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25. 阅读下列材料,完成相应的任务.
定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数,我们就称这两个方程为“关联方程”.如方程$2x = 4$和$3x + 6 = 0$为“关联方程”.
任务:
(1)若关于$x$的方程$5x + a = 0$与$2x - 4 = x + 1$是“关联方程”,求$a$的值;
(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8,且这两个“关联方程”的两个解分别为$m,n$,求$m,n$的值;
(3)若关于$x$的方程$2x + 3b - 2 = 0$和$3x - 5b + 4 = 0$是“关联方程”,求$b$的值.
定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数,我们就称这两个方程为“关联方程”.如方程$2x = 4$和$3x + 6 = 0$为“关联方程”.
任务:
(1)若关于$x$的方程$5x + a = 0$与$2x - 4 = x + 1$是“关联方程”,求$a$的值;
(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8,且这两个“关联方程”的两个解分别为$m,n$,求$m,n$的值;
(3)若关于$x$的方程$2x + 3b - 2 = 0$和$3x - 5b + 4 = 0$是“关联方程”,求$b$的值.
答案
25.解:(1)解方程 $2x-4=x+1$,得 $x=5$.
将 $x=-5$ 代入方程 $5x+a=0$,得 $5×(-5)+a=0$.
解得 $a=25$.
(2)由题意得$\begin{cases} m+n=0, \\ m-n=8 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m+n=0, \\ n-m=8, \end{cases}$
解这两个二元一次方程组,分别得
$\begin{cases} m=4, \\ n=-4, \end{cases}$$\begin{cases} m=-4, \\ n=4, \end{cases}$
$\therefore m,n$ 的值为 $\begin{cases} m=4, \\ n=-4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=-4, \\ n=4. \end{cases}$
(3)解方程 $2x+3b-2=0$,得 $x=\dfrac{-3b+2}{2}$,
解方程 $3x-5b+4=0$,得 $x=\dfrac{5b-4}{3}$,
$\because$ 方程 $2x+3b-2=0$ 和 $3x-5b+4=0$ 是关于 $x$ 的"关联方程",
$\therefore \dfrac{-3b+2}{2}+\dfrac{5b-4}{3}=0$,
解得 $b=2$.
将 $x=-5$ 代入方程 $5x+a=0$,得 $5×(-5)+a=0$.
解得 $a=25$.
(2)由题意得$\begin{cases} m+n=0, \\ m-n=8 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m+n=0, \\ n-m=8, \end{cases}$
解这两个二元一次方程组,分别得
$\begin{cases} m=4, \\ n=-4, \end{cases}$$\begin{cases} m=-4, \\ n=4, \end{cases}$
$\therefore m,n$ 的值为 $\begin{cases} m=4, \\ n=-4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=-4, \\ n=4. \end{cases}$
(3)解方程 $2x+3b-2=0$,得 $x=\dfrac{-3b+2}{2}$,
解方程 $3x-5b+4=0$,得 $x=\dfrac{5b-4}{3}$,
$\because$ 方程 $2x+3b-2=0$ 和 $3x-5b+4=0$ 是关于 $x$ 的"关联方程",
$\therefore \dfrac{-3b+2}{2}+\dfrac{5b-4}{3}=0$,
解得 $b=2$.
26. 阅读材料
我们知道一个二元一次方程有无数个解,但实际生活中我们往往只需要求出符合条件的特定解,如正整数解,非负整数解等.
例如:周末,12名同学相约公园骑行游览,同时租用双人自行车和三人自行车,问应租用双人自行车和三人自行车各几辆.
思路引导
设租用双人自行车$x$辆,三人自行车$y$辆,由题意可得$2x + 3y = 12$.
$\therefore x = \frac{12 - 3y}{2} = 6 - \frac{3y}{2}(x,y为正整数).$
要使$x = 6 - \frac{3y}{2}$为正整数,则$y$必须是2的倍数,
$\therefore 当y = 2时, x = 6 - \frac{3 × 2}{2} = 3.$
$\therefore 方程2x + 3y = 12的正整数解是 \begin{cases} x = 3, \\ y = 2. \end{cases}$
答:租用双人自行车3辆,三人自行车2辆.
理解应用
(1)请你直接写出方程$2x + y = 6$的正整数解;
解决问题
(2)果农计划租用A,B两种型号的货车运送48吨水果,已知A型号货车一次可运送3吨,B型号货车一次可运送5吨.若每辆货车均满载.
