1. （2025·泰州期末）如图①，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接AB，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线AB上的点$B'$处，折痕MN交AB于点Q.
(1)①判断折痕MN与AB的位置关系，并说明理由；
②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其他折痕与AB有①中的位置关系，其中的数学道理是.
(2)在图①的基础上，展平纸片，得到图②，在图②中过点P折出并画出与AB平行的折痕DE（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由.
(3)将图②的纸片展平得到图③，点S是线段FG上一动点（不与点E重合），若$∠DEF=26°$，$∠EDS=α$，$∠CAS=β$，请直接写出$∠DSA$的度数.（用含$α,β$的代数式表示）

1. (1)①$MN ⊥ AB$,理由如下:根据折叠可知$∠BQM = ∠B'QM$,因为$∠BQM+∠B'QM=180°$,所以$∠BQM = \frac{1}{2}×180°=90°$,所以$MN ⊥ AB$.
②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(2)折叠方法:过点P翻折纸片,使点M落在直线PQ上,折痕为DE.
理由:根据(1)可得$∠MPE=90°$,因为$∠BQM=90°$,所以$∠MPE=∠BQM=90°$,所以$DE // AB$.
(3)$β-α-26°$或$β+α-26°$.
【解析】当点S在线段EF上时, . 因为正方形纸片中$FG // AC$,所以$∠CAS+∠ASG=180°$. 因为$∠CAS=β$,所以$∠ASG=180°-β$. 因为$∠DEF=26°$,$∠EDS=α$,所以$∠DSE=180°-∠SDE-∠SED$,所以$∠DSF=180°-∠DSE=180°-(180°-∠SDE-∠SED)= 180° - 180° + ∠SDE + ∠SED = ∠DEF + ∠EDS=26°+α$,所以$∠DSA=180°-∠DSF-∠ASG=180°-(26°+α)-(180°-β)=180°-26°-α-180°+β=β-α-26°$. 当点S在线段EG上时,.
因为正方形纸片中$FG // AC$,所以$∠CAS+∠ASG=180°$. 因为$∠CAS=β$,所以$∠ASG=180°-β$. 因为$∠DEF=26°$,所以$∠DES=180°-∠DEF=180°-26°$. 因为$∠EDS=α$,所以$∠DSF=180°-∠DES-∠EDS=26°-α$,所以$∠DSA=180°-∠DSF-∠ASG=180°-(26°-α)-(180°-β)=180°-26°+α-180°+β=β+α-26°$. 综上分析可得$∠DSA=β-α-26°$或$∠DSA=β+α-26°$.

2. （2025·扬州期末）小明同学将大家都经历过的一个折纸活动表述成如下的一道数学探究题，题目：如图，已知点 M 是正方形纸片 ABCD 的边 AB 上的一个定点，点 P 是边 AD 上的一个动点，沿着 MP 折叠，点 A 落在点 A'处；点 Q 是边 BC 上的一个动点，沿着 MQ 折叠，点 B 落在点 B'处.
（1）如图①，当点 B'落在线段 A'M 上时，两折痕的夹角$∠PMQ=$.
（2）如图②，当点 A'落在折痕 QM 上，且 B'落在折痕 PM 上时，两折痕的夹角$∠PMQ=$.
（3）在动点 P,Q 的运动过程中，设$∠A'MB'=x$，若$∠B'MQ=2∠A'MB'$.
①试用含 x 的代数式表示$∠PMQ$的度数.
②探究$MB'$能否平分$∠PMQ$，若能，求出此时$∠PMQ$的度数；若不能，请说明理由.

2. (1)$90°$
【解析】由折叠可得$∠AMP=∠A'MP=\frac{1}{2}∠AMA'$,$∠BMQ=∠B'MQ=\frac{1}{2}∠BMB'$. 因为$∠AMA'+∠BMB'=180°$,所以$∠PMQ=∠A'MP+∠B'MQ=\frac{1}{2}(∠AMA'+∠BMB')=90°$.
(2)$60°$
【解析】由折叠可得$∠AMP=∠PMQ=∠BMQ$. 因为$∠AMP+∠PMQ+∠BMQ=180°$,所以$∠PMQ=60°$.
(3)①,由折叠可得$∠AMP=∠A'MP=\frac{1}{2}∠AMA'$,$∠BMQ=∠B'MQ=\frac{1}{2}∠BMB'$. 因为$∠A'MB'=x$,$∠B'MQ=2∠A'MB'$,所以$∠BMQ=∠B'MQ=2x$,所以$∠AMP=∠A'MP=\frac{1}{2}∠AMA'=\frac{1}{2}(180°-5x)=90°-\frac{5}{2}x$,所以$∠PMQ=90°-\frac{5}{2}x+x+2x=90°+\frac{1}{2}x$;
如图②,由折叠可得$∠AMP=∠A'MP=\frac{1}{2}∠AMA'$,$∠BMQ=∠B'MQ=\frac{1}{2}∠BMB'$,因为$∠A'MB'=x$,$∠B'MQ=2∠A'MB'$,所以$∠BMQ=∠B'MQ=2x$,所以$∠A'MQ=2x-x=x$,所以$∠AMP=∠A'MP=\frac{1}{2}∠AMA'=\frac{1}{2}(180°-3x)=90°-\frac{3}{2}x$,所以$∠PMQ=180°-2x-(90°-\frac{3}{2}x)=90°-\frac{1}{2}x$. 综上,$∠PMQ=90°+\frac{1}{2}x$或$90°-\frac{1}{2}x$.
②能. ,由①得$∠A'MB'=x$,$∠BMQ=∠B'MQ=2x$,$∠AMP=∠A'MP=90°-\frac{5}{2}x$,因为$MB'$平分$∠PMQ$,所以$∠PMB'=∠QMB'$,所以$90°-\frac{5}{2}x+x=2x$,解得$x=(\frac{180}{7})°$,所以$∠PMQ=90°-\frac{5}{2}x+x+2x=90°+\frac{1}{2}x=(\frac{720}{7})°$;
如图④,由①得$∠A'MB'=x$,$∠BMQ=∠B'MQ=2x$,$∠A'MQ=2x-x=x$,所以$∠AMP=∠A'MP=\frac{1}{2}∠AMA'=\frac{1}{2}(180°-3x)=90°-\frac{3}{2}x$. 因为$MB'$平分$∠PMQ$,所以$∠PMB'=∠QMB'$,所以$90°-\frac{3}{2}x-x=2x$,解得$x=20°$,所以$∠PMQ=180°-2x-(90°-\frac{3}{2}x)=90°-\frac{1}{2}x=90°-10°=80°$.
综上,$MB'$能平分$∠PMQ$,$∠PMQ$为$(\frac{720}{7})°$或$80°$.