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练 3-2 若一个等腰三角形的两边长分别为$\sqrt{12},\sqrt{18}$，则这个三角形的周长为 （
A.$3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{2}+4\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}+6\sqrt{2}$
D
）A.$3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{2}+4\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}+6\sqrt{2}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需化简题目中的二次根式，再根据等腰三角形“两边相等”的性质分两种情况讨论腰长和底边长，最后结合三角形三边关系验证每种情况是否成立，进而计算周长并对应选项。
【解析】
1. 先化简二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
2. 分情况讨论等腰三角形的边长：
情况1：若腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为$3\sqrt{2}$，则三边长为$2\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{2}$。验证三边关系：$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}＞3\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，满足三角形三边关系，此时周长为$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
情况2：若腰长为$3\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$，则三边长为$3\sqrt{2},3\sqrt{2},2\sqrt{3}$。验证三边关系：$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}+2\sqrt{3}＞3\sqrt{2}$，满足三角形三边关系，此时周长为$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}=6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$。
3. 综上，三角形周长为$3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}+6\sqrt{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质、二次根式化简、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形周长的计算，关键在于分类讨论腰长与底边长，并验证三角形三边关系，避免漏解或错解，是初中数学的常见易错题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先需化简题目中的二次根式，再根据等腰三角形“两边相等”的性质分两种情况讨论腰长和底边长，最后结合三角形三边关系验证每种情况是否成立，进而计算周长并对应选项。
【解析】
1. 先化简二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
2. 分情况讨论等腰三角形的边长：
情况1：若腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为$3\sqrt{2}$，则三边长为$2\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{2}$。验证三边关系：$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}＞3\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，满足三角形三边关系，此时周长为$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
情况2：若腰长为$3\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{3}$，则三边长为$3\sqrt{2},3\sqrt{2},2\sqrt{3}$。验证三边关系：$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}+2\sqrt{3}＞3\sqrt{2}$，满足三角形三边关系，此时周长为$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}=6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$。
3. 综上，三角形周长为$3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}+6\sqrt{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质、二次根式化简、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形周长的计算，关键在于分类讨论腰长与底边长，并验证三角形三边关系，避免漏解或错解，是初中数学的常见易错题。
【难度系数】
0.5
例4 如图,扶梯AB的坡比为$1:1$,现保持高度BC不变,将其改造为坡比为$1:\sqrt{3}$的滑梯BD。已知点C,A,D三点共线,$AD=6\ \mathrm{m}$。求滑梯的高度$BC(\sqrt{3}\approx1.73$,精确到$0.1\ \mathrm{m})$。
答案
解：设$BC=x\ \mathrm{m}$，由扶梯AB的坡比为$1:1$，得$AC=BC=x\ \mathrm{m}$。由滑梯BD的坡比为$1:\sqrt{3}$，得$CD=\sqrt{3}BC=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
因为$CD-AC=AD=6\ \mathrm{m}$，所以$\sqrt{3}x - x=6$，解得$x=\frac{6}{\sqrt{3}-1}=3(\sqrt{3}+1)\approx8.2$。
答：滑梯的高度$BC$约为$8.2\ \mathrm{m}$。
因为$CD-AC=AD=6\ \mathrm{m}$，所以$\sqrt{3}x - x=6$，解得$x=\frac{6}{\sqrt{3}-1}=3(\sqrt{3}+1)\approx8.2$。
答：滑梯的高度$BC$约为$8.2\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是利用坡比（坡度）的定义结合线段关系求解直角三角形边长的问题。首先明确坡比是垂直高度与水平宽度的比值，设滑梯高度BC为未知数，根据AB、BD的坡比分别表示出AC、CD的长度，再利用CD与AC的差等于AD的长度列出方程，求解后取近似值即可。
【解析】
设$BC=x\ \mathrm{m}$，
因为扶梯AB的坡比为$1:1$，坡比是垂直高度与水平宽度的比，所以$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{1}$，即$AC=BC=x\ \mathrm{m}$；
又因为滑梯BD的坡比为$1:\sqrt{3}$，所以$\frac{BC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$CD=\sqrt{3}BC=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$；
已知点$C,A,D$共线，$AD=6\ \mathrm{m}$，且$CD - AC=AD$，因此：
$\sqrt{3}x - x=6$，
整理得$x(\sqrt{3}-1)=6$，
解得$x=\frac{6}{\sqrt{3}-1}$，对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$：
$x=\frac{6(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{6(\sqrt{3}+1)}{3-1}=3(\sqrt{3}+1)$，
代入$\sqrt{3}\approx1.73$，计算得$x\approx3×(1.73+1)=8.19\approx8.2$。
【答案】
滑梯的高度$BC$约为$8.2\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形、坡比（坡度）
【点评】
本题考查坡比的实际应用，核心是利用坡比定义得到直角三角形的边的关系，结合线段长度列方程求解，需掌握分母有理化的运算，属于解直角三角形的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是利用坡比（坡度）的定义结合线段关系求解直角三角形边长的问题。首先明确坡比是垂直高度与水平宽度的比值，设滑梯高度BC为未知数，根据AB、BD的坡比分别表示出AC、CD的长度，再利用CD与AC的差等于AD的长度列出方程，求解后取近似值即可。
【解析】
设$BC=x\ \mathrm{m}$，
因为扶梯AB的坡比为$1:1$，坡比是垂直高度与水平宽度的比，所以$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{1}$，即$AC=BC=x\ \mathrm{m}$；
又因为滑梯BD的坡比为$1:\sqrt{3}$，所以$\frac{BC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$CD=\sqrt{3}BC=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$；
已知点$C,A,D$共线，$AD=6\ \mathrm{m}$，且$CD - AC=AD$，因此：
$\sqrt{3}x - x=6$，
整理得$x(\sqrt{3}-1)=6$，
解得$x=\frac{6}{\sqrt{3}-1}$，对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$：
$x=\frac{6(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{6(\sqrt{3}+1)}{3-1}=3(\sqrt{3}+1)$，
代入$\sqrt{3}\approx1.73$，计算得$x\approx3×(1.73+1)=8.19\approx8.2$。
【答案】
滑梯的高度$BC$约为$8.2\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形、坡比（坡度）
【点评】
本题考查坡比的实际应用，核心是利用坡比定义得到直角三角形的边的关系，结合线段长度列方程求解，需掌握分母有理化的运算，属于解直角三角形的基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
