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1. (2025·深圳)某校进行《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《算法统宗》四本书的长文本阅读活动,小聪从中任取一本,恰好抽到《九章算术》的概率为（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{2}{3}$
C
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题思路为：先确定所有等可能的抽取结果总数，再找出符合“抽到《九章算术》”的结果数，最后利用古典概型概率公式计算所求概率。
【解析】
从4本书中任取1本，所有等可能的抽取结果共有4种；其中恰好抽到《九章算术》的结果只有1种。根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{试验的基本事件总数}$，可得抽到《九章算术》的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，直接运用概率公式即可求解，难度较低，属于概率部分的基础巩固题，主要考查对概率基本概念的理解。
【难度系数】
0.9
本题考查古典概型的概率计算，解题思路为：先确定所有等可能的抽取结果总数，再找出符合“抽到《九章算术》”的结果数，最后利用古典概型概率公式计算所求概率。
【解析】
从4本书中任取1本，所有等可能的抽取结果共有4种；其中恰好抽到《九章算术》的结果只有1种。根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{试验的基本事件总数}$，可得抽到《九章算术》的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，直接运用概率公式即可求解，难度较低，属于概率部分的基础巩固题，主要考查对概率基本概念的理解。
【难度系数】
0.9
2. (2025·辽宁)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
C
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
C 解析:列表如下.由表可知,共有4种等可能的结果,其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种,$\therefore$两次摸出相同颜色小球的概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题是放回抽样的概率计算问题，解题思路是通过列表法列举出两次摸球所有等可能的结果，再从中找出两次摸出相同颜色小球的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算所求概率。
【解析】
我们通过列表法列举所有等可能的结果：
| 第一次摸球 | 第二次摸球 |
| --- | --- |
| 红 | 红 |
| 红 | 黄 |
| 黄 | 红 |
| 黄 | 黄 |
由上表可知，共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色小球的结果有2种（红、红和黄、黄）。根据概率公式，两次摸出相同颜色小球的概率为：$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
概率的计算、放回试验的列举法
【点评】
本题属于概率部分的基础题型，核心是掌握放回试验中等可能结果的列举方法，通过列表法可清晰直观地统计结果，难度较低，是学生需熟练掌握的基础考点。
【难度系数】
0.7
本题是放回抽样的概率计算问题，解题思路是通过列表法列举出两次摸球所有等可能的结果，再从中找出两次摸出相同颜色小球的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算所求概率。
【解析】
我们通过列表法列举所有等可能的结果：
| 第一次摸球 | 第二次摸球 |
| --- | --- |
| 红 | 红 |
| 红 | 黄 |
| 黄 | 红 |
| 黄 | 黄 |
由上表可知，共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色小球的结果有2种（红、红和黄、黄）。根据概率公式，两次摸出相同颜色小球的概率为：$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
概率的计算、放回试验的列举法
【点评】
本题属于概率部分的基础题型，核心是掌握放回试验中等可能结果的列举方法，通过列表法可清晰直观地统计结果，难度较低，是学生需熟练掌握的基础考点。
【难度系数】
0.7
3. (2025·贵州)某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子,为了估计“正面朝上”的概率,将同学们获得的试验数据整理如下表所示.
