登录
2. 有四张正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”且背面完全一样的卡片，将它们背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片正面上的汉字相同的概率是
$\dfrac{1}{4}$
.答案
$\dfrac{1}{4}$ 解析:画树状图如图所示.由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中抽取的两张卡片正面上的汉字相同的结果有4种,$\therefore$抽取的两张卡片正面上的汉字相同的概率是$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】本题是放回式抽取卡片的概率问题，解题思路为：通过树状图列举所有等可能的抽取结果，明确总结果数；再从中筛选出两张卡片汉字相同的结果数；最后根据概率公式计算所求概率。由于抽取后放回，每次抽取都有4种可能，因此总结果数为两次抽取可能数的乘积。
【解析】根据题意，用树状图法列举所有等可能结果，如图所示，共有$4×4=16$种等可能的结果；其中两张卡片汉字相同的结果有：（清，清）、（风，风）、（朗，朗）、（月，月），共4种。根据概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得两张卡片汉字相同的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】$\dfrac{1}{4}$
【知识点】列举法求概率、放回抽样概率计算
【点评】本题是概率的基础应用题，核心是利用树状图清晰呈现所有等可能结果，需注意“放回抽样”的特点，避免混淆总结果数，属于学生易掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】根据题意，用树状图法列举所有等可能结果，如图所示，共有$4×4=16$种等可能的结果；其中两张卡片汉字相同的结果有：（清，清）、（风，风）、（朗，朗）、（月，月），共4种。根据概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得两张卡片汉字相同的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】$\dfrac{1}{4}$
【知识点】列举法求概率、放回抽样概率计算
【点评】本题是概率的基础应用题，核心是利用树状图清晰呈现所有等可能结果，需注意“放回抽样”的特点，避免混淆总结果数，属于学生易掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
3. 端午节早上,小英为全家人蒸了2个蛋黄粽、3个鲜肉粽,她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶,则爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是
$\dfrac{2}{5}$
.答案
$\dfrac{2}{5}$ 解析:把2个蛋黄粽分别记为A、B,3个鲜肉粽分别记为C、D、E,画树状图如图所示.由树状图可知,共有20种等可能的结果,其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有8种,即AB、BA、CD、CE、DC、DE、EC、ED,$\therefore$爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是$\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$.
解析
【分析】
首先明确粽子的总数和分类：2个蛋黄粽、3个鲜肉粽，共5个。由于是随机挑选2个，属于不放回的有序抽取，因此用树状图法列举所有等可能结果：第一步选第一个粽子有5种选择，第二步选第二个粽子有4种选择，总共有5×4=20种等可能结果。接下来统计同类粽子的结果：蛋黄粽的有序组合有AB、BA共2种，鲜肉粽的有序组合有CD、CE、DC、DE、EC、ED共6种，合计8种。最后用同类结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
解：将2个蛋黄粽记为A、B，3个鲜肉粽记为C、D、E。从5个粽子中随机挑选2个，画树状图（如图所示），可知共有$5×4=20$种等可能的结果。其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有：蛋黄粽的AB、BA，鲜肉粽的CD、CE、DC、DE、EC、ED，共8种。因此，爷爷奶奶吃到同类粽子的概率为$\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
概率计算、树状图求概率
【点评】
本题考查用树状图法求概率的基础应用，解题关键是准确列举所有等可能结果和符合条件的结果，注意抽取的有序性，避免漏算或重复计数，属于概率部分的常规题型。
【难度系数】
0.5
首先明确粽子的总数和分类：2个蛋黄粽、3个鲜肉粽，共5个。由于是随机挑选2个，属于不放回的有序抽取，因此用树状图法列举所有等可能结果：第一步选第一个粽子有5种选择，第二步选第二个粽子有4种选择，总共有5×4=20种等可能结果。接下来统计同类粽子的结果：蛋黄粽的有序组合有AB、BA共2种，鲜肉粽的有序组合有CD、CE、DC、DE、EC、ED共6种，合计8种。最后用同类结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
