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练2-1 下列计算中,正确的是 （
A.$(-\sqrt{3})^{2}=-3$
B.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
C.$\sqrt[3]{-1}=1$
D.$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=3$
B
）A.$(-\sqrt{3})^{2}=-3$
B.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
C.$\sqrt[3]{-1}=1$
D.$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=3$
答案
B
解析
【分析】本题考查二次根式、立方根的相关运算，需根据对应的运算法则逐一分析每个选项，判断计算结果是否正确，从而选出正确答案。
【解析】我们逐个分析选项：
1. 选项A：根据乘方运算与二次根式的性质，$(-\sqrt{3})^2 = (-1)^2 × (\sqrt{3})^2 = 1 × 3 = 3 ≠ -3$，故A错误；
2. 选项B：根据二次根式的化简规则，$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = \sqrt{4} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，故B正确；
3. 选项C：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{-1} = -1 ≠ 1$，故C错误；
4. 选项D：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 ≠ 3$，故D错误。
综上，正确答案为B。
【答案】B
【知识点】二次根式的化简、立方根、平方差公式
【点评】本题属于初中数学的基础运算题，主要考查对二次根式性质、立方根性质及平方差公式的掌握，难度较低，只要熟记相关运算法则即可轻松判断。
【难度系数】0.8
【解析】我们逐个分析选项：
1. 选项A：根据乘方运算与二次根式的性质，$(-\sqrt{3})^2 = (-1)^2 × (\sqrt{3})^2 = 1 × 3 = 3 ≠ -3$，故A错误；
2. 选项B：根据二次根式的化简规则，$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = \sqrt{4} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，故B正确；
3. 选项C：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{-1} = -1 ≠ 1$，故C错误；
4. 选项D：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 ≠ 3$，故D错误。
综上，正确答案为B。
【答案】B
【知识点】二次根式的化简、立方根、平方差公式
【点评】本题属于初中数学的基础运算题，主要考查对二次根式性质、立方根性质及平方差公式的掌握，难度较低，只要熟记相关运算法则即可轻松判断。
【难度系数】0.8
练 2-2 在$-\sqrt{2^2},(-\sqrt{2})^2,-(\sqrt{2})^2,0$四个数中，最大的数是（
A.$-\sqrt{2^2}$
B.$(-\sqrt{2})^2$
C.$-(\sqrt{2})^2$
D.$0$
B
）A.$-\sqrt{2^2}$
B.$(-\sqrt{2})^2$
C.$-(\sqrt{2})^2$
D.$0$
答案
B
解析
【分析】
本题需要先将四个选项对应的数分别化简，再根据实数大小比较的方法找出最大的数，核心是正确处理二次根式平方运算中的符号问题，避免计算错误。
【解析】
分别计算各选项对应的数值：
1. 选项A：$-\sqrt{2^2}=-\sqrt{4}=-2$；
2. 选项B：$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$；
3. 选项C：$-(\sqrt{2})^2=-2$；
4. 选项D：$0$；
比较大小可得：$2＞0＞-2$，因此最大的数是选项B对应的数。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简、实数大小比较
【点评】
本题为基础题，考查二次根式的平方运算及实数大小比较，解题关键是准确化简各数，尤其要注意区分$(-\sqrt{a})^2$与$-(\sqrt{a})^2$的运算结果，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题需要先将四个选项对应的数分别化简，再根据实数大小比较的方法找出最大的数，核心是正确处理二次根式平方运算中的符号问题，避免计算错误。
【解析】
分别计算各选项对应的数值：
1. 选项A：$-\sqrt{2^2}=-\sqrt{4}=-2$；
2. 选项B：$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$；
3. 选项C：$-(\sqrt{2})^2=-2$；
4. 选项D：$0$；
比较大小可得：$2＞0＞-2$，因此最大的数是选项B对应的数。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简、实数大小比较
【点评】
本题为基础题，考查二次根式的平方运算及实数大小比较，解题关键是准确化简各数，尤其要注意区分$(-\sqrt{a})^2$与$-(\sqrt{a})^2$的运算结果，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
例3 下列运算正确的是 （
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{5}$
D.$\sqrt{2}÷\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2$
D
）A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{6}$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{5}$
D.$\sqrt{2}÷\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减、乘除运算，需依据二次根式的运算法则逐一判断选项：二次根式加减时，只有同类二次根式（化简后被开方数相同）才能合并；二次根式乘除时，被开方数对应相乘除。
【解析】
选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法合并，故A错误；
选项B：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{6}$，故B错误；
选项C：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，故C错误；
选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{2}÷\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2÷\dfrac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题为基础题型，核心考查二次根式的基本运算法则，需准确掌握同类二次根式的合并条件及乘除运算规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减、乘除运算，需依据二次根式的运算法则逐一判断选项：二次根式加减时，只有同类二次根式（化简后被开方数相同）才能合并；二次根式乘除时，被开方数对应相乘除。