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为 （
A.0.52
B.0.55
C.0.58
D.0.63
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为 （
B
）A.0.52
B.0.55
C.0.58
D.0.63
答案
B
解析
【分析】要估计“正面朝上”的概率，需利用频率与概率的关系：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生的概率。观察表格中频率的变化，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定，据此可确定概率的估计值。
【解析】根据频率估计概率的原理，在大量重复试验中，事件发生的频率会趋近于其概率。观察表格数据，当抛掷次数n增大到一定程度后，“正面朝上”的频率稳定在0.55，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55，对应选项B。
【答案】B
【知识点】用频率估计概率
【点评】本题考查利用频率估计概率的基础知识点，核心是理解大量重复试验中频率与概率的关系，难度较低，属于基础题。
【难度系数】0.2
【解析】根据频率估计概率的原理，在大量重复试验中，事件发生的频率会趋近于其概率。观察表格数据，当抛掷次数n增大到一定程度后，“正面朝上”的频率稳定在0.55，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55，对应选项B。
【答案】B
【知识点】用频率估计概率
【点评】本题考查利用频率估计概率的基础知识点，核心是理解大量重复试验中频率与概率的关系，难度较低，属于基础题。
【难度系数】0.2
4. (2025·广东) 如图,在直径 $BC=2\sqrt{2}$ 的圆内有一个圆心角为 $90°$ 的扇形 $ABC$,随机地往圆内投一粒米,该粒米落在扇形内的概率为
（
A.$\dfrac{1}{5}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
（
D
）A.$\dfrac{1}{5}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
D 解析:如图,过点A作$AD⊥ BC$于点D.$\because BC$是直径,$\therefore∠ BAC=90°$.$\because AB=AC$,$\therefore△ ABC$是等腰直角三角形.$\because AD⊥ BC$,$\therefore AD=BD=CD=\dfrac{1}{2}BC=\sqrt{2}$,$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=2$,$\therefore S_{扇形ABC}=\dfrac{90π×2^2}{360}=π$,$S_{圆}=π×(\sqrt{2})^2=2π$,$\therefore$该粒米落在扇形内的概率为$\dfrac{π}{2π}=\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题属于几何概型问题，所求概率为扇形ABC的面积与圆的面积的比值。解题时需先根据圆的直径求出圆的半径，再利用圆的性质和等腰直角三角形的性质确定扇形的半径，进而分别计算扇形和圆的面积，最终通过面积比得到概率。
【解析】
1. 计算圆的面积：
已知BC是圆的直径，长度为$2\sqrt{2}$，则圆的半径$r=\frac{BC}{2}=\sqrt{2}$，圆的面积$S_{圆}=π r^2=π×(\sqrt{2})^2=2π$。
2. 计算扇形ABC的面积：
因为BC是圆的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，得$∠ BAC=90°$，结合扇形ABC的圆心角为$90°$，可知$△ ABC$是等腰直角三角形。过点A作$AD⊥ BC$于D，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，故$AD=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，$BD=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$。由勾股定理得扇形半径$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
扇形ABC的圆心角为$90°$，其面积$S_{扇形ABC}=\frac{90°}{360°}×π× AB^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$。
3. 计算概率：
米粒落在扇形内的概率$P=\frac{S_{扇形ABC}}{S_{圆}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
几何概型、扇形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题结合圆的性质、等腰直角三角形的性质与几何概型，考查几何概率的计算，关键是准确求出扇形和圆的面积，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题属于几何概型问题，所求概率为扇形ABC的面积与圆的面积的比值。解题时需先根据圆的直径求出圆的半径，再利用圆的性质和等腰直角三角形的性质确定扇形的半径，进而分别计算扇形和圆的面积，最终通过面积比得到概率。
【解析】
1. 计算圆的面积：
已知BC是圆的直径，长度为$2\sqrt{2}$，则圆的半径$r=\frac{BC}{2}=\sqrt{2}$，圆的面积$S_{圆}=π r^2=π×(\sqrt{2})^2=2π$。
2. 计算扇形ABC的面积：
因为BC是圆的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，得$∠ BAC=90°$，结合扇形ABC的圆心角为$90°$，可知$△ ABC$是等腰直角三角形。过点A作$AD⊥ BC$于D，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，故$AD=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，$BD=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$。由勾股定理得扇形半径$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
扇形ABC的圆心角为$90°$，其面积$S_{扇形ABC}=\frac{90°}{360°}×π× AB^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$。
3. 计算概率：
米粒落在扇形内的概率$P=\frac{S_{扇形ABC}}{S_{圆}}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