解：将2个蛋黄粽记为A、B，3个鲜肉粽记为C、D、E。从5个粽子中随机挑选2个，画树状图（如图所示），可知共有$5×4=20$种等可能的结果。其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有：蛋黄粽的AB、BA，鲜肉粽的CD、CE、DC、DE、EC、ED，共8种。因此，爷爷奶奶吃到同类粽子的概率为$\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
概率计算、树状图求概率
【点评】
本题考查用树状图法求概率的基础应用，解题关键是准确列举所有等可能结果和符合条件的结果，注意抽取的有序性，避免漏算或重复计数，属于概率部分的常规题型。
【难度系数】
0.5
4. 学习了电学知识后，小婷同学用四个开关(A、B、C、D)，一个电源和一个灯泡设计了如图所示的电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率是
$\dfrac{1}{2}$
.答案
$\dfrac{1}{2}$ 解析:画树状图如图所示.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中小灯泡发光的结果有6种,$\therefore$任意闭合两个开关,小灯泡发光的概率是$\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：1. 确定任意闭合两个开关时，所有等可能的结果总数，可通过树状图列举；2. 明确小灯泡发光的电路条件：开关D在干路，必须闭合，且A、B、C中至少有一个闭合时，电路导通，灯泡发光；3. 统计满足发光条件的结果数，再根据概率公式计算概率。
【解析】
任意闭合两个开关，所有等可能的结果可通过树状图列举，共有12种等可能的结果。由电路图可知，小灯泡发光的条件是：开关D闭合，且A、B、C中至少有一个闭合。满足该条件的结果有：(A,D)、(B,D)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C)，共6种。根据概率公式，小灯泡发光的概率为符合条件的结果数除以总结果数，即$\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
概率计算、电路通路判断
【点评】
本题结合电路知识考查概率计算，核心是明确灯泡发光的电路要求，通过树状图准确统计结果数，难度适中，需注意有序结果的计数逻辑。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需分三步思考：1. 确定任意闭合两个开关时，所有等可能的结果总数，可通过树状图列举；2. 明确小灯泡发光的电路条件：开关D在干路，必须闭合，且A、B、C中至少有一个闭合时，电路导通，灯泡发光；3. 统计满足发光条件的结果数，再根据概率公式计算概率。
【解析】
任意闭合两个开关，所有等可能的结果可通过树状图列举，共有12种等可能的结果。由电路图可知，小灯泡发光的条件是：开关D闭合，且A、B、C中至少有一个闭合。满足该条件的结果有：(A,D)、(B,D)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C)，共6种。根据概率公式，小灯泡发光的概率为符合条件的结果数除以总结果数，即$\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
概率计算、电路通路判断
【点评】
本题结合电路知识考查概率计算，核心是明确灯泡发光的电路要求，通过树状图准确统计结果数，难度适中，需注意有序结果的计数逻辑。
【难度系数】
0.5
5. 4 张相同的卡片上分别写有数字 0,1,-2,3,将卡片的背面朝上,洗匀后从中任意抽取 1 张,将卡片上的数字记录下来;再从余下的 3 张卡片中任意抽取 1 张,同样将卡片上的数字记录下来.
(1)第一次抽取的卡片上的数字是负数的概率是
(2)小敏设计了如下游戏规则:当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字后所得数字为非负数时,甲获胜;否则,乙获胜.小敏设计的游戏规则公平吗?为什么?(请用列表的方法说明理由)
(1)第一次抽取的卡片上的数字是负数的概率是
$\dfrac{1}{4}$
.(2)小敏设计了如下游戏规则:当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字后所得数字为非负数时,甲获胜;否则,乙获胜.小敏设计的游戏规则公平吗?为什么?(请用列表的方法说明理由)
答案
(1)$\dfrac{1}{4}$
(2)公平.理由如下:列表如下.由表可知,共有12种等可能的结果,其中相减所得数字为非负数的结果有6种,为负数的结果有6种,$\therefore$甲获胜的概率等于乙获胜的概率,即$P(甲胜)=P(乙胜)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$,$\therefore$此游戏规则公平.
(2)公平.理由如下:列表如下.由表可知,共有12种等可能的结果,其中相减所得数字为非负数的结果有6种,为负数的结果有6种,$\therefore$甲获胜的概率等于乙获胜的概率,即$P(甲胜)=P(乙胜)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$,$\therefore$此游戏规则公平.