①请设计所有可能的租车方案;
②若每辆A型号货车的租金100元/次,每辆B型号货车的租金120元/次,请选出租金费用最少的方案.
我们知道一个二元一次方程有无数个解,但实际生活中我们往往只需要求出符合条件的特定解,如正整数解,非负整数解等.
例如:周末,12名同学相约公园骑行游览,同时租用双人自行车和三人自行车,问应租用双人自行车和三人自行车各几辆.
思路引导
设租用双人自行车$x$辆,三人自行车$y$辆,由题意可得$2x + 3y = 12$.
$\therefore x = \frac{12 - 3y}{2} = 6 - \frac{3y}{2}(x,y为正整数).$
要使$x = 6 - \frac{3y}{2}$为正整数,则$y$必须是2的倍数,
$\therefore 当y = 2时, x = 6 - \frac{3 × 2}{2} = 3.$
$\therefore 方程2x + 3y = 12的正整数解是 \begin{cases} x = 3, \\ y = 2. \end{cases}$
答:租用双人自行车3辆,三人自行车2辆.
理解应用
(1)请你直接写出方程$2x + y = 6$的正整数解;
解决问题
(2)果农计划租用A,B两种型号的货车运送48吨水果,已知A型号货车一次可运送3吨,B型号货车一次可运送5吨.若每辆货车均满载.
①请设计所有可能的租车方案;
②若每辆A型号货车的租金100元/次,每辆B型号货车的租金120元/次,请选出租金费用最少的方案.
答案
26.(1)$\begin{cases} x=1, \\ y=4, \end{cases}$$\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$
(2)①设租用 A 型号货车 x 辆,B 型号货车 y 辆,由题意可得 $3x+5y=48$.
$\therefore x=\dfrac{48-5y}{3}=16-\dfrac{5y}{3}$(x,y 为正整数).
要使 $x=16-\dfrac{5y}{3}$ 为正整数,则 y 必须是 3 的倍数,$\therefore$ 当 $y=3$ 时,$x=16-\dfrac{5×3}{3}=11$,
当 $y=6$ 时,$x=16-\dfrac{5×6}{3}=6$,
当 $y=9$ 时,$x=16-\dfrac{5×9}{3}=1$,
$\therefore$ 方程 $3x+5y=48$ 的正整数解是
$\begin{cases} x=11, \\ y=3, \end{cases}$$\begin{cases} x=6, \\ y=6, \end{cases}$$\begin{cases} x=1, \\ y=9, \end{cases}$
答:有三种租车方案。方案一:A 型号货车 11 辆,B 型号货车 3 辆;方案二:A 型号货车 6 辆,B 型号货车 6 辆;方案三:A 型号货车 1 辆,B 型号货车 9 辆.
②方案一费用:$11×100+3×120=1460$(元);
方案二费用:$6×100+6×120=1320$(元);
方案三费用:$1×100+9×120=1180$(元);
因为 $1180＜1320＜1460$,
所以租用 A 型号货车 1 辆,B 型号货车 9 辆费用最少.
(2)①设租用 A 型号货车 x 辆,B 型号货车 y 辆,由题意可得 $3x+5y=48$.
$\therefore x=\dfrac{48-5y}{3}=16-\dfrac{5y}{3}$(x,y 为正整数).
要使 $x=16-\dfrac{5y}{3}$ 为正整数,则 y 必须是 3 的倍数,$\therefore$ 当 $y=3$ 时,$x=16-\dfrac{5×3}{3}=11$,
当 $y=6$ 时,$x=16-\dfrac{5×6}{3}=6$,
当 $y=9$ 时,$x=16-\dfrac{5×9}{3}=1$,
$\therefore$ 方程 $3x+5y=48$ 的正整数解是
$\begin{cases} x=11, \\ y=3, \end{cases}$$\begin{cases} x=6, \\ y=6, \end{cases}$$\begin{cases} x=1, \\ y=9, \end{cases}$
答:有三种租车方案。方案一:A 型号货车 11 辆,B 型号货车 3 辆;方案二:A 型号货车 6 辆,B 型号货车 6 辆;方案三:A 型号货车 1 辆,B 型号货车 9 辆.
②方案一费用:$11×100+3×120=1460$(元);
方案二费用:$6×100+6×120=1320$(元);
方案三费用:$1×100+9×120=1180$(元);
因为 $1180＜1320＜1460$,
所以租用 A 型号货车 1 辆,B 型号货车 9 辆费用最少.
