表法（或树状图）列举出甲、乙两车选择出口的所有等可能结果，再从中找出两车从同一出口驶出的结果数，最后根据概率公式计算所求概率。首先明确甲、乙两车各有A、B、C三个出口可选，总共有3×3=9种等可能的情况，再统计两车从同一出口驶出的情况数，即可求出概率。
【解析】
采用列表法列举所有等可能的结果：
| 甲车\乙车 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种，分别为(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率公式：$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$，可得甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、列表法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础应用题，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，计算过程简单，主要考查学生对古典概型的理解和应用，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.3
本题考查古典概型的概率计算，解题思路是通过列表法（或树状图）列举出甲、乙两车选择出口的所有等可能结果，再从中找出两车从同一出口驶出的结果数，最后根据概率公式计算所求概率。首先明确甲、乙两车各有A、B、C三个出口可选，总共有3×3=9种等可能的情况，再统计两车从同一出口驶出的情况数，即可求出概率。
【解析】
采用列表法列举所有等可能的结果：
| 甲车\乙车 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由上表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种，分别为(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率公式：$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$，可得甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、列表法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础应用题，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，计算过程简单，主要考查学生对古典概型的理解和应用，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.3