解析
【分析】
首先解决第(1)问：第一次抽取卡片时，总共有4张不同卡片，其中负数卡片仅1张（数字-2），根据概率公式，概率等于符合条件的情况数除以总情况数，直接计算即可。
对于第(2)问，判断游戏公平性需比较甲、乙双方获胜的概率是否相等，因此用列表法列出两次抽取卡片所有等可能的结果，再分别统计甲获胜（差为非负数）和乙获胜（差为负数）的结果数量，计算各自概率后比较。
【解析】
(1) 第一次抽取时，总共有4张卡片，其中负数卡片有1张，因此第一次抽取的卡片上的数字是负数的概率为：$\dfrac{1}{4}$。
(2) 列表如下：
| 第一次\第二次 | 0 | 1 | -2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | - | 0-1=-1（乙胜） | 0-(-2)=2（甲胜） | 0-3=-3（乙胜） |
| 1 | 1-0=1（甲胜） | - | 1-(-2)=3（甲胜） | 1-3=-2（乙胜） |
| -2 | -2-0=-2（乙胜） | -2-1=-3（乙胜） | - | -2-3=-5（乙胜） |
| 3 | 3-0=3（甲胜） | 3-1=2（甲胜） | 3-(-2)=5（甲胜） | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中差为非负数（甲胜）的结果有6种，差为负数（乙胜）的结果有6种。
因此，$P(甲胜)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$，$P(乙胜)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$，即$P(甲胜)=P(乙胜)$，所以此游戏规则公平。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) 公平，理由见解析。
【知识点】
概率的计算，游戏公平性，列表法求概率
【点评】
本题考查概率的基本计算及游戏公平性的判断，核心是通过列表法准确列出所有等可能结果，再计算双方获胜概率进行比较，属于概率章节的基础题型，需掌握列表法求概率的方法。
【难度系数】
0.6
首先解决第(1)问：第一次抽取卡片时，总共有4张不同卡片，其中负数卡片仅1张（数字-2），根据概率公式，概率等于符合条件的情况数除以总情况数，直接计算即可。
对于第(2)问，判断游戏公平性需比较甲、乙双方获胜的概率是否相等，因此用列表法列出两次抽取卡片所有等可能的结果，再分别统计甲获胜（差为非负数）和乙获胜（差为负数）的结果数量，计算各自概率后比较。
【解析】
(1) 第一次抽取时，总共有4张卡片，其中负数卡片有1张，因此第一次抽取的卡片上的数字是负数的概率为：$\dfrac{1}{4}$。
(2) 列表如下：
| 第一次\第二次 | 0 | 1 | -2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | - | 0-1=-1（乙胜） | 0-(-2)=2（甲胜） | 0-3=-3（乙胜） |
| 1 | 1-0=1（甲胜） | - | 1-(-2)=3（甲胜） | 1-3=-2（乙胜） |
| -2 | -2-0=-2（乙胜） | -2-1=-3（乙胜） | - | -2-3=-5（乙胜） |
| 3 | 3-0=3（甲胜） | 3-1=2（甲胜） | 3-(-2)=5（甲胜） | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中差为非负数（甲胜）的结果有6种，差为负数（乙胜）的结果有6种。
因此，$P(甲胜)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$，$P(乙胜)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$，即$P(甲胜)=P(乙胜)$，所以此游戏规则公平。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；(2) 公平，理由见解析。
【知识点】
概率的计算，游戏公平性，列表法求概率
【点评】
本题考查概率的基本计算及游戏公平性的判断，核心是通过列表法准确列出所有等可能结果，再计算双方获胜概率进行比较，属于概率章节的基础题型，需掌握列表法求概率的方法。
【难度系数】
0.6
1. 不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球,摇匀后每次随机从袋中摸出一个球,记下颜色后放回袋中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.6左右,则袋中红球的个数为
6
.答案
6 解析:通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.6左右,则摸到红球的概率为0.6,摸到白球的概率为0.4,$\therefore$袋子中球的总数为$4÷0.4=10$(个),$\therefore$红球的个数为$10-4=6$(个).
解析
【分析】
这道题考查用频率估计概率的应用，解题思路是：大量重复试验中，事件发生的频率稳定值可作为该事件发生的概率，先由摸到红球的频率稳定值确定红球的概率，再算出白球的概率；接着根据白球数量和白球概率求出袋中球的总数量；最后用总数量减去白球数量，即可得到红球个数。
【解析】
解：大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在0.6左右，因此估计摸到红球的概率为0.6，那么摸到白球的概率为 $1 - 0.6 = 0.4$。
已知白球有4个，设袋中球的总个数为$n$，根据概率公式：$P(白球)=\frac{白球个数}{总个数}$，可得 $0.4 = \frac{4}{n}$，解得 $n = 4 ÷ 0.4 = 10$（个）。
所以红球的个数为总个数减去白球个数，即 $10 - 4 = 6$（个）。
【答案】
6
【知识点】
用频率估计概率、概率的应用
【点评】
本题是概率章节的基础应用题，核心是利用频率与概率的关系，结合概率公式求解数量，注重基础概念的理解和简单计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
这道题考查用频率估计概率的应用，解题思路是：大量重复试验中，事件发生的频率稳定值可作为该事件发生的概率，先由摸到红球的频率稳定值确定红球的概率，再算出白球的概率；接着根据白球数量和白球概率求出袋中球的总数量；最后用总数量减去白球数量，即可得到红球个数。
【解析】
解：大量重复摸球试验后，摸到红球的频率稳定在0.6左右，因此估计摸到红球的概率为0.6，那么摸到白球的概率为 $1 - 0.6 = 0.4$。
已知白球有4个，设袋中球的总个数为$n$，根据概率公式：$P(白球)=\frac{白球个数}{总个数}$，可得 $0.4 = \frac{4}{n}$，解得 $n = 4 ÷ 0.4 = 10$（个）。
所以红球的个数为总个数减去白球个数，即 $10 - 4 = 6$（个）。
【答案】
6
【知识点】
用频率估计概率、概率的应用
【点评】
本题是概率章节的基础应用题，核心是利用频率与概率的关系，结合概率公式求解数量，注重基础概念的理解和简单计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 如图,甲转盘中两个扇形的面积不相等,其中小扇形的圆心角等于$120°$,大小扇形内分别标有数字1,2;乙转盘中四个扇形的面积相等,四个扇形内分别标有数字1,2,3,4.转动甲、乙转盘各一次,当转盘停止转动时,将指针所指扇形中的两个数字相加(当指针指向扇形的交线时,重新转动转盘).若规定两个数字的和为5时小明赢,两个数字的和为4时小丽赢,则这个规定对小明、小丽两人是否公平?