几何概型、扇形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题结合圆的性质、等腰直角三角形的性质与几何概型，考查几何概率的计算，关键是准确求出扇形和圆的面积，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
5. (2025·贵州)一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球,每个球除颜色外都相同,任意摸出一个球,摸到红球的概率是
$\dfrac{2}{5}$
.答案
$\dfrac{2}{5}$
解析
【分析】
要计算摸到红球的概率，需先确定所有可能的结果总数，以及摸到红球的结果数，再依据概率公式求解。首先计算袋子中球的总数量，再明确红球的数量，最后用红球数量除以总球数得到所求概率。
【解析】
解：袋子中球的总数量为 $2 + 3 = 5$ 个，其中红球有2个。根据简单随机事件的概率公式：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有可能的结果数}}$，因此摸到红球的概率为 $\frac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
简单事件的概率计算
【点评】
本题是基础的概率计算题，直接考查概率公式的应用，解题思路清晰，计算简单，能帮助学生巩固概率的基本概念。
【难度系数】
0.9
要计算摸到红球的概率，需先确定所有可能的结果总数，以及摸到红球的结果数，再依据概率公式求解。首先计算袋子中球的总数量，再明确红球的数量，最后用红球数量除以总球数得到所求概率。
【解析】
解：袋子中球的总数量为 $2 + 3 = 5$ 个，其中红球有2个。根据简单随机事件的概率公式：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有可能的结果数}}$，因此摸到红球的概率为 $\frac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
简单事件的概率计算
【点评】
本题是基础的概率计算题，直接考查概率公式的应用，解题思路清晰，计算简单，能帮助学生巩固概率的基本概念。
【难度系数】
0.9
6. (2025·湖北)窗,让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图,“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式,从这三种方式中随机选出一种制作窗格,选中“步步锦”的概率是
$\dfrac{1}{3}$
.答案
$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
要计算选中“步步锦”的概率，需先确定所有等可能的结果总数，再找出符合“选中步步锦”的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
从三种窗格中随机选取一种，所有等可能的结果共有3种，分别是“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”；其中符合“选中步步锦”的结果有1种。根据概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得选中“步步锦”的概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率计算
【点评】
本题考查简单的等可能事件概率计算，属于基础题，解题关键是准确确定总结果数和符合条件的结果数，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算选中“步步锦”的概率，需先确定所有等可能的结果总数，再找出符合“选中步步锦”的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
从三种窗格中随机选取一种，所有等可能的结果共有3种，分别是“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”；其中符合“选中步步锦”的结果有1种。根据概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得选中“步步锦”的概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率计算
【点评】
本题考查简单的等可能事件概率计算，属于基础题，解题关键是准确确定总结果数和符合条件的结果数，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. (2025·广西)从3,4,5三个数字中任选两个,则选出的两个数字之和是偶数的概率为
$\dfrac{1}{3}$
.答案
$\dfrac{1}{3}$ 解析:列表如下.由表可知,共有6种等可能的结果,其中选出的两个数字之和是偶数的结果有2种,所以选出的两个数字之和是偶数的概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
要解决该概率问题，需按以下思路思考：① 先确定从3、4、5中任选两个数字的所有等可能结果；② 计算每组两个数字的和，筛选出和为偶数的结果；③ 依据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算所求概率。
【解析】
从3、4、5三个数字中任选两个，所有等可能的结果为：(3,4)、(3,5)、(4,3)、(4,5)、(5,3)、(5,4)，共6种。
其中两个数字之和为偶数的结果是：(3,5)、(5,3)，共2种。
根据概率公式，所求概率为：$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率、数的奇偶性
【点评】
本题考查概率的基础计算，通过有序列举所有等可能结果，结合数的奇偶性筛选符合条件的结果，进而计算概率，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决该概率问题，需按以下思路思考：① 先确定从3、4、5中任选两个数字的所有等可能结果；② 计算每组两个数字的和，筛选出和为偶数的结果；③ 依据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算所求概率。
【解析】
从3、4、5三个数字中任选两个，所有等可能的结果为：(3,4)、(3,5)、(4,3)、(4,5)、(5,3)、(5,4)，共6种。
其中两个数字之和为偶数的结果是：(3,5)、(5,3)，共2种。
根据概率公式，所求概率为：$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率、数的奇偶性
【点评】
本题考查概率的基础计算，通过有序列举所有等可能结果，结合数的奇偶性筛选符合条件的结果，进而计算概率，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