【解析】
选项A：$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法合并，故A错误；
选项B：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{6}$，故B错误；
选项C：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，故C错误；
选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{2}÷\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2÷\dfrac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题为基础题型，核心考查二次根式的基本运算法则，需准确掌握同类二次根式的合并条件及乘除运算规则，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
练 3-1 计算：
(1)$\sqrt{4} × \sqrt{8} - \sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{12} - \sqrt{9} × \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3)$(\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)$；
(4)$(\sqrt{2} - \sqrt{(-2)^2}) × \sqrt{2} + 2\sqrt{2}$。
(1)$\sqrt{4} × \sqrt{8} - \sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{12} - \sqrt{9} × \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3)$(\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)$；
(4)$(\sqrt{2} - \sqrt{(-2)^2}) × \sqrt{2} + 2\sqrt{2}$。
答案
(1) 原式$=2×2\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
(2) 原式$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(3) 原式$=(3+2\sqrt{2})-(5-1)=3+2\sqrt{2}-4=2\sqrt{2}-1$
(4) 原式$=(\sqrt{2}-2)×\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2$
(2) 原式$=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(3) 原式$=(3+2\sqrt{2})-(5-1)=3+2\sqrt{2}-4=2\sqrt{2}-1$
(4) 原式$=(\sqrt{2}-2)×\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2$
解析
【分析】
本题为二次根式的混合运算题，解题时需先将各二次根式化为最简二次根式，再遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，灵活运用完全平方公式、平方差公式简化计算，最后合并同类二次根式得出结果。
【解析】
(1) 先化简二次根式：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
原式$=2×2\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
(2) 化简二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
原式$=2\sqrt{3}-3×\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(3) 利用完全平方公式和平方差公式计算：
$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=3+2\sqrt{2}$，
$(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5})^2-1^2=5-1=4$，
原式$=(3+2\sqrt{2})-4=2\sqrt{2}-1$；
(4) 先计算根号内的平方：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，
原式$=(\sqrt{2}-2)×\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2$；
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$；(2) $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；(3) $2\sqrt{2}-1$；(4) $2$
【知识点】
二次根式的混合运算，最简二次根式，乘法公式
【点评】
本题是二次根式章节的基础练习题，考查二次根式化简、运算顺序及乘法公式的应用，需学生熟练掌握运算法则，注意运算细节（如符号、同类二次根式合并），整体难度适中。
【难度系数】
0.6
本题为二次根式的混合运算题，解题时需先将各二次根式化为最简二次根式，再遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，灵活运用完全平方公式、平方差公式简化计算，最后合并同类二次根式得出结果。
【解析】
(1) 先化简二次根式：$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
原式$=2×2\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；
(2) 化简二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
原式$=2\sqrt{3}-3×\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(3) 利用完全平方公式和平方差公式计算：
$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=3+2\sqrt{2}$，
$(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)=(\sqrt{5})^2-1^2=5-1=4$，
原式$=(3+2\sqrt{2})-4=2\sqrt{2}-1$；
(4) 先计算根号内的平方：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，
原式$=(\sqrt{2}-2)×\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=2$；
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$；(2) $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$；(3) $2\sqrt{2}-1$；(4) $2$
【知识点】
二次根式的混合运算，最简二次根式，乘法公式
【点评】
本题是二次根式章节的基础练习题，考查二次根式化简、运算顺序及乘法公式的应用，需学生熟练掌握运算法则，注意运算细节（如符号、同类二次根式合并），整体难度适中。
【难度系数】
0.6