答案
这个规定对小明、小丽两人公平.理由如下:可将甲转盘中标有数字2的大扇形分成2个相等的扇形,从而列表如下,由表可知,共有12种等可能的结果,其中和为5的结果有3种,和为4的结果有3种,所以小明赢的概率=小丽赢的概率$=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$,$\therefore$这个规定对小明、小丽两人公平.
解析
【分析】
要判断规定是否公平，需计算小明赢（两数和为5）和小丽赢（两数和为4）的概率，比较两者是否相等。首先确定甲转盘各数字的概率：甲转盘总圆心角为360°，数字1的扇形圆心角为120°，故数字1的概率为120°/360°=1/3，数字2的扇形圆心角为240°，概率为240°/360°=2/3；乙转盘四个扇形面积相等，每个数字的概率均为1/4。再分别找出和为5、和为4的所有情况，计算对应概率后比较即可。
【解析】
1. 计算甲转盘各数字的概率：
甲转盘数字1的扇形圆心角为120°，因此$P(甲指向1)=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$；
甲转盘数字2的扇形圆心角为$360°-120°=240°$，因此$P(甲指向2)=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$。
2. 计算乙转盘各数字的概率：
乙转盘四个扇形面积相等，故$P(乙指向1)=P(乙指向2)=P(乙指向3)=P(乙指向4)=\frac{1}{4}$。
3. 计算小明赢的概率（和为5）：
两数和为5的情况为：甲1+乙4，甲2+乙3，
因此$P(和为5)=P(甲1)×P(乙4)+P(甲2)×P(乙3)=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
4. 计算小丽赢的概率（和为4）：
两数和为4的情况为：甲1+乙3，甲2+乙2，
因此$P(和为4)=P(甲1)×P(乙3)+P(甲2)×P(乙2)=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
5. 比较概率：
因为$P(和为5)=P(和为4)=\frac{1}{4}$，所以小明和小丽赢的概率相等，规定公平。
【答案】
这个规定对小明、小丽两人公平。
【知识点】
概率计算、游戏公平性
【点评】
本题结合转盘概率考查游戏公平性，核心是正确计算各事件的概率，通过比较概率判断公平性，需注意转盘区域概率的确定方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
要判断规定是否公平，需计算小明赢（两数和为5）和小丽赢（两数和为4）的概率，比较两者是否相等。首先确定甲转盘各数字的概率：甲转盘总圆心角为360°，数字1的扇形圆心角为120°，故数字1的概率为120°/360°=1/3，数字2的扇形圆心角为240°，概率为240°/360°=2/3；乙转盘四个扇形面积相等，每个数字的概率均为1/4。再分别找出和为5、和为4的所有情况，计算对应概率后比较即可。
【解析】
1. 计算甲转盘各数字的概率：
甲转盘数字1的扇形圆心角为120°，因此$P(甲指向1)=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$；
甲转盘数字2的扇形圆心角为$360°-120°=240°$，因此$P(甲指向2)=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$。
2. 计算乙转盘各数字的概率：
乙转盘四个扇形面积相等，故$P(乙指向1)=P(乙指向2)=P(乙指向3)=P(乙指向4)=\frac{1}{4}$。
3. 计算小明赢的概率（和为5）：
两数和为5的情况为：甲1+乙4，甲2+乙3，
因此$P(和为5)=P(甲1)×P(乙4)+P(甲2)×P(乙3)=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
4. 计算小丽赢的概率（和为4）：
两数和为4的情况为：甲1+乙3，甲2+乙2，
因此$P(和为4)=P(甲1)×P(乙3)+P(甲2)×P(乙2)=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
5. 比较概率：
因为$P(和为5)=P(和为4)=\frac{1}{4}$，所以小明和小丽赢的概率相等，规定公平。
【答案】
这个规定对小明、小丽两人公平。
【知识点】
概率计算、游戏公平性
【点评】
本题结合转盘概率考查游戏公平性，核心是正确计算各事件的概率，通过比较概率判断公平性，需注意转盘区域概率的确定方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
